Формулы преобразований Лапласа

Оригинал f(t)					Sin(at)	Cos(at)
Изображение φ(z)

Функции часто встречающихся в теории надёжности распределений в результате преобразования Лапласа приобретают следующий вид:

 для экспоненциального распределения

, (5.3)

 для нормального распределения

, (5.4)

 для гамма-распределения

. (5.5)

5.1.2. Определение вероятностей состояний системы по графу состояний

Вероятность нахождения восстанавливаемой системы в i-м состоянии в момент времени t может быть определена как отношение:

P_i(z) = Δ_i(z)/Δ(z), (5.6)

где Δ(z) – главный определитель системы дифференциальных уравнений, записанной в преобразовании Лапласа; Δ_i(z) – частный определитель системы.

Определители записывают в виде полиномов, в которых коэффициенты при переменной зависят от графа состояний и интенсивностей переходов. Степень полинома главного определителя системы равна числу узлов графа состояний, а частного определителя зависит от номера текущего состояния и начального состояния системы.

Финальная вероятность нахождения системы в i-м состоянии определяется соотношением

, (5.7)

где A_n-1, B_mi – свободные члены полиномов главного и частного определителей системы.

Вероятность попадания системы в i-е состояние в течение времени t аналогична формуле (5.6), но коэффициенты полинома главного определителя теперь уже зависят от начального и i-го состояний, а финальная вероятность равна единице (за время, стремящееся к бесконечности (t→∞; z→0), система обязательно попадет в i-е состояние).

Рассмотрим последовательность определения вероятностей нахождения в каждом из состояний на примере простой системы с восстановлением отказавших элементов (рис. 5.3). Граф состояний показан на рис. 5.4.

Неработоспособные состояния показаны на рис. 5.4 затемненными кружками: 100, 001, 110 и 010. Эти состояния являются для данной системы конечными. Переходы из состояния в состояние приведены в табл. 5.2.

Таблица 5.2

Таблица переходов состояний системы по рис. 5.3

Состояния (вершины графа по рис. 6.4)	Интенсивность переходов из данного состояния в другие	Реализуемые состояния системы	Суммарная интенсивность выхода из состояния
111 (0)	а01=а02=а06= λ	111 (0) – исходное состояние, отказов нет	а01+а02= 3λ
101 (1)	а10= μ,а14=а13= λ
011 (2)	а20= μ,а23=а27= λ	101, 011 (1) – отказ одного из двух дублированных элементов 1 или 2	а10+а13= 2λ + μ
001 (3)	а01= λ
100 (4)	а41= μ	110 (2) – отказ недублированного элемента 3	а20= μ
001 (5)	а51= μ
110 (6)	а60= μ	001 (3) – отказ одного из оставшихся дублированных элементов 1 или 2	а31= 2μ
010 (7)	а72= μ

Приведенный на рис. 5.4 граф несколько формален, так как не учитывает ограничений, связанных с особенностями функционирования конкретной системы. В то же время, свойства системы, отражающие особенности ее функционирования (прерывания, переключения, аварийные отключения, ремонты и пр.), степень резервирования и возможности восстановления отказавших элементов, а также система обслуживания при эксплуатации (схема, алгоритм, приоритеты, ресурсы) влияют на число реализуемых на практике (реалистичных) переходных и конечных состояний.

Если учесть конкретные особенности функционирования системы на рис. 5.3 (система обслуживается двумя бригадами (возможно одновременное восстановление двух отказавших элементов), и в ней не рассматриваются переходы через состояния, приводящие к отказам элемента без дублирования (элемент 3)), то в этом случае граф состояний системы упрощается, а число рассматриваемых состояний уменьшается до четырех (см. табл. 5.2).

Для вычисления вероятностей нахождения системы в любом из состояний в конкретный момент времени (соотношение (5.6)) необходимо найти ее главный и частные определители. В рассматриваемом примере главный определитель системы в преобразовании Лапласа может быть представлен в виде полинома третьей степени Δ(s) = s(A₀s³ + A₁s² + A₂s + A₃).

Частный определитель также представляется в виде полинома, степень которого находится из выражения m_i = n – 1 – l_i, где n – число состояний системы, l_i – число переходов в i-е состояние из начального по кратчайшему пути. В общем виде частный определитель Δ_i(s) = B_0is^mi + B_1is^mi-1 + ... + B_mi).

Коэффициенты полиномов определяют из интенсивностей переходов по правилам, которые мы здесь не рассматриваем (см. [7]). Опуская вычисления, приведем соотношения определителей анализируемой в примере системы:

Δ(s) = s[s³ + (5λ + 4μ)s² + (6λ² + 11λμ + 5μ²)s + (2μ³ + 6λμ² + +4λ²μ);

Δ₀(s) = s³ + (2λ + 4μ)s² + (2λμ + 5μ²)s + 2μ³;

Δ₁(s) = 2λs² + 6λμs + 4λμ²;

Δ₂(s) = λs² + (2λ² + 3λμ)s + 2λμ²;

Δ₃(s) = 4λ²s + 4λ²μ.

Искомые вероятности находят как отношения соответствующих определителей к главному определителю системы.