ЛЕКЦИИ МДТТ РУС

2. Искакбаев А. И. Основы механики деформируемого твердого тела. - Алматы: Изд-во Қазақ университетi, 2008. – 216 с.

Лекционные занятия № 19 - 20.

Название темы: Многозвенные модели теории линейной вязкоупругости. Время релаксации. Время запаздывания.

Цель лекций: Изучить особенности поведения многозвенных моделей линейной теории вязкоупругости.

Ключевые слова: модели типа Максвелла; модели типа Фойгта.

Основные вопросы (положения) и краткое содержание:

Двухзвенные модели; трехзвенные модели; четырехзвенные модели; обобщенные модели теории линейной вязкоупругости.

Будут изучены поведения моделей Максвелла и Фойгта. Будут определены времена релаксации и запаздывания моделей Максвелла и Фойгта.

Основные схемы, формулы и т.д., иллюстрирующее содержание:

Многозвенные модели

Рассмотрим теперь модели, составленные из двух элементов: пружинки и поршенька (рис. 27, 28). Модель, основанная на параллельном соединении пружинки и поршенька (рис. 27), называется моделью Фойгта, а модель, основанная на их последовательном соединении (рис. 28), называется моделью Максвелла.

Рассмотрим сначала модель Фойгта. Кинематические и статические структурные соотношения имеют вид:

Подставим в статическое структурное соотношение (10.2) определяющие соотношения (9.1) и (9.2) и используем (10.1), получаем

Явление возрастания деформации со временем при постоянной нагрузке называется

ползучестью материала (рис. 29).

Рассмотрим теперь модель Максвелла. Из рис. 28 видно, что:

Из соотношения (10.10) видно, что для модели Максвелла имеем

Из (10.11) следует, что напряжению подчиняющемуся закону (10.6), соответствует возрастающая со временем деформация (рис. 30). Следовательно, модель Максвелла описывает ползучесть.

Явление убывания напряжения при постоянной деформации называется релаксацией, а

функции Γ(t ) и R(t ) – ядром релаксации и функцией релаксации.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что такое время релаксаций? 2. Что такое время запаздывания? 3. Чему равно время запаздывания модели Максвелла?

Рекомендуемая литература:

1.Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука, 1988. - 712с.

2.Искакбаев А. И. Основы механики деформируемого твердого тела. - Алматы: Изд-во Қазақ университетi, 2008. – 216 с.

Лекционные занятия № 21 - 22.

Название темы: Простое и сложное нагружения. Условия пластичности. Условие текучести Треска – Сен-Венана. Условие текучести Мизеса. Несущая способность идеально пластической среды.

Цель лекций: Изложения основы теории идеальной пластичности.

Ключевые слова: простое нагружение; сложное нагружение; условие пластичности.

Основные вопросы (положения) и краткое содержание:

Остаточная деформация; простое и сложное нагружения; условия пластичности; условие текучести Треска – Сен-Венана; условие текучести Мизеса; несущая способность идеально пластической среды.

Будут рассмотрены различные критерий пластичности наступления остаточной деформаций. Будет определена несущая способность идеально пластической среды.

Основные схемы, формулы и т.д., иллюстрирующее содержание:

Простое и сложное нагружения Простое нагружения характеризуется тем, что компоненты напряжения возрастают

в течение каждого опыта пропорционально одному параметру (рис. 32). Следовательно, форма тензора напряжения и его главные направления все время сохраняются.

При сложном нагружении направления главных осей и взаимоотношения главных напряжений могут изменяться.

Рассмотрим в качестве примера P + M - опыты. В координатах Р,М (Р – осевое усилие; М – скручивающий момент) процесс нагружения изображается некоторой линией ОС (рис. 33). Простое нагружение соответствует некоторому лучу, например ОО1 .

Приведем пример сложного нагружения: тонкостенная труба (рис. 32) сначала скручивается, затем при постоянном моменте М подвергается растяжению; на рис. 33 этот случай представлен ломаной линией ОАВ.

