10. Теорема о среднем значении определенного интеграла

Теорема . Если f(x) - непрерывная функция, заданная на промежутке [a, b], то существует такая точка , что

(1)

В самом деле, пусть M и m наибольшее и наименьшее значения f(x) на промежутке [a, b]. Составим для f(x) какую-нибудь интегральную сумму

Так как при всех k будет m ≤ f(ξk) ≤ M, а xk+1 > xk, то m(xk+1 - xk) ≤ M(xk+1 - xk). Складывая такие неравенства и замечая, что

получим:

m(b - a) ≤ σ ≤ M(b - a).

Переходя в этом неравенстве к пределу при λ → 0, приходим после деления на b - a к новому неравенству

Таким образом, частное

есть число, лежащее между наибольшим и наименьшим значениями непрерывной функции. Как известно, тогда и само это число должно являться одним из значений той же функции. Поэтому в [a, b] обязательно существует такая точка ξ, что h = f(ξ), а это равносильно равенству (1).

Заметим, что равенство (1) справедливо не только при a < b, но и при a = b (тогда обе части этого равенства нули), а также и при a > b (этот случай приводится к рассмотренному изменением знаков). В первом из этих случаев будет ξ = a, а во втором a ≥ ξ ≥ b.

Эту теорему обычно называют теоремой о среднем значении. Из нее вытекает ряд свойств интеграла, выражающихся неравенствами.

Теорема. Если f(x) - неотрицательная непрерывная функция и нижний предел интеграла не больше верхнего*, то и сам интеграл будет числом неотрицательным

Действительно, в этом случае оба сомножителя правой части формулы (1) неотрицательны.

11. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Достаточные признаки сходимости несобственного интеграла.

1. Определение несобственного интеграла 1-го рода.

Одномерными связными неограниченными областями являются полупрямые и бесконечная прямая Ради определенности рассмотрим полупрямую

Функция определена на полупрямой и для любого существует определенный интеграл , который мы обозначим символом F(R):

Исследуем вопрос о предельном значении функции , т.е. вопрос о существовании предела

Для выражения (2) мы будем использовать выражение

В дальнейшем символ (3) будем называть несобственным интегралом первого рода.

Если существует предел (2), то несобственный интеграл (3) наз-ся сходящимся, если не существует расходящимся.

2. Определения несобственного интеграла 2-го рода.

Пусть на полусегменте задания функция f(x). Точку b мы будем называть особой, если функция не ограничена на полусегменте , но ограничена в любом сегменте заключенном в полусегменте Будем также предполагать, что на любом таком сегменте функция f(x) интегрируема.

При наших предположениях на полусегменте задана функция аргумента , определенная соотношением

Исследуем вопрос о правом предельном значении функции , т.е. вопрос о существовании предела

При этом для выражения (5) будем использовать обозначение

В дальнейшем символ (6) будем называть несобственным интегралом второго рода. Если существует предел (5), то несобственный интеграл (6) называется сходящимся, в противном случае расходящимся.

Теорема 1 (критерий Коши сходимости несобственного интеграла). Для сходимости несобственного интеграла (3) необходимо и достаточно, чтобы для любого можно было указать такое A>0, что для любых , превосходящих А

Теорема 2 (общий признак сравнения).Пусть на полупрямой

(7)

Тогда из сходимости интеграла вытекает сходимость интеграла .

Док-во. Пусть сходится. Тогда, согласно критерию Коши (теорема 1), для любого

Согласно известным неравенствам для интегралов и неравенству (7) имеем

Отсюда и из неравенств (8) вытекает, что для любых , больших А, справедливо неравенство

Следовательно, интеграл сходится. Теорема доказана.

Теорема 3 (частный признак сравнения). Пусть на полупрямой функция f(x) удовлетворяет соотношению

Тогда интеграл сходится. Если же существует такая постоянная c>0, что на полупрямой справедливо соотношение