Математическая экономика

Следует отметить, что принцип максимума позволяет доказать, что оптимальное по быстродействию управление не только объектом (8.18), но и любой системой, имеющей линейную модель (7.17) при ограничении

u ≤U 0 , будет кусочно-постоянным и должна принимать только предель-

ные значения из заданного промежутка допустимых значений (8.27). Кроме того, установлено, что в тех случаях, когда все собственные значения системной матрицы A в модели (7.17) являются вещественными, управление будет иметь не более n интервалов постоянства, где n – порядок модели. Этот результат называют теоремой об n интервалах [34].

Задача 2 [34]. Рассмотрим задачу об управлении тем же объектом

(8.18), т.е.

x1′ = x2, x2′ =u,

с краевыми условиями:

x1(0) = x2 (0) = 0 ; x1(tк) = x1к = a ; x2(tк) = 0 .

Требуется найти оптимальное по быстродействию управление, при котором J =tк → min .

Рассмотренное выше в задаче 1 ограничение на величину управления u ≤U0 заменим интегральным ограничением

Запишем уравнения для сопряженных переменных:

241

Подставляем полученное выражение для управляющего воздействия в уравнения (8.18):

242

Рассмотрим примеры применения ПМ для решения задач об оптимальном управлении, сформулированных в форме задач Больца [31, 34]. Как было показано в § 8.1, решение таких задач можно осуществить с помощью ПМ, дополнив его условием трансверсальности (8.10).

243

Задача 1 [24]. Рассматривается управляемая линейная система второго порядка, модель которой имеет следующий вид:

0

Решение

Сформируем функцию Гамильтона:

H = ψ0(x1 + 2x2 −3u) + ψ1(x1 + x2) + ψ2u ,

где ψ0 = −1.

Это выражение можно записать в следующем виде:

H =u(ψ2 +3) +ψ1(x1 + x2) −(x1 + 2x2) .

Учитывая линейность полученного выражения по u и заданные ограничения на управление, из условия максимальности Η можно получить следующие соотношения, определяющие вид оптимального управления:

244

Первое уравнение ψ1′ +ψ1 =1 является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Используя стандартные приемы, несложно найти его решение:

При tк =3 из (8.42) – (8.43) получаем Ce−3 + (1 −e−3) = −1. Из этого соотношения находим искомую константу: C =1− 2e3 . Подставив ее в (8.42), можно получить следующее выражение: ψ1 =1− k e−t , где k = 2e3 = 40,171.

Рассмотрим теперь уравнение, определяющее вторую переменную из

или C = −3 + 2e3 e−3 = −1. Таким образом, ψ2 =t − ke−t −1.

В соответствии с (8.40) величина оптимального управления определяется знаком переменной: σ =ψ2 +3 =t − ke−t + 2 .

Заметим, что функция σ(t) обладает следующими свойствами:

σ(0) = 2 − k ≈ −37,4 ; σ(3) =3 − 2e3e−3 + 2 =3 ;

σ′=1+ ke−t > 0.

Эта функция монотонно вырастает от отрицательного значения на левом конце промежутка 0 ≤ t ≤ 3 до положительного значения на правом конце. Учитывая непрерывность этой функции, можно сделать вывод о

245

том, что она имеет единственную точку t = τ, в которой величина σ меняет знак. Вид этой функции показан на рис. 8.7, а.

tt

1 2 3

б)

а)

( − k + 2 )

Рис. 8.7

Уравнение τ− ke−τ + 2 = 0 является трансцендентным. Его приближенное решение можно найти каким-либо численным методом, например методом деления пополам [17]. В результате получается τ= 2,247 .

В соответствии с (8.40) оптимальное управление определяется следующим образом:

Его вид показан на рис. 8.7, б.

Для отыскания оптимальных переменных состояния рассмотрим (8.37) с начальным условием (8.38) для функции u = u(t) , определяемой

(8.46).

На первом этапе 0 ≤t ≤ τ, когда u = 0 , получаем уравнение

x1(0) =1; x2 (0) = 0 .

246

Из второго уравнения получаем x2 =C = const , а учитывая начальное условие x2 (0) = 0, следует принять x2 = const = 0 .

Из первого уравнения x1′ − x1 = 0 можно получить следующее реше-

ние: x1 (t) = x1(0)et . Для заданного начального условия получается

x1(t) = et .

На границе первого этапа процесса управления переменные будут

равны следующим значениям: x1(τ) = eτ; x2(τ) = 0 .

Их следует принять в качестве начальных условий для второго этапа, на котором система будет описываться уравнениями:

xx12′′ ==x1.1 + x2,}

Для второго этапа введем новый отсчет времени, полагая t = t − τ. Из уравнения x′2 =1 при x2 (~t = 0) = 0 находим x2 (~t ) = ~t .

Тогда первое уравнение примет следующий вид: x1′(~t ) − x1(~t ) = ~t ,

x1(t = 0) = eτ.

Интегрируя это уравнение, получим: x1(t ) = eτet + et −1−t .

Если вернуться к времени t, то решение, определяющее оптимальный процесс, примет вид:

247

Решение. Запишем функцию Гамильтона:

H = ψ0 (x2 + u2 ) + ψ1(x + u) .

Для вспомогательных переменных в соответствии с ПМ получаем соотношения

Рассмотрим условие максимальности Н. Учитывая то, что ограничений на управление в данной задаче нет, максимум Н определяется из необходимого условия экстремума:

Таким образом, задача свелась к рассмотрению системы из двух дифференциальных уравнений (8.47) и (8.49), в которой u определяется

(8.50), т.е.

Для решения этой системы выполним следующие преобразования:

– из второго уравнения выразим x:

– дифференцируем это выражение: x′ = 12 (ψ′′+ψ′);

– затем оба соотношения подставим в первое уравнение из системы

(8.51):

12 (ψ′′+ψ′)= 12 (ψ′+ ψ)+ 12 ψ;

248

– после упрощений получаем однородное уравнение второго поряд-

ка:

ψ′′− 2ψ = 0.

нение (8.52), получаем соотношение, определяющее оптимальный переходный процесс:

неизвестные константы C1 и C2. Для их определения нужно воспользоваться начальным условием x(0) = x0 и условием трансверсальности (8.10):

249

Подставив это соотношение в (8.55), находим:

Полученное значение C1 совместно C2, вычисленным по (8.56), полностью определяет оптимальное управление:

иоптимальный процесс x = x* (t) из (8.54).

§8.6. Задача об управлении линейной динамической системой

сминимизацией обобщенного квадратичного интегрального показателя

Рассмотрим задачу об управлении системой, модель которой можно представить в виде линейных дифференциальных уравнений, т.е.

x(0) = xн в конечное состояние x(tк) = 0 и при этом минимизируется показатель качества в виде следующего функционала:

xΤQ x ≥ 0 для любых x ≠ 0 , u ΤR u > 0 для любых u .

Входящие в подынтегральное выражение компоненты являются

250