Математическая экономика

ется x2* =80. Вычисляем s2* =160 −80 =80. Из табл. 6.4 находим x3* = 40 , тогда s3* = s2* − x3* =80 −40 = 40 . Из табл. 6.3 в строке, соответствующей

S3* = 40, получаем x4* = 40 .

Таким образом, максимальный доход, равный 24 у.е., будет получен при следующем распределении выделенных средств в размере 200 у.е.:

П1→40 у.е., П2→80 у.е., П3→40 у.е., П4→40 у.е.

§ 6.8. Задача об оптимальном поэтапном распределении выделенных средств между предприятиями в течение планового периода

Рассмотрим более сложный вариант задачи о распределении средств между предприятиями, чем в § 6.7. Необходимо разработать план финансирования предприятий П1,..., Пm на период в n лет. Начальный общий

объем выделенных средств для всех предприятий задан и составляет s0 у.е. Следуя [13], допустим, что средства x , вложенные в Пj , позволяют получить в конце текущего года доход f j (x) и выделить средства в размере ϕj (x) для формирования общего фонда, который используется для нового

распределения средств между предприятиями при финансировании их в следующем году. При этом никаких иных средств для финансирования не поступает.

Требуется найти оптимальный план распределения средств между предприятиями на каждый год планируемого периода.

Решение. Будем рассматривать процесс распределения средств как многошаговый, полагая, что номер шага k соответствует номеру года. Управляемую систему предприятий ( П1,..., Пm ) можно характеризовать

одной переменной состояния s = s(k −1) ( k =1, 2,..., n ) – количеством

средств, подлежащих перераспределению в начале k-го года. Переменных управления будет m : x1(k),..., xm (k) – количество средств, выделенных

П1, П2 ,..., Пm на k -й год. Так как средства ежегодно перераспределяются полностью, то

Следуя [13], будем далее решать эту задачу при следующих услови-

ях:

181

Уравнение (6.18) означает, что фактически в процессе решения на каждом шаге нужно находить значение только одной переменной

x1 = x1* (k) , а вторая величина x2 однозначно определяется из этого уравне-

ния (6.18). Это позволяет рассматривать управляемый процесс с двумя переменными ( x1, x2 ) как одномерный. Будем переменную x1(k) для кратко-

сти обозначать xk .

В этой задаче показатель эффективности – доход, полученный от обоих предприятий за период в n лет – определяется соотношением

i=1

Уравнение состояния, выражающее средства, формируемые по окончании i-го шага для последующего распределения между предприятиями, имеет вид

Доход, полученный в k -м году от обоих предприятий, в сумме составит величину

fk = f1(xk ) + f2(sk −1 − xk ) = 0,4 xk +0,3(sk −1 − xk ) = 0,1xk +0,3sk −1. (6.23)

Запишем для рассматриваемого случая рекуррентное соотношение (6.14), выражающее принцип оптимальности

Подставляя в эти уравнения соотношения (6.22), (6.23), получим

Реализуем стадию условной оптимизации, рассматривая процесс от последнего года к первому. Для k = 4 справедливо соотношение

182

т.к. выражение в скобках является линейной функцией, а она достигает максимума в конце промежутка, т.е. при x4* = s3 .

Выражение в скобках здесь, как и в предыдущем случае, является линейным, коэффициент при x3 отрицателен, поэтому наибольшее значе-

ние это выражение получит в начале промежутка, т.е. при x3 = 0. При этом

Таким образом, на стадии условной оптимизации получены следующие результаты:

Y1*(s0) =0,9368s0; x1* = 0;

Y*(s ) = 0,796s ; x* =0;

2 1 1 2

Y3*(s2) =0,62s2; x*3 =0;

Y4*(s3) = 0,4s3; x4* = s3.

Переходим к стадии безусловной оптимизации.

Полагая s0 =10000, находим Ymax = 9368, x1* = 0 . Используя соотношение (6.22), получаем

s1* = 0,8 10000 −0,3 0 =8000.

Для второго года планирования при этом значении s1* и x2* = 0 нахо-

дим

s2* = 0,8s1* −0,3x2* = 0,8 8000 = 6400 .