Изучению условий текучести и упрочнения при сложном напряженном состоянии посвящено много работ. Большинство исследователей ставят опыты над тонкостенными трубами (Рис 32), путем комбинирования растяжения, скручивания и внутреннего давления можно вызвать в стенке трубы произвольное плоское (вернее, «почти плоское»)

Рис. 32 Рис. 33

При действии осевого усилия Р и внутреннего давления p ( P + p - опыты):

напряжение σr , имеющее порядок p , пренебрежимо мало по сравнению с напряжениями

σ r ,σ z , так как a >> 1. h

Измеряя деформации трубы (по изменениям диаметра, длины трубы, угла ее закручивания) и сопоставляя их с известным напряженным состоянием можно судить о законах пластической деформации.

Условия возникновения пластических деформаций при сложном напряженном состоянии

Опыты Бриджмена и других исследователей показали, что объемное сжатие твердых (не пористых) и жидких тел является упругой деформацией, причем зависимость относительного изменения объема от давления очень близка к линейной. Незначительным изменением плотности, вызываемым пластической деформацией («разрыхлением»), можно обычно пренебрегать.

Для изотропных материалов деформации сдвига мало зависят от давления при не очень высоких давлениях. По опытам Бриджмена увеличение модуля сдвига при давлении 10 4 МПа в сравнении с его значением при нулевом давлении составляют +2,2% для пружинной стали, +1,8% - для никеля и т.д.. Влияние давления может оказаться существенным в вопросах движения пород на больших глубинах земли (давление в центре Земли превышает 3,5 млн. атм.).

Условие постоянства максимального касательного напряжения. Условие текучести Треска-Сен-Венана:

В пространственном случае:

Вупругом состоянии все условия (11.2) выполнены со знаком неравенства.

Всостоянии текучести в одном или двух из этих условий (11.2) должен быть знак

Условия (11.2) определяют правильную шестигранную призму – поверхность текучести с осью σ 1 = σ 2 = σ 3 перпендикулярной к девиаторной плоскости (рис. 34),

которая в пересечении с последней дает правильный шестиугольник – кривая текучести

(Рис 35).

здесь σi - интенсивности напряжений, т.е. пластические деформации возникают тогда, когда интенсивности напряжений достигает величины предела текучести материала при

деформирования при статическом нагружении. Можно считать, что имеет место равновесный процесс пластической деформации, не связанный с временными факторами (атермическая пластичность). Корме того, нередко пластическая деформация приводит к сравнительно слабому упрочнению. Естественно, что для решения многих механических задач можно исходить из схемы идеального упруго-пластического тела (без упрочнения), показанной на рис. 37 (здесь: σi – интенсивность напряжений, εi – интенсивность деформации).

Рис. 37

Ограниченность напряжений означает, вместе с тем, что тело может выдерживать нагрузки ограниченной величины.

Вопросы для самоконтроля:

1. В чем отличие критерия пластичности Мизеса от критерия пластичности Сен- Венана? 2. В чем особенность поведение идеально пластической среды?

Рекомендуемая литература:

1.Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука, 1988. - 712с.

2.Искакбаев А. И. Основы механики деформируемого твердого тела. - Алматы: Изд-во Қазақ университетi, 2008. – 216 с.

Лекционные занятия № 23 - 24.

Название темы: Задача Ламе для упругопластической трубы. Идеализированные диаграммы пластического поведения.

Цель лекций: Изложить основные модели прикладной теории пластичности. Ключевые слова: жесткопластическое тело; жесткопластическое тело с

линейным упрочнением; идеально упругопластическое тело; идеально упругопластическое тело с линейным упрочнением.

Основные вопросы (положения) и краткое содержание:

Задача Ламе для упругопластической трубы; идеализированные диаграммы пластического поведения.

Будет рассмотрено упругопластическое состояние толстостенной трубы под внутренним давлением, находящейся в условиях плоской деформации. Будут найдены компоненты напряжений в упругой и пластической областях трубы.

