4.5. Конус в сверхзвуковом потоке
Предположим, что круговой полубесконечный конус обтекается равномерным сверхзвуковым потоком, причем угол атаки равен нулю (рис. 4.23). Тогда для любого параметра (например, для vr ) можно записать:
vr =vr (r ,θ,βк ,v∞ ,p∞ ,ρ∞ ) . |
(4.55) |
Отсюда, используя Пи-теорему из теории размерностей, получим
v |
r |
|
|
|
|
ρ |
v |
2 |
|
|
|
= f |
θ,β |
к |
, |
|
∞ ∞ . |
||||
v |
|
|
||||||||
∞ |
|
|
|
|
p |
∞ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
r
M ∞ σk
Θ
(4.56)
vΘ
vr
βk
Рис. 4.23. Конус в сверхзвуковом потоке
Следовательно, параметры потока не зависят от координаты r , т.е. вдоль прямых, выходящих из начала координат, они сохраняют постоянные начения. Такое течение называют коническим. Данный результат теории размерностей справедлив только в том случае, когда скачок, возникающий перед конусом, является присоединенным (см. рис. 4.23). В коническом течении
217
vr =vr ( θ) , |
vθ =vθ( θ) . |
(4.57) |
Очевидно, в этом случае образующая присоединенного скачка является прямолинейной. Поэтому в поле течения за скачком энтропия постоянна:
|
S = const . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.58) |
|||||||||
В этих условиях можно показать, что завихренность во всем |
|||||||||||||||||||
поле течения равна нулю: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ω = 0 . |
|
|
|
|
|
(4.59) |
||||||
Значения коэффициентов Ламе в данной задаче запишутся как |
|||||||||||||||||||
Hr =1 ; |
H θ = r ; |
|
H ϕ = r sin θ. |
(4.60) |
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
∂v |
θr |
|
|
∂vr |
|
|
|
|
|||||||
Тогда из (4.59) Ωϕ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
= 0 , откуда, используя |
||||
r |
|
∂r |
∂θ |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(4.57), получим |
|
|
|
|
dvr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
=vθ . |
|
|
|
|
|
(4.61) |
||||||||
|
|
|
|
|
dθ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Обратимся теперь к уравнению неразрывности. В сфериче- |
|||||||||||||||||||
ской системе координат оно будет иметь вид |
|
|
|
||||||||||||||||
∂ρvr r 2sinθ |
+ |
∂ρvθrsinθ |
|
+ |
|
∂ρvϕ |
r |
= 0 . |
(4.62) |
||||||||||
∂r |
|
|
|
|
∂θ |
|
|
|
|
|
|
∂ϕ |
|
||||||
В рассматриваемой задаче |
|
|
∂ |
|
= 0 |
. Тогда, учитывая условия |
|||||||||||||
|
∂ϕ |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(4.57), последнее уравнение можно переписать в виде
|
|
|
|
2ρvr sinθ + |
dρvθsinθ |
|
= 0 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
dθ |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
и после некоторых преобразований получить |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
v |
θ |
ctgθ +v |
2 |
− |
|
θ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
dvθ |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
a |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||
|
|
|
|
dθ |
|
|
|
|
|
1 |
− |
vθ2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
γ +1 |
|
γ −1 |
|
(vr2 +vθ2 ). |
a 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
где a 2 = |
aкр2 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Система |
уравнений |
|
(4.61) и |
|
(4.64) |
решается |
|||||||||||||||
но при следующих граничных условиях: |
при |
|
θ =βк |
||||||||||||||||||
(4.63)
(4.64)
числен- vθ = 0 ,
218
|
|
|
|
|
vr |
=v∞cosσк , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
при |
θ = σ |
к |
|
−v |
θ |
= |
2 +(γ −1)M2 sin2σ |
к |
|
|
|
(4.65) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
σк |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
v∞sinσк |
|
|
|
(γ +1)M∞sin |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Значение коэффициента давления сp |
на поверхности конуса |
||||||||||||||||||||||||
при углах 5°≤ βк ≤ 25°и числах Маха 1,5 ≤ M∞ ≤ 5 можно прибли- |
||||||||||||||||||||||||||
женно определить по интерполяционной формуле |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
pк − p∞ |
|
|
2 |
|
|
|
|
pк |
|
|
|
|
0.002 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.7 |
|
||||||||||||||
c p = |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.0016 |
+ |
|
|
βк , |
(4.66) |
||||
|
ρv |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
p∞ |
−1 = |
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
∞ |
|
γM∞ |
|
|
|
|
|
|
M∞ |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где βк – угол полураствора конуса (в градусах).
На рис. 4.24 приводится качественное сравнение распределения давления для случаев обтекания клина и конуса.
M ∞ |
σклин |
σконус |
βклин = βконус |
pклин pконус
p∞
Рис. 4.24. Сравнение случаев обтекания клина и конуса сверхзвуковым потоком
219
4.6. Теория Ньютона
Согласно теории Ньютона, скорость движения частиц жидкости до столкновения с поверхностью тела равна скорости невозмущенного потока. При столкновении частицы с элементом поверхности нормальная составляющая ее скорости становится равной нулю, а касательная остается неизменной (т.е. происходит неупругое столкновение частиц газа с элементом поверхности). Поэтому давление в данной точке, по теории Ньютона, зависит только от ориентации соответствующего элемента поверхности по отношению к вектору скорости невозмущенного потока. При этом форма остальной части тела не влияет на величину давления в данной точке. Теория Ньютона не позволяет определить давление на участках поверхности, находящихся в "аэродинамической" тени.
Следовательно, на поверхности тела происходит разрыв параметров (как и в случае перетекания газа через скачок уплотнения).
Но при этом нормальная составляющая скорости за разрывом становится равной нулю.
Используя уравнение количества движения для скачка уплотнения
p |
2 |
− p = ρ v 2 |
− ρ v 2 |
и |
|
1 1 1n |
2 2n |
|
полагая в нем v2n =0,
получаем значение давления на стенке, согласно теории Ньютона
(рис. 4.25):
τ β
v∞ pwv2
ρ∞ n p∞ w
Рис. 4.25. Взаимодействие потока тела согласно теории Ньютона
|
p |
w |
= p |
∞ |
+ ρ v 2 sin 2β |
, |
(4.67) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ ∞ |
|
|
|
|
||||
где pw = p2 ; |
p∞ = p1 ; |
|
|
ρ∞ = ρ1 ; |
v∞ =v1 . Тогда |
|
|||||||||
|
c |
p |
= |
pw |
− p∞ |
= 2sin |
2 |
β. |
(4.68) |
||||||
|
|
ρ |
|
v 2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
220 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||