Аналогично для x3* = 0 находим

s3* = 0,8s2* −0,3x3* = 0,8 6400 = 5120 .

183

И, наконец, определяем

x4* = s3 = 5120.

В исходной постановке задачи фигурировали две искомые переменные x1(k) и x2 (k) для П1 и П2 соответственно. В полученном решении

найдены значения только одной переменной x1(k) . Вторая определяется из

соотношения (6.19)

x2 (k) = s(k −1) − x1(k) .

В результате получаем план финансирования двух предприятий, который представлен в табл. 6.7.

Т а б л и ц а 6.7

s0 =10000 через четыре года будет получен максимально возможный до-

ход Ymax =9368 .

Заметим, что в этой задаче в отличие от предыдущей задачи переменные x и s могут изменяться непрерывно, а зависимости f (x) и ϕ(x) за-

даны аналитически, а не таблично. В [13] рассмотрен дискретный вариант этой задачи, когда переменные x изменяются с некоторым шагом ∆x , а зависимости f (x) и ϕ(x) задаются таблично.

§ 6.9. Задача об оптимальном плане замены оборудования

Одной из распространенных и важных задач оптимального планирования в экономике является задача определения наиболее эффективной стратегии замены действующего оборудования на новое. В качестве оборудования могут рассматриваться станки, автомобили, агрегаты, технологические линии, производственные или торговые здания и помещения и т.д.

С течением времени в процессе эксплуатации любое оборудование стареет – происходит его физический и моральный износ. При этом возрастают финансовые и временные затраты на его ремонт и обслуживание, а вместе с этим снижается производительность оборудования и так называемая ликвидная стоимость. Настает момент, когда эксплуатационные затраты для действующего оборудования вырастают настолько, что его вы-

184

годнее продать и заменить новым оборудованием, хотя, конечно, приобретение его связано с некоторыми, как правило, значительными затратами.

В связи с изложенными обстоятельствами возникает задача об определении оптимального с точки зрения выбранного (или заданного) критерия срока замены оборудования. В качестве такого критерия обычно принимают либо суммарную прибыль, полученную при реализации производственного или иного процесса на старом и новом оборудовании (с учетом затрат и на эксплуатацию старого оборудования и на приобретение нового), либо суммарные затраты на эксплуатацию оборудования в течение определенного промежутка времени. Заметим, что замена оборудования может состоять в приобретении оборудования того же вида, что и старое (естественно, без износа или с меньшим износом), либо нового более совершенного.

Рассмотрим далее изложенную задачу в более узкой и конкретной формулировке [10, 13].

Задача 1. Рассматривается плановый промежуток времени, состоящий из n лет. Вопрос о замене оборудования на новое или сохранении действующего оборудования рассматривается в начале каждого года. Известны следующие исходные условия:

−зависимость производительности оборудования от времени эксплуатации (со временем она уменьшается);

−зависимость затрат на содержание, эксплуатацию и ремонт этого оборудования от времени (они со временем увеличиваются);

−величина затрат на приобретение, установку (монтаж) и запуск в эксплуатацию нового оборудования;

−заменяемое старое оборудование списывается (не продается). Требуется составить план замены оборудования, при котором общая

прибыль, получаемая при эксплуатации оборудования за n лет, была бы максимальна.

Решение. Для получения математической модели этой задачи введем следующие обозначения:

t – текущее время в плановом периоде; решение о замене или сохранении оборудования принимается в моменты времени t =0; 1; 2;....; n −1;

τ – возраст оборудования; τ {0, 1, 2,...}; τ =0 соответствует ис-

пользованию нового оборудования, τ =1 соответствует эксплуатации оборудования с возрастом 1 год и т.д.;

r = r(τ) – производительность оборудования – годовой выпуск про-

дукции (объем выпускаемой продукции или объем проданных товаров, оказанных услуг и т.д.) в стоимостном выражении для оборудования возраста τ;

185

z = z(τ) – эксплуатационные затраты, т.е. затраты на обслуживание и

ремонт, которые приходится осуществлять в течение одного года для оборудования, имеющего возраст τ;

p = p0 – стоимость нового оборудования.