Основные схемы, формулы и т.д., иллюстрирующее содержание:

Осесимметричное упругопластическое состояние толстостенной трубы (Плоская деформация)

Рассмотрим толстостенную трубу, находящуюся под осесимметричным внутренним и внешним давлениями; материал вначале полагаем жестко идеально пластическим (рис. 38). Будем считать, что pa > pb . В этом случае распределение напряжений симметрично

относительно оси трубы (оно зависит только от одной координаты – от r), а σθ и σr –

главные напряжения, то нужно удовлетворить лишь одному уравнению равновесия, которое принимает вид:

т.е. выражение (12.3) есть условия пластичности для трубы.

Для того чтобы вся труба пришла в пластическое состояние, необходимо, чтобы внутреннее давление превышало наружное согласно выражению (12.3). При pb = 0 имеем так называемый

предел пластического сопротивления трубы, подверженной одному внутреннему давлению:

рассматривать как критическое давление, так как дальнейшее пластическое равновесие трубы в случае продолжающейся деформации возможно лишь при уменьшений внутреннего давления (отношение β уменьшается и давление). Следовательно, при

p ³ pT равновесие оказывается неустойчивым.

Рассмотрим случай, когда давление в трубе меньше предела пластического сопротивления, но больше предела упругого сопротивления. В этом случае в поперечном сечении трубы будем иметь две зоны: внутреннюю – пластическую и наружную – упругую. Обозначим давление пластической среды на упругую q (рис. 39). Тогда применительно к пластической зоне можем получить условие пластичности. Так, обозначая

Применительно к упругой зоне можно сформулировать условие предельного состояния (например, по теории наибольших касательных напряжений). Отождествляя для простоты вычисления предел упругости с пределом текучести, получаем (рис. 39: б-

Идеализированные диаграммы пластического поведения

Многие из трехмерных теорий, изучающих пластическое поведение, можно рассматривать как некоторое обобщение ряда идеализированных одномерных диаграмм зависимости напряжения от деформации. Четыре из наиболее часто употребляемых диаграмм такого рода представлены на рис. 40 вместе с простыми

из них. В этих схемах

Вопросы для самоконтроля:

1. Совпадают ли предел текучести материала и предел текучести трубы? 2. Как определяется несущая способность трубы?

Рекомендуемая литература:

1.Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука, 1988. - 712с.

2.Искакбаев А. И. Основы механики деформируемого твердого тела. - Алматы: Изд-во Қазақ университетi, 2008. – 216 с.

Лекционные занятия № 25 - 26.

Название темы: Микронапряжения и микроповреждения. Модели Новожилова и Ивлева. Меры повреждений. Теория Качанова - Работнова. Проблемы долговечности.

Цель лекций: Рассмотреть влияние микродефектов и микронапряжений на прочность и жесткость материалов.

Ключевые слова: микронапряжение; микроповреждение; меры повреждения.

Основные вопросы (положения) и краткое содержание:

Микронапряжения и микроповреждения; модели Новожилова и Ивлева; меры повреждений; теория Качанова – Работнова; проблемы долговечности.

Рассматривается теория накопления микроповреждений Качанова - Работнова. Будут объяснены различные термины механики повреждений и разрушения. Применение теории Качанова – Работнова к проблемам длительной прочности.

Основные схемы, формулы и т.д., иллюстрирующее содержание:

Микронапряжения и микроповреждения

Современная теория пластичности представляет громоздкое сооружение, состоящее из многочисленных вариантов. Такая ее структура объясняется сложностью механизма пластического деформирования.

Если целью теории пластичности считать расчет остаточных деформаций в конструкциях, то уже давно эту цель можно считать достигнутой, так как с точки зрения инженера для этого достаточно точно и простейшие варианты деформационной теории, предназначенной для случая пропорционального нагружения, и простейшие варианты теории течения. Тем не менее, теория пластичности продолжает развиваться по пути усложнения зависимостей между напряжениями и пластическими деформациями, возникающими при учете в них членов второго порядка. Смысл этих уточнений состоит в том, что путем изучения малых поправок в уравнениях состояния твердых тел можно получить косвенную информации о величине и характере микронапряжений, поле которых играет решающую роль на первой стадии разрушения – стадии накопления повреждений.

