Кодификатор знаний. Инженерка

Министерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Самарский государственный архитектурно-строительный университет

Кафедра начертательной геометрии и инженерной графики

Н.А. Справчикова, Е.В. Костикова

КОДИФИКАТОР ЗНАНИЙ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Сборник задач

Утвержден редакционно-издательским советом университета 2 декабря 2009 г.

Самара

2010

УДК 744.4 (072)

Составители: Справчикова Н.А., Костикова Е.В.

Кодификатор знаний по начертательной геометрии: сборник задач / сост. Н.А. Справчикова, Е.В. Костикова. – СГАСУСамара,

2010. - 78 с.

Составлено в соответствии с УМКД дисциплины «Начертательная геометрия» первого семестра первого курса для студентов общетехнических специальностей дневной формы обучения.

Сборник задач составлен на кафедре «Начертательная геометрия и инженерная графика». В нем содержатся основные правила, аксиомы и определения различных разделов начертательной геометрии, проиллюстрированные подробными и четкими чертежами. Приведены примеры тестовых вопросов и даны подробные объяснения правильных ответов на эти вопросы.

Материал, изложенный в сборнике задач, необходим при изучении дисциплины «Начертательная геометрия», а так же для подготовки к различным проверочным тестам, в том числе к централизованному интернеттестированию, к подготовке экзаменационной работы по дисциплине, к промежуточному тестированию по пройденным разделам начертательной геометрии.

Настоящее учебное пособие не может быть полностью или частично воспроизведено, тиражировано (в том числе ксерокопировано) и распространено без разрешения Самарского государственного архитектурностроительного университета.

© Самарский государственный архитектурно-строительный университет, 2010

1 Метод проекций. Виды проецирования

Процесс отображения точек пространственного предмета на плоскость проекций с помощью проецирующих линий на-

зывается проецированием.

Проецирование может быть центральным, параллельным и ортогональным.

Проецирование называют центральным, если проецирующие лучи проходят через одну точку S – центр проецирования (чертеж 4 рис. 1). С помощью центрального проецирования строятся перспективные изображения.

Проецирование называют параллельным, если проецирующие лучи параллельны между собой (чертежи 1, 2 и 3 рис. 1). С помощью параллельного проецирования строятся ортогональные проекции, проекции с числовыми отметками, аксонометрические проекции.

Проецирование называют ортогональным, если проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций (чертеж 1 рис. 1).

Рис. 1

3

Плоскость, на которой получают изображение геометрического объекта, называют плоскостью проекций. В ортогональных проекциях горизонтальная плоскость проекций обоз-

начается как П1, фронтальная – П2, профильная – П3.

Свойства параллельного

ицентрального проецирования

1.Проекцией точки является точка.

2.Проекцией прямой является прямая. Если направление проецирования совпадает с направлением прямой, то прямая проецируется в точку.

3.Если точка пространства лежит на прямой, то еѐ проекция лежит на соответствующей проекции прямой.

Свойства параллельного проецирования

1.Отношение величин отрезков, лежащих на прямой, и их проекций

2.сохраняется.

3.Если прямые в пространстве параллельны друг другу, то параллельны и их одноименные проекции.

4.Прямая, параллельная плоскости проекций, проецируется в натуральную величину на эту плоскость проекций.

5.Плоская фигура проецируется в натуральную величину на плоскость проекций, если она этой плоскости параллельна.

6.Прямой угол проецируется в натуральную величину, если

одна его сторона параллельна, а вторая не перпендикулярна плоскости проекций.

Позиционными называются задачи на определение взаимного расположения различных геометрических объектов: принадлежность точки прямой, плоскости или поверхности; принадлежность прямой плоскости; взаимное положение прямой и плоскости; взаимное положение плоскостей; взаимное положение прямой или плоскости с поверхностью; взаимное положение поверхностей.

4

Метрическими называют задачи на определение натуральных величин различных элементов: расстояния от точки до прямой или плоскости; расстояния между двумя параллельными или скрещивающимися прямыми; величины плоской фигуры или двухгранного угла.

2 Точка в ортогональных проекциях

Точка общего положения находится в пространстве и имеет координаты x, y и z отличные от нуля.

Рис. 2

Отличительной особенностью точек общего положения является то, что в ортогональных проекциях все проекции точек лежат на плоскостях проекций. Этому правилу соответствует точка В рис. 2, у которой все координаты имеют положительное значение, или точка Е рисунка 3, имеющая отрицательную координату z.

5

Точка частного положения лежит на одной из плоскостей проекций и имеет хотя бы одну из координат, равную нулю. У точек частного положения две или три проекции лежат на осях координат.

Если точка лежит на плоскости проекций, то одна из проекций точки лежит на плоскости проекций, а две другие проекции – на осях координат. На рис. 2 этому правилу соответствуют точки A и С или точка D рис. 3. С проекцией точки, не лежащей на осях координат, совпадает сама точка.

