3. Рассчитать вероятность безотказной работы неремонтируемой системы с общим резервированием методом замещения, построить график ее изменения.

Функциональная схема неремонтируемой системы с поэлементным резервированием методом замещения имеет вид:

1

8

7

6

5

4

3

2

1^΄

8^΄

7^΄

6^΄

5^΄

4^΄

3^΄

2^΄

Построим модель надежности неремонтируемой системы с общим резервированием методом замещения, основываясь на предположениях:

1. возникновение отказов подчинено экспоненциальному закону распределения;

2. отказ системы происходит в случае отказа обоих наборов оборудования: как основного, так и резервного;

3. отказать может только то оборудование, которое находится в работе;

4. отказ каждого набора образца происходит в случае отказа хотя бы одного из образцов этого набора;

5. вероятность отказа каждого образца не зависит от состояния других образцов;

6. вероятность отказа образца i и i^΄ на интервале времени (t, t + dt) при условии, что к моменту времени t образец был исправен, равна _idt;

7. переключающее устройство абсолютно надежно.

Тогда систему целиком можно представить следующим образом:

Возможные состояния системы:

0 – работает основной набор оборудования;

1 – основной набор оборудования отказал, в работу включился резервный набор;

2 – резервный набор оборудования вышел из строя.

Матрица вероятностей перехода неремонтируемой системы с общим резервированием методом замещения:

0 1 2

0 1 - _i dt _i dt 0

P = 1 0 1 - _i dt _i dt

2 0 0 1

По данной матрице построим дифференциальные уравнения вероятностей состояния:

P₀(t + dt) = P₀(t) (1-Σ_idt)

P₁(t + dt) = P₀(t) Σ _idt + P₁(t) (1- Σ _idt)dt

P₂(t + dt) = P₁(t) Σ _idt + P₂(t)

P^י₀(t) = - P₀(t) Σ_i

P^י₁(t) = P₀(t) Σ_i – P₁(t) Σ_i

P^י₂(t) = P₁(t) Σ_idt

Начальные условия: P₀(0) = 1; P₁(0) = P₂(0) = 0

Решим систему уравнений с помощью преобразований Лапласа.

Z{ P_i(t)} =P_i(S)

Z{P^י_i(t)} = SP_i(S) - P_i(0)

SP₀(S) - 1 = - Σ_i P₀(S)

SP₁(S) = Σ_i P₀(S) - Σ_i P₁(S)

SP₂(S) = Σ_i P₁(S)

Решив систему, получим:

P₀(S) = P₁(S) = P₂(S) =

Вероятность безотказной работы системы складывается из вероятностей нахождения ее в работоспособном состоянии. Работоспособные состояния системы: 0 и 1.

R(t) = P₀(t) + P₁(t)

Используя обратное преобразование Лапласа, получим:

P₀(t) = e ^{–Σ λi t} P₁(t) = Σλ_i t e^{– Σ λi t}

Вероятность безотказной работы неремонтируемой системы с общим резервированием методом замещения:

R(t) = e ^{– Σ λi t} (1 + Σλ_i t) = e ^{– 0.0088 t}(1 + 0.0088 t)

График изменения вероятности безотказной работы неремонтируемой системы с общим резервированием методом замещения

4. Рассчитать вероятность безотказной работы неремонтируемой системы с поэлементным резервированием методом дублирования, построить график ее изменения.

Функциональная схема неремонтируемой системы с поэлементным резервированием методом дублирования имеет вид:

Рассмотрим дублирование отдельного образца:

Тогда вся система целиком может быть представлена в качестве последовательного соединения таких модулей. Поскольку к отказу системы приведет отказ хотя бы одного из модулей, то вероятность безотказной работы неремонтируемой системы с поэлементным резервированием методом дублирования будет определяться следующим образом:

R(t) = П R_i(t)

где R_i(t) – вероятность безотказной работы i-го модуля. При этом считаем, что вероятность отказа каждого модуля не зависит от состояния остальных.

Таким образом, задача сводится к вычислению надежности i-го модуля. Рассмотрим модель надежности такого модуля. При этом будем предполагать, что:

1. возникновение отказов подчинено экспоненциальному закону распределения;

2. модуль откажет, если отказали оба образца;

3. вероятность отказа каждого из двух образцов не зависит от состояния другого;

4. вероятность того, что в интервале dt откажут оба образца, входящие в состав модуля, есть бесконечно малая величина o(dt);

5. вероятность отказа каждого образца в i-м модуле равна λ_i

Возможные состояния i-го модуля:

0 – работают оба образца;

1 - один образец отказал, другой работает;

2 – оба образца отказали.

Матрица вероятностей перехода для i-го модуля:

0 1 2

0 1 - 2_i dt 2_i dt 0

P = 1 0 1 - _i dt _i dt

2 0 0 1