Операционное исчисление.

Задание 1. Найти изображение следующих функций:

а) ; б) .

Задание 2. По данному графику оригинала найти:

а) изображение ступенчатой функции, используя теорему запаздывания;

б) изображение для периодической функции; в) изображение, используя преобразование Лапласа.

а)	б)
в)

.Задание 3. Восстановить оригинал по изображению : .

Задание 4. Найти оригинал, учитывая, что изображения представляются в виде суммы элементарных дробей: .

Задание 5. Средствами операционного исчисления найти частные решения дифференциальных уравнений при указанных начальных условиях: а) б)

литература

1. Теория функций комплексного переменного. Операционное исчисление / Л.А. Апайчева, А.Г. Багоутдинова, Л.Е. Шувалова. – Нижнекамск: Изд-во НХТИ, 2009. – 216 с.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2003

3. Апайчева Л.А., Багоутдинова А.Г., Шувалова Л.Е. Теория вероятностей: учебное пособие. – Нижнекамск: Нижнекамский химико-технологический институт (филиал КГТУ), 2011. – 260 с.

4. Апайчева Л.А., Шувалова Л.Е., Хрузина Т.А. Математическая статистика / учебное пособие. – Казань: КГТУ, 2007. – 196 с.

Вариант: 22

Тема: " Теория вероятностей и математическая статистика"

Задание 1. Вероятность успешного выполнения упражнения для каждого из двух спортсменов равна 0,5. Спортсмены выполняют упражнения по очереди, причем каждый делает по две попытки. Выполнивший упражнения первым получает приз. Найти вероятность получения приза спортсменами.

Задание 2. Приведена схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Считается известной надежность p_k k-го элемента (соответственно q_k = 1– p_k – вероятность его отказа). Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вычислить надежность p схемы: р₁ = 0,6; р₂ = 0,5; р₃ = 0,7; р₄ = 0,6; р₅ = 0,7; р₆ = 0,8; р₇ = 0,5.

Задание 3. Количество продукции, поступающей на механическую обработку от трех литейных цехов, определяется соотношением 8:4:5. На 100 единиц продукции первого цеха приходится в среднем 10 единиц брака, второго и третьего цехов соответственно 8 и 11 единиц. Наудачу взятая отливка оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она отлита во втором цехе?

Задание 4. Монета бросается до тех пор, пока герб не выпадет 5 раз. Определить вероятность того, что цифра выпадет 2 раза.

Задание 5. Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,3. Определить вероятность того, что число m наступлений события удовлетворяет неравенству: m 20.

Задание 6. Дана плотность распределения случайной величины . Найти параметр , математическое ожидание М, дисперсию D, функцию распределения случайной величины , вероятность выполнения неравенства 0 <  < 1.

Задание 7. Даны следующие выборки:

Выборка А	Выборка В	Выборка С
6 7 5 6 11 8 7 4 4 8 3 2 3 9 7 6 9 5 8 8 7 10 8 6 9 9 10 3 10 5 7 6 7 4 3 6 12 10 2 2 3 8 6 8 2 3 7 6 8 9 9 3 8 4 11 4 9 9 2 8 4 8 8 7 6 9 4 4 7 6 9 6	22 49 18 44 52 31 18 20 27 35 41 28 29 45 36 40 41 37 18 40 25 38 46 37 50 41 37 37 21 37 27 27 32 34 28 40 31 20 22 25 31 34 56 35 37 47 40 29 28 29 3 11 12 41 11 40 57 49 57 49 37 34 23 38 19 29 27 32 21 21 13 40 24 37 7 24 34 52 38 32 49 43 25 16 33 22 6 41 48 35 55 35 4 31 18 19 17 23 6 36 40 12 66 26 23 30 28 49 30 50 13 33 46 26 37 30 46 41 18 28 14 50 26 25 30 53 46 30 38 40 40 24 16 24 28 29 25 10 19 35 27 22 38 32 41 21 46 27 49 34 53 32 31 15 24 38 25 34 22 35 42 38 33 Длина интервала 7	86 86 80 80 88 74 86 80 79 92 77 81 87 71 81 76 77 95 79 99

1. По выборкам A и B решить следующие подзадачи:

• составить вариационный ряд (по выборке A – дискретный вариационный ряд, по выборке B – интервальный вариационный ряд);

• построить графики вариационных рядов (полигон и гистограмму);

• построить эмпирическую функцию распределения;

• вычислить числовые характеристики вариационного ряда.

2. Для столбцов выборки С (несгруппированных данных) вычислить числовые характеристики .

3. Для столбцов выборки С вычислить несмещенные оценки параметров генеральной совокупности: .

4. Вычислить несмещенные оценки параметров генеральной совокупности по выборкам A и B, используя результаты задачи 1.

5. По выборке B при уровне значимости  проверить гипотезу о нормальном законе распределения соответствующей генеральной совокупности.

,