Если точка имеет две координаты равные нулю, то она лежит на оси координат. Две проекции такой точки совпадают друг с другом, а третья – с началом координат. Этому условию соответствует точка F рисунка 3.

Расстояние от точки до плоскости проекций определяется по оси координат, не принадлежащей этой плоскости проекций.

Координата х определяет расстояние до профильной плоскости проекций П3 (у, z), координата у – до фронтальной плоскости проекций П2 (х, z), координата z – до горизонтальной плоскости проекций П1 (х, у). Дальше от плоскости проекций находится та точка, у которой больше координата, определяющая расстояние до заданной плоскости проекций.

На рис. 2 дальше от горизонтальной плоскости проекций П1 расположена точка А, т.к. координата z этой точки больше, чем эта координата других точек. От фронтальной плоскости проекций П2 дальше удалена точка С, от профильной плоскости проекций П3 – точка В.

На рисунке 3 от горизонтальной плоскости проекций дальше удалена точка D, от фронтальной плоскости проекций – точка Е, от профильной плоскости проекций – точка D.

Задача 2.1. Определить пространственное положение точек, представленных на рисунке 3.

У точки Е рисунка 3 все три проекции лежат на плоскостях проекций, поэтому данная точка находится в пространстве. У точки D горизонтальная и профильная проекции лежат на осях координат x и z, а фронтальная – на фронтальной плоскости проекций. Эта точка лежит на фронтальной плос-

6

кости проекций. Точка F лежит на оси z, т.к. ее горизонтальная проекция совпадает с началом координат, а фронтальная и профильная проекции точки совпадают друг с другом и самой точкой F.

Для определения пространственного положения точки достаточно задание двух ее проекций, т.к. любые две проекции точки содержат все три координаты точки. Поэтому имея две проекции любой точки, можно построить ее третью проекцию.

Рис. 3

7

Рис. 4

При построении по двум заданным проекциям третьей проекции должно выполняться правило: горизонтальная и фронтальная проекции точки лежат на одной линии проекционной связи, перпендикулярной оси х, фронтальная и профильная проекции – на линии проекционной связи, параллельной оси х.

На чертеже 1 рисунка 4 правильно построена профильная проекция точки А, т.к. у горизонтальной и профильной проекций точки соблюдено равенство координаты y и выполнено правило взаимного положения проекций. На оставшихся чертежах рисунка 2 не сохраняется равенство координат или правило взаимного положения проекций.

8

Конкурирующие точки – это точки, лежащие на одном проецирующем луче. Поэтому одна проекций двух точек совпадает, а другая - нет.

Рис. 5

Из пары конкурирующих точек видима та, у которой больше координата, определяющая расстояние до данной плоскости проекций.

На чертеже 1 рисунка 5 точки А и В лежат на перпендикуляре к фронтальной плоскости проекций П2. Точка А находится перед точкой В, т.к. у точки А больше координата y.

Точка А находится под точкой В на чертеже 2 рисунка 4, поскольку точка В имеет координату z больше, чем у точки А.

9

На чертеже 3 рисунка 4 точка А совпадает с точкой В, т.к. все их координаты равны. Точки А и В чертежа 4 рисунка 4 не являются конкурирующими, поскольку не лежат на одном проецирующем луче.

3 Прямая в ортогональных проекциях

Следом прямой называется точка пересечения прямой с плоскостью проекций.

Следы прямой являются точками частного положения, лежащими на плоскостях проекций. Поэтому горизонтальный след совпадает со своей горизонтальной проекцией, а фронтальный след – со своей фронтальной проекцией.

На чертеже 1 рисунка 6 горизонтальный след, обозначенный буквой M, совпадает со своей горизонтальной проекцией, а фронтальный след, обозначенный буквой N, - со своей фронтальной проекцией. Поэтому на этом чертеже следы прямой построены и обозначены правильно.

На других чертежах рисунка 6 следы прямой построены или обозначены неверно. На чертеже 2 рисунка 6 горизонтальный след совпадает со своей фронтальной проекцией, а фронтальный след прямой – со своей горизонтальной проекцией, что является неправильным.

На чертеже 3 рисунка 6 обозначения следов перепутаны, Так горизонтальный след прямой обозначен буквой N, а фронтальный след – буквой M. На чертеже 5 рисунка 6 горизонтальный след прямой построен верно, а фронтальный отмечен как точка пересечения проекций прямой, что является неправильным решением.

Прямые общего положения при своем продолжении пересекают все три плоскости проекций, поэтому их проекции не параллельны и не перпендикулярны осям координат. Этому правилу соответствует чертеж 2 рисунка 6.

Прямые частного положения параллельны одной или двум плоскостям проекций одновременно и проецируются на эти плоскости в натуральную величину. Они имеют два или один след соответственно.

10