в каждой движущейся элементарной частице не изменяется. Напомним, что этот результат получается при определенных допущениях, а именно: газ невязкий и нетеплопроводный и нет объемного поглощения или излучения тепла. Последние два допущения фактически означают, что движение каждой частицы происходит без теплообмена с окружаюшими ее другими частицами и с внешними телами. Течение, в котором справедливы эти допущения, называется адиабатическим. В этой связи соотношения (2.71) можно рассматривать как интеграл системы уравнений идеального совершенного газа при адиабатическом течении. Этот интеграл называется адиабатой Лапласа–Пуассона. Из второго из полученных соотношений (2.71) и определения энтропии (2.65) следует, что в каждой частице при ее движении не изменяется энтропия s . С другой стороны, из (2.71) следует, что в рассматриваемом случае плотность в движущейся частице зависит только от давления. Такое свойство называется баротропностью. В данном случае мы имеем баротропность для каждой элементарной частицы газа. Если константа C в (2.71) одна и та же для всех элементарных частиц или, другими словами, во всем поле течения, то вся среда (газ) называется баротропной. Очевидно, в этом случае мы имеем изоэнтропное течение.

3. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

Идеальная жидкость – это жидкость, в которой вязкие напряжения полагаются равными нулю. В такой жидкости в каждой точке действуют только нормальные напряжения, которые сводятся к давлению. Поскольку молекулярные механизмы явлений вязкости и теплопроводности одинаковы, то, не учитывая вязкость, следует пренебречь также и теплопроводностью. Для большинства задач гидромеханики, аэродинамики и газовой динамики модель идеальной жидкости – это и модель нетеплопроводной жидкости (исключение составляют задачи, связанные с течением жидких металлов, некоторые задачи динамики плазмы

163

и т.п.). Таким образом, под идеальной жидкостью мы будем понимать и нетеплопроводную жидкость. Рассматривая идеальную среду, будем также считать, что в ней отсутствует теплообмен за счет объемного поглощения или излучения энергии. Вместе с предыдущими допущениями это означает, что мы рассматриваем течения, в которых каждая жидкая частица не обменивается теплом с другими частицами и внешними телами, т.е. адиабатические течения.

3.1. Интегралы уравнений движения идеальной жидкости

Интеграл Бернулли. В данном случае ставится задача упростить исходную систему уравнений движения жидкости, что позволит не только избежать необходимости решать уравнения в частных производных или обыкновенные дифференциальные уравнения, но и получить в конечном итоге алгебраические соотношения, связывающие изучаемые величины. Пойдем по пути отыскания такого соотношения, производя при этом необходимые допущения. Допущения эти, конечно, должны иметь четкое физическое истолкование и не упускать основные свойства изучаемой среды. В результате получим соотношения, являющиеся самыми простыми в гидромеханике, вместе с тем отражающие основные закономерности движения жидкости и охватывающие широкий класс течений.

Рассмотрим сначала установившееся движение жидкости, т.е.

∂∂t = 0 . Запишем уравнение количества движения в форме Гро-

меки – Лэмба:

Умножим скалярно векторное уравнение (3.1) на некоторое перемещение dr = dxi + dyj + dzk . В результате получим

164

Для получения простейшего результата желательно в левой части последнего уравнения иметь полный дифференциал. Поэтому допустим, что существует некоторая функция P , удовлетворяющая условию

Для того чтобы соотношение (3.4) имело место, необходимо выполнение условия

Напомним, что среда, в которой плотность есть функция только давления, называется баротропной. Для баротропных жидкостей уравнение неразрывности и векторное уравнение количества движения, записанное в проекциях на три координатные оси, образуют замкнутую систему, так как эти четыре уравнения содержат как раз четыре искомые функции, ибо, используя (3.5), можно исключить ρ, оставив в качестве неизвестных только vx ,

vy , vz и p .

Простейшим примером баротропной среды является несжимаемая жидкость, в которой плотность вообще не зависит от давления:

В этом случае легко найти выражение для функции давления P . Действительно,

Для совершенного газа свойство баротропности обсуждалось в конце предыдущего раздела. Было показано, что гладкое изоэнтропное течение (в котором нет скачков уплотнения и других разрывов) является одновременно и баротропным с одной и той же константой в интеграле Лапласа – Пуассона (2.71):

В этом случае выражение для функции P принимает вид

В дальнейшем мы рассмотрим оба этих важнейших случая: течение несжимаемой жидкости, когда имеет место (3.6), и особенно подробно случай изоэнтропного течения совершенного газа, для которого выполняется соотношение (3.8).

Вернемся к уравнению (3.3). С учетом (3.4) его можно переписать в виде

Уравнение (3.10) можно проинтегрировать, если положить правую часть равной нулю. В этом случае получим знаменитый

Напомним, что соотношение (3.11) было получено при следующих допущениях: жидкость идеальная, течение установившееся, массовые силы имеют потенциал, жидкость баротропная, а также при условии, что правая часть уравнения (3.10) равна нулю. Что это за условия? В соответствии с теоремой линейной алгебры определитель в правой части (3.10) равен нулю, когда:

(3.11) выполняется вдоль любой вихревой линии;

в) Ω||v , т.е, если вектор вихря в каждой точке параллелен вектору скорости; в этом случае (3.11) выполняется всюду в потоке;

г) Ωx = 0, Ωy = 0, Ωz = 0 или, что то же, Ω = 0 , т.е. течение

безвихревое, а значит, потенциальное; в этом случае (3.11) выполняется во всем потоке;

166

лагать течение безвихревым ( Ω = 0 ). В последнем случае суще-

Поскольку потенциал скорости ϕ задается с точностью до

произвольной функции времени, то уравнение (3.13) сводится к следующему:

Последнее соотношение называется интегралом Лагранжа – Коши.

В качестве примера его применения укажем задачу о неустановшемся течении несжимаемой жидкости ( ρ = const ) в поле сил

тяжести. В этом случае Φ = gz и P = ρp и уравнение (3.14)

примет вид

167