Операционное исчисление.

Задание 1. Найти изображение следующих функций:

а) ; б) .

Задание 2. По данному графику оригинала найти:

а) изображение ступенчатой функции, используя теорему запаздывания;

б) изображение для периодической функции; в) изображение, используя преобразование Лапласа.

а)	б)
в)

.Задание 3. Восстановить оригинал по изображению : .

Задание 4. Найти оригинал, учитывая, что изображения представляются в виде суммы элементарных дробей: .

Задание 5. Средствами операционного исчисления найти частные решения дифференциальных уравнений при указанных начальных условиях: а) б)

литература

1. Теория функций комплексного переменного. Операционное исчисление / Л.А. Апайчева, А.Г. Багоутдинова, Л.Е. Шувалова. – Нижнекамск: Изд-во НХТИ, 2009. – 216 с.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2003

3. Апайчева Л.А., Багоутдинова А.Г., Шувалова Л.Е. Теория вероятностей: учебное пособие. – Нижнекамск: Нижнекамский химико-технологический институт (филиал КГТУ), 2011. – 260 с.

4. Апайчева Л.А., Шувалова Л.Е., Хрузина Т.А. Математическая статистика / учебное пособие. – Казань: КГТУ, 2007. – 196 с.

Вариант: 25

Тема: " Теория вероятностей и математическая статистика"

Задание 1. В ящике 4 белых и 6 черных шаров. Шары извлекаются по одному и после извлечения в коробку не возвращаются. Какова вероятность того, что при трех извлечениях шары будут: а) одного цвета; б) хотя бы один из них будет белого цвета.

Задание 2. Приведена схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Считается известной надежность p_k k-го элемента (соответственно q_k = 1– p_k – вероятность его отказа). Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вычислить надежность p схемы: р₁ = 0,6; р₂ = 0,5; р₃ = 0,7; р₄ = 0,6; р₅ = 0,7; р₆ = 0,8; р₇ = 0,5.

Задание 3. Из десяти студентов, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей и взявших билеты, Иванов и Петров знают 20 билетов из 30, Сидоров плохо занимался весь семестр и успел повторить только 15 билетов, остальные студенты знают все 30 билетов. По прошествии отведенного времени на подготовку экзаменатор наудачу вызывает одного из студента. Какова вероятность того, что вызванный сдал экзамен, если знание билета гарантирует сдачу экзамена с вероятностью 0,85, а при незнании билета можно сдать экзамен лишь с вероятностью 0,1?

Задание 4. Монета бросается до тех пор, пока герб не выпадет 5 раз. Определить вероятность того, что цифра выпадет 6 раз.

Задание 5. Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,4. Определить вероятность того, что число m наступлений события удовлетворяет неравенству: m 80.

Задание 6. Дана плотность распределения случайной величины . Найти параметр , математическое ожидание М, дисперсию D, функцию распределения случайной величины , вероятность выполнения неравенства 0 <  < 3.

Задание 7. Даны следующие выборки:

Выборка А	Выборка В	Выборка С
6 7 5 6 11 8 7 4 4 8 3 2 3 9 7 6 9 5 8 8 7 10 8 6 9 9 10 3 10 5 7 6 7 4 3 6 12 10 2 2 3 8 6 8 2 3 7 6 8 9 9 3 8 4 11 4 6 9 2 8 6 8 8 7 6 9 4 4 7 6 9 6	22 12 18 44 52 31 18 20 27 35 41 28 29 45 36 40 41 37 18 40 25 14 46 37 50 41 37 37 21 37 27 27 32 34 28 40 31 20 22 25 31 34 56 35 37 47 40 29 28 29 3 19 12 41 19 40 57 49 57 49 37 34 23 38 19 29 27 32 21 21 13 40 24 37 7 24 34 52 38 32 49 43 25 16 33 22 6 41 48 35 55 35 4 31 18 19 17 23 6 36 40 12 66 26 23 30 28 49 30 50 13 33 46 26 37 30 46 41 18 28 14 50 26 25 30 53 46 30 189 40 40 24 16 24 28 29 25 10 19 35 27 22 38 32 41 21 46 27 49 34 53 32 31 15 24 38 25 34 22 35 42 38 33 Длина интервала 7	32 40 36 40 36 34 33 35 36 43 29 41 36 37 40 39 28 39 32 37

1. По выборкам A и B решить следующие подзадачи:

• составить вариационный ряд (по выборке A – дискретный вариационный ряд, по выборке B – интервальный вариационный ряд);

• построить графики вариационных рядов (полигон и гистограмму);

• построить эмпирическую функцию распределения;

• вычислить числовые характеристики вариационного ряда.

2. Для столбцов выборки С (несгруппированных данных) вычислить числовые характеристики .

3. Для столбцов выборки С вычислить несмещенные оценки параметров генеральной совокупности: .

4. Вычислить несмещенные оценки параметров генеральной совокупности по выборкам A и B, используя результаты задачи 1.

5. По выборке B при уровне значимости  проверить гипотезу о нормальном законе распределения соответствующей генеральной совокупности.

,