Кодификатор знаний. Инженерка

Графически порядок поверхности задается максимальным количеством точек пересечения произвольной прямой с заданной поверхностью. Цилиндрические, конические поверхности вращения, эллипсоиды, параболоиды, сферические поверхности имеют только две точки пересечения с произвольной прямой. Эти поверхности относятся к поверхностям второго порядка. Открытый тор и гиперболоид вращения имеют 4 точки пересечения с прямой, это поверхности четвертого порядка.

Точка принадлежит поверхности, если лежит на линии этой поверхности.

Линия принадлежит поверхности, если проходит через точки этой поверхности.

На рисунке 38 представлены следующие поверхности:

чертеж 1 – призма с шестиугольным основанием. Каждая грань призмы является горизонтально проецирующей плоскостью, а ребра – горизонтально проецирующими прямыми, поэтому данная призма – прямая. Поверхности призмы принадлежат точки В и С, т.к. они лежат на верхнем основании и боковой грани призмы, а их проекции на проекциях этих плоскостей. Точка А не принадлежит поверхности призмы, т.к. ее фронтальная проекция лежит на фронтальной проекции боковой грани, а горизонтальная проекция не совпадает с горизонтальным следом этой грани;

чертеж 2 – прямой круговой конус. Точки А и В принадлежат поверхности конуса, т.к. их проекции лежат на соответствующих проекциях образующей и параллели конуса. Точка D не принадлежит конической поверхности, т.к. она не лежит ни на одной образующей заданного конуса; чертеж 3 – прямой круговой цилиндр, все образующие которого являются горизонтально проецирующими прямыми. Цилиндрической поверхности принадлежат точки А, В и С, т.к. их проекции лежат на соответствующих проекциях боковой поверхности цилиндра и его основания. Точка D не принадлежит поверхности цилиндра, т.к. она не

51

лежит ни на одной из образующих заданного цилиндра, ни на его основании; чертеж 4 – прямая пирамида, высота которой перпендику-

лярна ее основанию, грани являются плоскостями общего положения, два ребра – профильными прямыми, два других ребра – фронтальными прямыми. Пирамиде принадлежат точки А и D, т.к. они лежат на соответствующих проекциях ребер пирамиды. Горизонтальная проекция точки D выстроена с учетом принадлежности прямой, лежащей на соответствующей грани пирамиды. Точка С не принадлежит поверхности пирамиды, т.к. через нее нельзя провести прямую, лежащую на гранях этой пирамиды; чертеж 5 – сферическая поверхность или шар, каждая

проекция которой представляет собой окружность одинакового радиуса. Поверхности шара принадлежат точки В и D, т.к. принадлежат соответствующим проекциям главного меридиана и экватора поверхности. Точки А и С не принадлежат поверхности шара, т.к. фронтальная проекция точки А лежит на фронтальной проекции главного меридиана, а горизонтальная проекция – на горизонтальной проекции экватора. У точки С фронтальная проекция лежит на фронтальной проекции экватора, а горизонтальная проекция

– на горизонтальной проекции главного меридиана; чертеж 6 – прямой усеченный конус, два основания которого представляют собой горизонтальные окружности. Ось вращения конуса перпендикулярна его основаниям и является горизонтально проецирующей прямой. Поверхности усеченного конуса принадлежат точки А и С, т.к. их проекции лежат на соответствующих проекциях образующей и параллели. Точки В, D и К не принадлежат поверхности конуса, т.к. через проекции этих точек нельзя провести проекции линий, лежащих на поверхности заданного усеченного конуса. Горизонтальная проекция точки К – на горизонтальной проекции нижнего основания конуса. Поэтому проекции точки К принадлежат двум различным линиям поверхности конуса.

52

Задача 7.1. Какие поверхности могут быть образованы, если на чертежах рисунка 39 задана геометрическая часть определителя поверхности?

На чертежах рисунка 39 заданы геометрические части определителей различных поверхностей:

53

на чертеже 1 задана прямая n, параллельная оси вращения i. При вращении вокруг оси заданная прямая образует цилиндрическую поверхность;

чертеже 2 прямая n пересекает ось вращения i в точке S. Вращаясь вокруг оси, заданная прямая образует коническую поверхность; чертеже 3 окружность, вращаясь вокруг оси, совпадаю-

щей с осью окружности, образует сферическую поверхность; чертеже 4 эллипс, вращаясь вокруг оси, совпадающей

с одной из своих осей, образует эллипсоид вращения. Если эллипс вращается вокруг своей больной оси, образуется вытянутый эллипсоид. Вращаясь вокруг своей малой оси, эллипс образует сжатый эллипсоид; чертеже 5 окружность, вращаясь вокруг оси, не совпадающей с осью окружности, образует поверхность тора. Если ось вращения находится за пределами окружности, образуемая поверхность называется открытым тором, если ось вращения находится внутри окружности –

закрытым тором или глобоидом.

Рис. 39

54

8 Развѐртки поверхностей

Поверхности можно разделить на развертываемые, приб-

лиженно развертываемые и неразвертываемые.

Разверткой поверхности называется фигура, полученная совмещением поверхности с некоторой плоскостью.

Развертываемыми поверхностями называются такие поверхности, которые можно совместить с некоторой плоскостью без складок и разрывов.

Неразвертываемые поверхности не совмещаются с произ-

вольной плоскостью без разрывов и складок.

