Операционное исчисление.

Задание 1. Найти изображение следующих функций:

а) ; б) .

Задание 2. По данному графику оригинала найти:

а) изображение ступенчатой функции, используя теорему запаздывания;

б) изображение для периодической функции; в) изображение, используя преобразование Лапласа.

а) b	б)
в)

.Задание 3. Восстановить оригинал по изображению : .

Задание 4. Найти оригинал, учитывая, что изображения представляются в виде суммы элементарных дробей: .

Задание 5. Средствами операционного исчисления найти частные решения дифференциальных уравнений при указанных начальных условиях: а) б)

литература

1. Теория функций комплексного переменного. Операционное исчисление / Л.А. Апайчева, А.Г. Багоутдинова, Л.Е. Шувалова. – Нижнекамск: Изд-во НХТИ, 2009. – 216 с.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2003

3. Апайчева Л.А., Багоутдинова А.Г., Шувалова Л.Е. Теория вероятностей: учебное пособие. – Нижнекамск: Нижнекамский химико-технологический институт (филиал КГТУ), 2011. – 260 с.

4. Апайчева Л.А., Шувалова Л.Е., Хрузина Т.А. Математическая статистика / учебное пособие. – Казань: КГТУ, 2007. – 196 с.

Вариант: 8

Тема: " Теория вероятностей и математическая статистика"

Задание 1. Известно, что первый станок простаивает 5%, второй станок – 10%, а третий – 15% рабочего времени. Какова вероятность того, что в случайно выбранный момент времени окажутся работающими: а) один станок; б) два станка; в) хотя бы два станка?

Задание 2. Приведена схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Считается известной надежность p_k k-го элемента (соответственно q_k = 1– p_k – вероятность его отказа). Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вычислить надежность p схемы: р₁ = 0,6; р₂ = 0,5; р₃ = 0,7; р₄ = 0,6; р₅ = 0,7.

Задание 3. На трех поточных линиях производятся одинаковые изделия, которые поступают в ОТК. Производительность первой поточной линии вдвое больше производительности второй и вдвое меньше производительности третьей поточной линии, причем первая линия в среднем производит 50 % изделий высшего сорта, вторая – 80 %, третья – 30 %. Наугад взятое ОТК на проверку изделие оказалось высшего сорта. Какова вероятность того, что это изделие произведено на второй поточной линии?

Задание 4. Монета бросается до тех пор, пока герб не выпадет 8 раз. Определить вероятность того, что цифра выпадет 3 раза.

Задание 5. Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,6. Определить вероятность того, что число m наступлений события удовлетворяет неравенству: 40 m 50.

Задание 6. Дана плотность распределения случайной величины . Найти параметр , математическое ожидание М, дисперсию D, функцию распределения случайной величины , вероятность выполнения неравенства – 1 <  < 0.

Задание 7. Даны следующие выборки:

Выборка А	Выборка В	Выборка С
2 0 2 6 2 3 5 3 8 3 6 4 5 2 6 6 5 5 8 8 3 5 0 2 4 5 2 1 8 9 7 6 7 4 5 6 5 6 8 3 6 5 5 1 7 6 4 1 5 3 4 7 2 8 8 2 8 2 1 6 5 2 3 6 3 3 5 3 3 7 5 0 6 3 4 6 7 4 6 2 7 7 1 2 3 6 6 3 2 6 4 2 4 8	57 61 60 63 66 68 64 72 69 59 71 62 69 57 61 58 60 66 87 62 64 53 50 50 55 70 61 77 70 65 66 72 71 63 74 62 49 62 76 66 64 62 60 53 65 49 79 58 82 61 63 64 59 55 70 62 61 68 69 67 64 42 73 90 69 60 64 69 62 67 67 72 57 51 77 58 63 71 85 68 80 54 64 53 64 68 58 73 68 61 54 73 59 69 60 67 57 54 69 55 70 65 61 65 62 71 55 67 57 64 70 55 65 69 65 65 60 66 63 74 60 54 75 62 74 63 64 76 59 71 68 55 68 61 57 73 54 57 56 65 53 64 58 67 48 66 68 55 77 59 58 58 62 58 52 62 65 71 64 66 65 58 66 73 73 72 43 63 59 76 67 63 71 66 59 69 65 66 50 65 57. Длина интервала 4	460 462 456 485 490 409 472 502 436 457 475 474 452 435 465 431 432 446

1. По выборкам A и B решить следующие подзадачи:

• составить вариационный ряд (по выборке A – дискретный вариационный ряд, по выборке B – интервальный вариационный ряд);

• построить графики вариационных рядов (полигон и гистограмму);

• построить эмпирическую функцию распределения;

• вычислить числовые характеристики вариационного ряда.

2. Для столбцов выборки С (несгруппированных данных) вычислить числовые характеристики .

3. Для столбцов выборки С вычислить несмещенные оценки параметров генеральной совокупности: .

4. Вычислить несмещенные оценки параметров генеральной совокупности по выборкам A и B, используя результаты задачи 1.

5. По выборке B при уровне значимости  проверить гипотезу о нормальном законе распределения соответствующей генеральной совокупности.

,