Введение в математическое моделирование
10. Применение фундаментальных законов природы (второй закон Ньютона) к построению модели колебаний системы «шарик – пружина»
Пусть r – координата
шарика вдоль оси пружины, лежащей на
горизонтальной плоскости , и направления
движения шарика совпадает с ее осью.
Тогда по второму закону динамики 
где m-масса шарика, а –его ускорение. Будем считать плоскость идеально гладкой, пренебрежем также сопротивлением воздуха и примем во внимание то, что вес шарика уравновешивается с реакцией плоскости. Единственная сила, действующая на шарик в направлении оси r, очевидно сила упругости пружины. Определим ее, используя закон Гука, гласящий, что для растяжения (сжатия) пружины необходимо приложить силу
где k>0 характеризует упругие свойства пружины, а r-величину ее растяжения или сжатия относительно нейтрального, ненагруженного положения r=0. Уравнение движения шарика принимает вид
(1)
Оно описывает его гармонические колебания и имеет общее решение
где
– собственная частота колебаний системы
«шарик-пружина». Значения А и В определяются
из начального состояния объекта, через
величины
,
причем r(t)=0
при
Подходы, с помощью которых строилась рассматриваемая модель не должны противоречить другим фундаментальным законам природы.
11. Второй способ моделирования колебаний механической системы «шарик – пружина» используя закон сохранения энергии.
Выведем модель «шарик-пружина» с
использованием закона сохранения
энергии. Поскольку точка крепления
пружины неподвижна , то стенка не
совершает работу над системой «пружина
– шарик» , и ее полная механическая
энергия Е остается постоянной. Вычислим
ее. Кинетическая энергия определяется
движением шарика ( пружина считается
невесомой):
Потенциальная энергия системы «содержится» в пружине, ее нетрудно найти, определив работу, необходимую для растяжения (сжатия) пружины на величину r:
Для неизменной со временем величины
(интеграла энергии) получаем
Так как
,
то продифференцировав интеграл энергии
по t, приходим к выражению
т.е. к уравнению
,
проверив тем самым правильность его
получения.
12. Третий способ построения модели колебаний механической системы «шарик – пружина» с помощью вариационного метода.
Воспользуемся принципом Гамильтона
для построения движения шарика,
соединенного с пружиной. В качестве
обобщенной координаты естественно
выбрать обычную эйлерову координату
шарика r(t).
Тогда обобщенная скорость
– обычная скорость шарика. Функция
Лагранжа
равная
, записывается через значения кинетической
и потенциальной энергии системы:
Для величины действия получаем выражение
Теперь вычислим действие в вариациях
Последнюю формулу необходимо
продифференцировать по
и положить в ней
Правая часть выражения с помощью
интегрирования ее первого члена по
частям и с учетом того, что
в моменты
,
преобразуется к виду
Поскольку пробная функция
,
фигурирующая в формулировке принципа
наименьшего действия, произвольна, то
часть выражения, стоящая под знаком
интеграла в квадратных скобках, должна
быть равна нулю во все моменты времени
:
т.е.
движение системы должно описываться
уравнением
полученным
из закона Ньютона (первый способ) и
закона сохранения энергии (второй
способ). Все три подхода являются
эквивалентными.