Кодификатор знаний. Инженерка

4 Плоскость в ортогональных проекциях

Способы задания плоскости представлены на рисунке 15.

Рис. 15

21

Плоскость в ортогональных проекциях может быть задана: тремя точками, не лежащими на одной прямой (чертеж 1 рисунка 15); прямой и точкой, ей не принадлежащей (чертеж 2); двумя пересекающимися или параллельными прямыми (чертежи 3 и 4 соответственно); плоской фигурой (чертеж 5); следами

(чертеж 6).

Следом плоскости называется прямая пересечения плоскости пространства с плоскостью проекций:

∑П1 – горизонтальный след плоскости; ∑П2 – фронтальный след плоскости (чертеж 6 рис. 15).

Плоскость общего положения расположена произвольно относительно плоскостей проекций и при своем продолжении пересекает все три плоскости проекций, поэтому имеет три следа. Этому правилу соответствует чертеж 1 рисунка 16.

Плоскость частного положения перпендикулярна одной или двум плоскостям проекций одновременно. Она имеет три или два следа соответственно (чертежи 2, 3, 4, 5 рис. 16).

Плоскости уровня параллельны одной плоскости проекций, на которую они проецируются в натуральную величину, а двум другим плоскостям проекций плоскости уровня перпендикулярны, поэтому, на эти плоскости проекций они проецируется в линии, параллельные осям. Два следа плоскостей уровня совпадают с вырожденными проекциями плоскостей и параллельны осям.

Фронтальная плоскость представлена на чертеже 2 рисунка 16. Ее фронтальная проекция спроецирована в натуральную величину, а горизонтальная проекция представляет собой прямую, совпадающую с горизонтальным следом и параллельную оси х. Горизонтальная плоскость представлена на чертеже 6 рисунка 16. Ее горизонтальная проекция спроецирована в натуральную величину, а фронтальная проекция представляет собой прямую, параллельную оси х. которая является фронтальным следом горизонтальной плоскости.

Профильная плоскость представлена на чертеже 3 рисунка 16. Ее фронтальная и горизонтальная проекция представляют собой прямые, перпендикулярные оси х и являющиеся фронтальным и горизонтальным следом соответственно.

22

Рис. 16

Проецирующие плоскости – плоскости, перпендикулярные одной из плоскостей проекций, на которую проецируются в прямую, произвольно расположенную относительной оси х. Один след совпадает с вырожденной проекцией плоскости, а два других – перпендикулярны осям. Ни одна из проекций плоскости не проецируется в натуральную величину.

На чертеже 5 рисунка 16 представлена горизонтально проецирующая плоскость, на чертеже 4 – фронтально проецирующая плоскость.

Точка принадлежит плоскости, если она лежит на прямой, принадлежащей этой плоскости.

Плоскости треугольника KLM принадлежит точка В (рис. 17), т.к. проекции точки лежат на одноименных проекциях прямых

KM.

Точки А, С и Е (рис. 17) не принадлежат плоскости, т.к. не лежат на одноименных проекциях соответствующих прямых.

Точка А не принадлежи плоскости треугольника KLM, т.к. горизонтальная проекция точки А лежит на фронтальной проекции прямой KL, а фронтальная проекция точки А – на горизонтальной проекции прямой KL.

Взаимное положение плоскости и прямой

Прямая принадлежит плоскости, если проходит через две точки плоскости. Все прямые, изображенные на рисунке 18 принадлежат плоскости треугольника АВС.

Прямая параллельна плоскости, если в плоскости можно построить пр ямую, параллельную заданной.

Прямая перпендикулярна плоскости, если перпендку-

лярна двум пересекающимся прямым этой плоскости. Такими прямыми можно взять горизонталь и фронталь плоскости,

тогда горизонтальная проекция перпендикуляра будет перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция перпендикуляра будет перпендикулярна фронтальной проекции фронтали.

Прямая пересекает плоскость, если имеет с этой плос-

костью одну общую точку.

К главным линиям, лежащим в плоскости относятся горизонталь, фронталь и линия наибольшего ската.

Горизонталь плоскости – горизонтальная прямая, лежащая в плоскости (прямая h рисунка 18). Ее фронтальная проекция параллельна оси x, а горизонтальная – достроена с учетом принадлежности прямой плоскости.

