12. Решения методом Фурье краевой задачи неоднородного уравнения

Решение начально-краевой задачи с неоднородным волновым уравнением (уравнением теплопроводности) и нулевыми краевыми и начальными данными методом представления решения в виде ряда по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля.

. Решение задачи (1)(2)(3) будем писать в виде ряда:

.При таком поиске решений граничные условия выполняются автоматически.

Подставим (4) и (5) в уравнение (1), тогда получаем:

- ЛНДУ 1 порядка с постоянными коэффициентами.

. Найдем :

. Согласно выражению (4) :

. Найдем из начальных условий:

Подставляя в (4) в решение (6), получим:

.

12. Уравнения теплопроводности. Задача Коши. Формула Пуассона

Опр. Уравнением теплопроводности называется уравнение вида:

в котором – заданные функции, а - искомая функция и для функции – выполнены условия

В случае, когда пространство x одномерно, уравнение принимает вид:

Если =0, то уравнение (1) наз-ся однородным, в противном случае – неоднородным.

Уравнение (1) описывает, в частности, распространение тепла в тонком стержне, тонкой мембране или обьемном теле, диффузию вещества. На примере распространения тепла в тонком стержне рассмотрим смысл всех входящих в уравнение функций.

• искомая функция u(x,t)представляет собой температуру стержня в точке x в момент времени t

• функция имеет смысл линейной плотности стержня

• функция k(x) – коэффициент теплопроводности в точке x

• функция c(x) – удельная теплоёмкость

• функция F(x,t) – наз-ся «правой « частью и представляет собой плотность источников тепла

В простейшем случае, когда уравнение принимает вид

где функция

Замечание: Уравнение (3)-(4) также часто называют уравнением теплопроводности.

Опр: Задачей Коши для Уравнение теплопроводности называется задача:

Найти функцию из условий:

(5)

, где – заданная функция, называемая начальными данными или данными Коши, а для заданных функций выполнены условия (1.1) и :

Формула Пуассона - формула, дающая интегральное представление решения задачи Коши для волнового уравнения в пространстве :

и имеющая вид

- среднее значение функции j на сфере в пространстве ( х, у, z) радиуса at с центром в точке М, dW- элемент площади единичной сферы.

3) Иногда формулу Пуассона наз. интегральное представление решения задачи Коши для уравнения теплопроводности в пространстве :

имеющее вид

Дифференциальные уравнения

9. Интегрирование уравнений

10. Уравнения n-го порядка, допускающие понижения порядка

1 сл. – в

Замена :

2сл. – в ур-е не входит явно независимая переменная

Замена:

Чтобы заменить , надо продифференцировать по x выражение через . Для этого надо его продифференцировать по y и затем умножить на , т.е. на z. Получим выражение через .

– порядок уравнения понижается на ед-цу

3 сл. Если ОДУ однородно относительно , то порядок уравнения можно понизить через замену , где z-неизвестная новая переменная.

Замена:

Выражение для каждой производной получается путем дифференцирования выражения для и замены y’ на yz. После подстановки этих выражений в уравнение производится сокращение на y и получается уравнение порядка n-1 относительно z.

4 сл. Если дифференциальное уравнение относительно x,y в общем смысле, то делается замена:

после которой порядок уравнения понзим по второму случаю:. Подставим в ДУ, из равенства степеней k каждого слагаемого находим m.

5 сл. Если обе части ДУ можно представить в виде полных производных от чего-либо, то убрав производные можно понизить порядок без замены :

11. Дифференциальные уравнения n-го порядка. Понятие решения, общего решения.

Дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида

F (x, y, y′, y′′, ... , y(n) ) = 0 , (3.1)

где x – независимая переменная, x∈Ω , Ω ⊆ Ρ ; y = y(x) – неизвестная функция независимой переменной x ; y′ = y′(x) ,

y′′ = y′′(x) , …, y(n) = y(n) (x) – производные неизвестной функции; F( •, •, •, •, ... , •) – некоторая заданная функция своих

аргументов.