Развертки наклонной и прямой пирамиды, прямого и наклонного конуса выстраиваются способом триангуляции (способом треугольника). Развертки наклонной призмы и цилиндра – способом раскатки, Развертки прямого цилиндра и прямой призмы способом нормального сечения.

Поверхности пирамиды или призмы относятся к завертываемым поверхностям, а коническая и цилиндрическая поверхности – к приближенно развертываемым.

Задача 8.1. Какие поверхности представлены на рисунке 40?

На рисунке 40 приведены примеры развертывающихся поверхностей: чертеж 5 – наклонная призма и чертеж 6 – наклонная пирамида. Приближенно развертываемые поверхности представлены на чертеже 2 – наклонный цилиндр, на чертеже 3 – наклонный конус.

Неразвертываемые поверхности изображены на чертеже 1 – сферическая поверхность, на чертеже 4 – поверхность закрытого тора или глобоида.

Задача 8.2. Развертки каких поверхностей представлены на чертежах рисунка 41?

На чертежах рисунка 41 представлены развертки различных поверхностей:

чертеж 1 – развертка наклонного кругового конуса;

чертеж 2 – развертка прямой четырехгранной призмы, боковая поверхность которой представляет собой прямоугольники, число которых зависит от количества сторон многоугольника основания; на чертеже 3 представлена развертка прямого круго-

вого цилиндра, боковая поверхность которого разверты-

55

вается в прямоугольник, ширина которого равна высоте цилиндра, а длина равна длине окружности основания; чертеж 4 – развертка наклонной четырехугольной пирамиды; чертеж 5 – развертка прямого кругового конуса, предс-

тавляющая собой сегмент окружности, у которого вычисляется длина дуги и угол; чертеж 6 – развертка прямой четырехгранной пирами-

ды, боковые грани развертки представляют собой треугольники, число которых зависит от многоугольника основания; чертеж 7 – развертка наклонного цилиндра;

чертеж 8 – развертка наклонной призмы, боковая поверхность состоит из параллелограммов, число которых зависит от многоугольника основания.

Рис. 40

56

Рис. 41

9 Многогранные поверхности

Многогранниками называют поверхности, образованные совокупностью плоскостей.

Элементами многогранной поверхности являются: вершина,

ребро, грань и основание.

Ребро – линия пересечения граней многогранника между собой.

Вершина – точка пересечения всех ребер или граней.

Если каждая грань многогранника представляет собой правильный многоугольник, то такой многогранник называется правильным. Многоугольник называется правильным, если все его стороны и углы равны между собой.

57

К правильным многогранникам относятся:

тетраэдр – прямая пирамида, все четыре грани которой представляют собой правильные треугольники;

гексаэдр – прямая призма, шесть граней которой являются правильными четырехугольниками (квадратами). Иначе этот многогранник называется кубом;

октаэдр – восьмигранник, все грани которого являются правильными треугольниками;

додекаэдр – двенадцатигранник, все грани которого – правильные пятиугольники; икосаэдр – двадцатигранник, все грани – это правильные треугольники.

Задача 9.1. Какие многогранники представлены на чертежах рисунка 42?

На чертеже 1 рисунка 42 приведен пример наклонной призмы, нижнее и верхнее основания которой являются горизонтальными плоскостями, а боковые грани – плоскостями общего положения. Ребра наклонной призмы параллельны между собой. На чертеже правильно определена видимость ребер на фронтальной плоскости проекций и сторон основания на горизонтальной плоскости проекций.

Чертеж 2 рисунка 42 соответствует наклонной пирамиде, в основании которой лежит четырехугольник, каждая грань пирамиды – плоскостью общего положения, а ребра – прямыми общего положения, пересекающиеся в общей вершине – точке S, основание – горизонтальная плоскость. Видимость ребер на фронтальной плоскости проекций и сторон основания на горизонтальной плоскости проекций определена правильно.

На чертеже 3 рисунка 42 задана прямая шестиугольная пирамида, высота которой перпендикулярна основанию. Основание пирамиды задано горизонтальной плоскостью, две грани являются фронтально проецирующими плоскостями, остальные четыре грани – плоскостью общего положения, а ребра – профильными прямыми и прямыми общего положения.

На чертеже 4 рисунка 42 задана прямая призма, верхнее и нижнее основание которой представляют собой правильные пятиугольники и являются горизонтальными плоскостями,

58

боковые грани – горизонтально проецирующими плоскостями, все ребра – горизонтально проецирующими прямыми, перпендикулярными основанию. Поэтому призму называют прямой.

Видимость ребер призмы на фронтальной плоскости проекций показана правильно.

Рис. 42

59

10 Пересечение плоскости с поверхностью

Для построения линии пересечения плоскости с поверхностью необходимо определить их общие точки и соединить их.

Если плоскость пересекает гранную поверхность, то в сечении образуется многоугольник, число сторон которого равно n или n + 1, где n число сторон основания многогранника.

Если плоскость пересекает поверхность вращения, то в сечении образуется линия пересечение n-го порядка, где n соответствует порядку поверхности вращения.

Если плоскость пересекает линейчатую поверхность, то линия пересечения строится по точкам пересечения каждой образующей поверхности с заданной плоскостью.

Задача 10.1. Какие кривые линии получаются при рассечении поверхностей вращения заданными плоскостями (рис. 43)?

Рис. 43

60