Фронталь плоскости – фронтальная прямая, лежащая в плоскости (прямая f рисунка 18). Ее горизонтальная проекция параллельна оси x, а фронтальная – достроена с учетом принадлежности прямой плоскости.

Линия наибольшего ската – прямая плоскости, перпен-

дикулярная ее горизонтали (прямая a рисунка 18).

25

Горизонтальная проекция прямой а построена согласно теореме о проецировании прямого угла, т.е. перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция - с учетом принадлежности прямой плоскости.

Рис. 18

Прямая m и плоскость Г (a∩b) рисунка 19 а перпендикулярны друг другу, т.к. горизонтальная проекция прямой m перпендикулярна к горизонтальной проекции прямой a, являющейся горизонталью плоскости Г (a∩b), а фронтальная проекция прямой m перпендикулярна фронтальной проекции прямой b, являющейся фронталью плоскости Г (a∩b).

26

Рис. 19

Прямая m и плоскость ∑ (∑┴ П2), являющейся фронтально проецирующей плоскостью рисунка 19 б, перпендикулярны друг другу, т.к. фронтальная проекция прямой m перпендикулярна фронтальному следу плоскости ∑, а горизонтальная проекция прямой m перпендикулярна горизонтальному следу плоскости ∑, поскольку следы плоскости можно рассматривать в качестве пересекающихся прямых, лежащих в заданной плоскости.

Горизонтальный след плоскости часто называется горизонталью нулевого уровня, а фронтальный след – фронталью нулевого уровня.

Задача 4.2. Определить на каком чертеже рисунка 20 правильно построена горизонталь плоскости треугольника АВС?

Горизонталь h плоскости АВС построена правильно на чертеже 3 рисунка 19, т.к. ее фронтальная проекция параллельна оси х, а горизонтальная – проходит через точку 1 на стороне ВС. На чертежах 1 и 2 рисунка 19 фронтальные

27

проекции горизонталей параллельны оси х, а горизонтальные – совпадают с горизонтальными проекциями прямых АВ и АС, что является неверным решением. На чертеже 4 рисунка 10 представлена фронталь плоскости, т.к. ее горизонтальная проекция параллельна оси х, а фронтальная – проходит через точку 2 на стороне ВС.

Рис. 20

28

Задача 4.3. Определить на каком из чертежей рисунка 21 изображена прямая, параллельная плоскости треугольника АВС.

Рис. 21

29

Прямая n, параллельная плоскости ABC, правильно построена на чертеже 1 рисунка 21, т.к. ее горизонтальная проекция параллельна горизонтальной проекции прямой ВС, а фронтальная проекция прямой n параллельна фронтальной проекции стороны ВС.

На других чертежах рисунка 21 в плоскости треугольника АВС нет прямых, параллельных прямой n.

Задача 4.4. Определить на каком чертеже рисунка 22 правильно изображена прямая p, перпендикулярная плоскости треугольника АВС.

Прямая p, перпендикулярная плоскости треугольника АВС, правильно изображена на чертеже 1 рисунка 22, т.к. ее горизонтальная проекция перпендикулярна к горизонтальной проекции прямой АС, являющейся горизонталью плоскости АВС, а фронтальная проекция перпендикулярна фронтальной проекции прямой АВ, являющейся фронталью плоскости АВС.

На других чертежах рисунка 22 прямая p не перпендикулярна плоскости АВС.

Прямая пересекает плоскость, если имеет с этой плос-

костью одну общую точку.

Для построения точки пересечения прямой с плоскостью:

1.прямая заключается во вспомогательную плоскость, желательно частного положения;

2.строится линия пересечения двух плоскостей – заданной и вспомогательной;

3. отмечается точка пересечения заданной прямой с построенной линией пересечения плоскостей, которая будет искомой точкой пересечения

Вспомогательной плоскостью для решения задачи на определение точки пересечения прямой d с плоскостью треугольника АВС рисунка 23 взята горизонтально проецирующая плоскость, поэтому горизонтальный след плоскости ∑ совпадает с горизонтальной проекцией прямой d и с горизонтальной проекцией линии пересечения двух плоскостей – прямой m. Фронтальная проекции линии пересечения m строится по принадлежности плоскости треугольника АВС с помощью двух точек 1 и 2.

30