Микронапряжения имеются во всех твердых телах и в особенности в поликристаллах. Их первопричиною является микронеоднородность и микроанизотропия структуры твердых тел. Большое влияние на поле микронапряжений оказывает всякая деформация и в особенности – пластическая. Последняя развивается, как известно, преимущественно в полосах скольжения, занимающих относительную малую часть объема тела, большая же его часть и за пределом текучести продолжает работать упруго. Процесс пластического деформирования существенно неравномерно, поэтому в теле возникает случайное поле микродеформаций, которое имеет

турбулентный характер.

Там, где микронапряжения достигают наибольших значений в теле возникают микропоры и микротрещины. При продолжении пластического деформирования их количество постепенно увеличивается, а размеры растут. Этот процесс, именуемый

накоплением повреждений, является первой стадией разрушения. Эта стадия заканчивается, когда в теле путем слияния части микроповреждений образуется

макроскопическая трещина. Вторая стадия разрушения состоит в распространении трещины и завершается разделением тела на части.

Отметим некоторые особенности терминологии, которая используется в механике применительно к исследованию явлений разрушения материалов и элементов конструкций. Под «fracture» понимается разрушение, которое определяется распространением одной или нескольких трещин; при этом «fracture mechanics» занимается исследованием разрушения материалов или элементов конструкций, которое также определяется распространением одной или нескольких трещин (теория хрупкого разрушения Гриффитса). Под «failure» понимается разрушение, которое определяется исчерпанием несущей способности материала или элемента конструкции и, в основном, проявляется не только в распространении одиночных трещин; при этом «failure mechanics» занимается исследованием разрушения материалов и элементов конструкций, которое также определяется исчерпанием несущей способности материалов и элементов конструкций и проявляется, в основном, не только в распространении одиночных трещин. Под «damage» понимается разрушение, которое проявляется в накоплении повреждений в

виде диффузно расположенных развивающихся или зарождающихся трещин или других повреждений; при этом «damage mechanics» занимается исследованием закономерностей (кинетики) накопления повреждений в основном, в рамках различных континуальных представлений с привлечением определенным образом выбранного «damage indicator».

Начало континуальному подходу к описанию механических повреждений было положено работами Л.М. Качанова и Ю.Н. Работнова. Они впервые ввели понятие о мере повреждений материала как о дополнительном параметре материала, характеризующем

плотность и характер микротрещин, микропор, микропластических деформаций и

других дефектов, масштаб которых мал по сравнению с размерами тела, но велик по сравнению, например, с шагом кристаллической решетки. Мера Качанова – Работнова является скаляром ω , принимающим значения из отрезка 0 ≤ ω ≤ 1 . Нижняя грань соответствует неповрежденному, верхняя – полностью поврежденному материалу. Применяя эту меру к состояниям близким к одноосному растяжению, ее обычно трактуют как относительное уменьшение эффективной площади поперечного сечения. В таком виде эту меру принимают в расчетах на ползучесть и длительную прочность.

Под «fatigue fracture» или «fatigue failure» понимается усталостное разрушение,

которое происходит при циклическом (повторном) нагружении в результате накопления необратимых повреждений. Излом макроскопически хрупкий, однако, у поверхности излома материал существенно наклепан. На рис. 41 представлена кривая распределения дефектов по размеру, наблюдаемое в лабораторном образце из углеродистой стали, испытанный при циклическом нагружении (здесь а – длина трещины (мм.), N – число

циклов, N* - число циклов до разрушения, долговечность образца N = 0,97 , амплитуда

N*

напряжения 333 МПа, по оси ординат откладываются суммарное число микротрещин). Процесс роста усталостных трещин и других трещиноподобных дефектов в основном контролируется взаимодействием двух механизмов (на рис. 41 приведены экспериментальные данные образцов изготовленных из углеродистой стали): накоплением повреждений на фронте трещины (рис. 41: h = 3) и общим балансом энергии в системе тело с трещинами – нагрузка. Трещина подрастает (рис. 41: h = 1,7), когда значение удельной работы разрушения снижается из-за накопления повреждений до уровня, при котором состояние системы становится неустойчивым или хотя бы нейтральным.