Частным случаем уравнения (3.1) является уравнение вида

y(n) = f (x, y, y′, y′′, ... , y(n−1) ), (3.2)

которое называется уравнением, разрешённым относительно старшей производной.

Решением дифференциального уравнения n-го порядка называется n раз непрерывно дифференцируемая на множестве

Ω функция y = ϕ(x) , при подстановке которой в уравнение получается тождество относительно независимой переменной

x∈Ω .

Общее решение дифференциального уравнения, заданное в неявном виде

Φ(x, y,C1,C2 , ... , Cn ) = 0 ,

называют общим интегралом этого уравнения.

Частным решением дифференциального уравнения n-го порядка называется его решение, которое получается из общего

решения этого уравнения при конкретных значениях параметров C1 = C1 *, C2 = C2* , …, Cn = Cn* (С1*,С2*,…,Сn*)

Частное решение дифференциального уравнения, заданное в неявном виде , называют частныминтегралом этого уравнения.

12. Фундаментальная система решений. Свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений

Опр. Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение, в которое неизвестная функция y(x) и её производные входят линейно, т.е. в первой степени:

;

Опр.Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка называется любая линейно независимая система y1(x), y2(x), …, yn(x) его n частных решений.

Теорема (о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения.) Общее решение y(x) линейного однородного дифференциального уравнения есть линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений этого уравнения:

y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x).

Док-во. Пусть y1(x), y2(x), …, yn(x) - фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Требуется доказать, что любое частное решение yчо(x) этого уравнения содержится в формуле y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x) при некотором наборе постоянных C1, C2, …, Cn. Возьмём любую точку , вычислим в этой точке числа и найдём постоянные C1, C2, …, Cn как решение линейной неоднородной системы алгебраических уравнений

Такое решение существует и единственно, так как определитель этой системы равен . Рассмотрим линейную комбинацию y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x) функций из фундаментальной системы решений с этими значениями постоянных C1, C2, …, Cn и сравним её с функцией yчо(x). Функции y(x) и yчо(x) удовлетворяют одному уравнению и одинаковым начальным условиям в точке x0, следовательно, по единственности решения задачи Коши, они совпадают: yчо(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + … + Cn yn(x). Теорема доказана.

Из этой теоремы следует, что размерность линейного пространства частных решений однородного уравнения с непрерывными коэффициентами не превышает n. Осталось доказать, что эта размерность не меньше n.

Для линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y' + an(x) y = 0,

где y = y(x) — неизвестная функция, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x) — известные, непрерывные, справедливо:

1) существуют n линейно независимых решений уравнения

y1(x), y2(x), ..., yn(x);

2) при любых значениях констант c1, c2, ..., cn функция

y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x)

является решением уравнения;

3) для любых начальных значений x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 существуют такие значения c*1, c*n, ..., c*n, что решение

y*(x)=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x)

удовлетворяет при x = x0 начальным условиям

y*(x0)=y0, (y*)'(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

13. Свойства решений линейных неоднородных дифференциальных уравнений

Опр. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ) n-го порядка называется уравнение вида :

Опр. Система n линейно независимых частных решений дифференциального уравнения n-го порядка называется фундаментальной системой частных решений этого дифференциального уравнения.

Свойства решений линейных неоднородных ДУ:

1.если – два решения неоднородного уравнения, то функция – решение соответствующего однородного уравнения

2. если – решение неоднородного уравнения, – решение однородного уравнения, то функция – решение неоднородного уравнения

3. если — n линейно независимых решений однородного уравнения, а – — произвольное решение неоднородного уравнения, то для любых начальных значений

Существуют такие значения , что решение

удовлетворяет при x = x0 начальным условиям

y*(x0)=y0, (y*)'(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

Выражение

y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + yч(x)

называется общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.

Для отыскания частных решений неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с правыми частями вида:

Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx),

где Pk(x), Qm(x) — многочлены степени k и m соответственно, существует простой алгоритм построения частного решения, называемый методом подбора.