Операционное исчисление.

Задание 1. Найти изображение следующих функций:

а) ; б) .

Задание 2. По данному графику оригинала найти:

а) изображение ступенчатой функции, используя теорему запаздывания;

б) изображение для периодической функции; в) изображение, используя преобразование Лапласа.

а)	б)
в)

.Задание 3. Восстановить оригинал по изображению : .

Задание 4. Найти оригинал, учитывая, что изображения представляются в виде суммы элементарных дробей: .

Задание 5. Средствами операционного исчисления найти частные решения дифференциальных уравнений при указанных начальных условиях: а) б)

литература

1. Теория функций комплексного переменного. Операционное исчисление / Л.А. Апайчева, А.Г. Багоутдинова, Л.Е. Шувалова. – Нижнекамск: Изд-во НХТИ, 2009. – 216 с.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2003

3. Апайчева Л.А., Багоутдинова А.Г., Шувалова Л.Е. Теория вероятностей: учебное пособие. – Нижнекамск: Нижнекамский химико-технологический институт (филиал КГТУ), 2011. – 260 с.

4. Апайчева Л.А., Шувалова Л.Е., Хрузина Т.А. Математическая статистика / учебное пособие. – Казань: КГТУ, 2007. – 196 с.

Вариант: 4

Тема: " Теория вероятностей и математическая статистика"

Задание 1. На склад с трех предприятий поступает продукция первого и второго сорта. В продукции первого предприятия содержится 15% второго сорта изделий; продукции второго – 25% и третьего – 30% второсортных изделий. Чему равна вероятность того, что среди трех изделий (по одному из продукции каждого предприятия) окажутся первосортные: а) одно изделие; б) два изделия; в) хотя бы два изделия?

Задание 2. Приведена схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Считается известной надежность p_k k-го элемента (соответственно q_k = 1– p_k – вероятность его отказа). Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вычислить надежность p схемы: р₁ = 0,6; р₂ = 0,5; р₃ = 0,7; р₄ = 0,6.

Задание 3. Литье в болванках поступает из трех заготовительных цехов: 60 штук из первого цеха, а из второго и третьего цехов соответственно в 2 и 4 раза больше, чем из первого. При этом материал первого цеха имеет 10% брака, второго – 20% брака, а третьего – 25%. Найти вероятность того, что наудачу взятая болванка окажется без дефектов.

Задание 4. Монета бросается до тех пор, пока герб не выпадет 4 раза. Определить вероятность того, что цифра выпадет 3 раза.

Задание 5. Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,7. Определить вероятность того, что число m наступлений события удовлетворяет неравенству: 83 m 93.

Задание 6. Дана плотность распределения случайной величины . Найти параметр , математическое ожидание М, дисперсию D, функцию распределения случайной величины , вероятность выполнения неравенства 2 <  < 2,8.

Задание 7. Даны следующие выборки:

Выборка А	Выборка В	Выборка С
2 0 2 6 2 3 5 3 8 3 6 4 5 2 6 6 5 5 8 8 3 5 2 2 4 5 2 1 3 9 7 6 7 4 5 6 5 6 8 3 6 5 5 1 7 6 4 1 5 4 4 7 2 8 8 2 8 2 1 6 5 2 3 6 3 3 5 3 3 7 5 5 6 3 4 6 7 4 6 2 7 7 1 2 3 6 6 3 2 6 4 2 4 8	57 61 60 63 66 68 64 72 69 59 71 62 69 57 61 58 60 66 95 62 64 53 50 50 55 70 61 77 70 65 66 72 71 64 74 62 49 62 76 66 64 62 60 53 65 49 79 58 56 61 63 64 59 55 70 62 61 68 69 67 64 42 73 78 69 60 64 69 62 67 67 72 57 51 77 58 63 71 98 68 80 54 64 53 64 68 58 73 68 61 54 73 59 69 60 67 57 54 69 55 70 65 61 65 62 71 55 67 57 64 70 55 65 69 65 65 60 66 63 74 60 54 75 62 74 63 64 76 59 71 68 55 68 61 57 73 54 57 56 65 53 64 58 67 48 66 68 55 77 59 58 58 62 58 52 62 65 71 64 66 65 58 66 73 73 72 43 63 59 76 67 63 71 66 59 69 65 66 50 65 57. Длина интервала 4	61 63 59 64 63 62 68 65 68 65 62 68 64 60 64 67 68 62 67

1. По выборкам A и B решить следующие подзадачи:

• составить вариационный ряд (по выборке A – дискретный вариационный ряд, по выборке B – интервальный вариационный ряд);

• построить графики вариационных рядов (полигон и гистограмму);

• построить эмпирическую функцию распределения;

• вычислить числовые характеристики вариационного ряда.

2. Для столбцов выборки С (несгруппированных данных) вычислить числовые характеристики .

3. Для столбцов выборки С вычислить несмещенные оценки параметров генеральной совокупности: .

4. Вычислить несмещенные оценки параметров генеральной совокупности по выборкам A и B, используя результаты задачи 1.

5. По выборке B при уровне значимости  проверить гипотезу о нормальном законе распределения соответствующей генеральной совокупности.

,