Теперь рассмотрим влияние микронапряжения на обратные эффекты. Сперва рассмотрим модель Д.Д. Ивлева (рис.42).

Предположим, что механизм ползучести слагается из совокупного действия трех простейших элементов: упругого, вязкого и пластического. Буквой U обозначен вязкий элемент, буквой p – пластический (механизм сухого трения). Следуя Ивлеву, введем обозначение: упругую пружину на отрезке АВ элементом АВ; механизм вязкости – элементом В; пружину на отрезке ВС – элементом ВС; механизм сухого трения – элементом С; пружину на отрезке СD – элементом CD .

Представим себе, что к телу, качественный характер свойств которого изображен на рис. 42, приложена растягивающая сила. В этом случае сразу же возникает мгновенная упругая деформация (на отрезке АВ), далее начнут развиваться: деформация ползучести, обусловленная механизмом вязкости (на отрезке ВС) и, наконец, когда будет преодолено сухое трение элемента С, возникает необратимая остаточная деформация ползучести (на отрезке CD). Элемент ВС обуславливает обратную ползучесть, элемент CD – эффекты приобретенной анизотропии (эффект Баушингера).

В работе В.В. Новожилова и Ю.И. Кадашевича рассматривалась модель, состоящая из элементов BC, C и CD (рис. 42). Напряжения, действующие на отрезке CD, были названы остаточными микронапряжениями, которые возникают в теле при пластической деформации. Термин «остаточные» напряжения связан с тем, что эти напряжения сохраняются в теле и после снятия внешней нагрузки, так как сами по себе они не могут преодолеть пластического сопротивления. В аналогичной ситуации в модели

Ивлева находится элемент ВС. Таким образом, именно микронапряжения обуславливают обратные эффекты.

1.Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука, 1988. - 712с.

2.Искакбаев А. И. Основы механики деформируемого твердого тела. - Алматы: Изд-во Қазақ университетi, 2008. – 216 с.

3.Гузь А.Н. Об описании и исследовании некоторых неклассических проблем механики разрушения и соответствующих механизмов // Успехи механики, Т. 1. Под редакцией А.Н.

Гузя. – Киев: «А.С.К.» 2005. – С.685 – 719.

Лекционные занятия № 27 - 28.

Название темы: Изотропное и кинематическое упрочнения. Вязкопластическое тело. Теория течения.

Цель лекций: Изложить основы теории пластического течения.

Ключевые слова: изотропное упрочнение; кинематическое упрочнение; вязкопластическое тело.

Основные вопросы (положения) и краткое содержание:

Изотропное и кинематическое упрочнения; вязкопластическое тело; теория течения. Будут рассмотрены основные гипотезы современной теории пластического течения.

Будут объяснены механизмы изотропного и кинематического упрочнения материалов. Изучаются особенности вязкопластического течения материалов.

Основные схемы, формулы и т.д., иллюстрирующее содержание:

Изотропное и кинематическое упрочнение

Если материал предполагается идеально пластическим (рис. 40: а и б), то поверхность текучести не изменяется в процессе пластического деформирования и начальное условие пластичности остается в силе:

упрочнением пластическое деформирование в общем случае сопровождается изменением поверхности текучести. Для учета таких изменений необходимо обобщить функцию текучести f1 (σij ) в формуле (14.1), чтобы она могла задавать изменения поверхности

текучести при пластическом деформировании. Такое обобщение достигается введением

функции нагружения