Тейлор формуласы

15.1 Тейлор формуласы Келесi ұғымдарды бiлу қажет: Тейлор формуласының қалдық мүшесi, жiктеу формуласы.

Мысал 5. функциясын Тейлор формуласы бойынша нүктесiнде екiншi реттi мүшесiне дейiн жiкте.

Шешуі: функциясының бiрiншi және екiншi реттi дербес туындыларын табамыз:

; ; ; ; .

нүксетiнде мәндерiн есептейiк.

, , , , , .

Тейлор формуласына қойсақ, онда

.

Пеано түрiндегi қалдық .

15.2 Екі айнымалы функцияның экстремумы.

1) Егер функцисы үшін болып және және болса, онда нүктесі функцияның максимумы, ал болса, онда нүктесі функцияның минимум болады.

2) болса, онда нүктесінде функцияның экстремумы жоқ.

Мысал 6. функциясының экстремум нүктелері бар ма, бар болса ол неге тең?

Шешуі: Функцияның дербес туындыларын тауып, оны нольге теңестіріп, жүйе құрамыз.

үшін болғандықтан, бұл нүкте минимум нүктесі.

үшін болғандықтан, бұл нүктеде экстремум жоқ.

үшін болғандықтан, бұл нүктеде экстремум жоқ.

үшін болғандықтан, бұл нүктеде экстремум жоқ.

Мысал 7. функциясының экстремум нүктелері бар ма, бар болса ол неге тең?

Шешуі: Функцияның дербес туындыларын тауып, оны нольге теңестіріп, жүйе құрамыз.

М(0,0) нүктесінде функцияның бірінші ретті дербес туындылары , болмайды. Енднше бұл нүктеде функцияның экстремумы болуы мүмкін. Шынында да функцияның өсімшесі осы нүктеде нөлдден кіші, яғни

болғандықтан, М(0,0) нүктесі функцияның максимум нүктесі болады.