В рассматриваемом случае управляемой системой является оборудование, управлением – решение о сохранении или замене оборудования. Если это управление обозначить переменной x , то она будет принимать два значения

В качестве состояния этой системы будем рассматривать возраст оборудования: s = τ.

Для получения уравнения состояний (6.6) рассмотрим i-й год планового периода.

Пусть к началу этого года оборудование подошло имея возраст τ, тогда в случае принятия решения о его сохранении к следующему моменту рассмотрения это оборудование станет на год старше s(i) = τ+1.

Если же оборудование будет заменено на новое, то по истечении рассматриваемого промежутка времени (одного года) его возраст будет равен s(i) =1. Таким образом, получаем следующее уравнение состояния:

Рассмотрим теперь величину критерия эффективности использования оборудования, т.е. принятия решений о сохранении действующего оборудования или его замене на новое в течение пятилетки. Следуя [1, 10], примем в качестве этого критерия следующий показатель:

Заметим, что этот показатель интерпретируют как общую прибыль от эксплуатации оборудования в течение пятилетки [1] либо суммарный доход [10], хотя в действительности это не соответствует общепринятым в экономике понятиям прибыли и дохода.

Функциональное рекуррентное уравнение Беллмана (6.9) в данном случае принимает вид

186

В соответствии с [1, 10] будем считать, что функции r(τ) и z(τ) , оп-

ределяющие производительность оборудования и эксплуатационные затраты, заданы таблично (табл. 6.8), а затраты, связанные с приобретением и установкой нового оборудования, p = 40 тыс. руб., причем заменяемое

оборудование списывается.

Т а б л и ц а 6.8

Рассмотрим стадию условной оптимизации, начиная с последнего (5-го) года планового периода и предполагая, что вначале оборудование было новым, т.е. имело возраст τ =0 .

Полагаем k = 5 . В этом случае множество допустимых состояний s к началу пятого года (т.е. множество возможных значений возраста обору-

187

Y5*(τ5) = 25 при x = xc ;

τ5 = 4 , Y5*(τ5) = max{rr(4)(0) −− zz(0)(4) − p = max{8060 −−2045 −40}= max{1520};

Y5*(τ5) = 20 при x = xз.

Полученные результаты сведем в табл. 6.9.

Полученные результаты представим в табл. 6.10. Т а б л и ц а 6.10

188

Как видим, в том случае, когда к началу 3-го года пятилетки возраст оборудования составляет два года, можно в качестве условно оптимального принять любое решение: сохранить оборудование или заменить, эффективность использования оборудования в каждом из этих случаев будет

одинаковой. Примем для определенности x3 = xз. Результат для k = 3 сведем в табл. 6.11.

Т а б л и ц а 6.11

Этот результат представим в виде табл. 6.12.

189

т.е. в начале 1-го года, установлено новое оборудование, значит, его возраст τ1 =0. Поэтому выбора на 1-м этапе фактически нет – оборудование на 1-м году сохраняется. Значит, условно оптимальным решением является

x1 = xc . При этом

Y1*(τ1) = r(0) − z(0) +Y2*(1) =80 −20 +155 = 215.

Это означает, что максимально возможное значение оптимизируемого критерия (6.25) равно 215 у.е. Ему соответствует оптимальный план замены оборудования, который получается на второй стадии вычислительного процесса – стадии безусловной оптимизации. Она состоит в последовательном использовании табл. 6.9 – 6.12 для 1-го, 2-го, …, 5-го года пятилетки.

Для первого года решение единственное – оборудование следует сохранить ( x1 = xc ). Значит его возраст к началу второго года будет равен τ=1. Тогда в соответствии с табл. 6.12 оптимальным для второго года будет решение о сохранении оборудования. Значит, к началу третьего года его возраст будет равен τ= 2. В соответствии с табл. 6.11 на третьем году оборудование следует заменить. В таком случае к началу четвертого года его возраст составит τ=1. В соответствии с табл. 6.10 при таком возрасте на четвертом году пятилетки оборудование менять не следует. При этом к началу пятого года его возраст станет равен τ= 2 и в соответствии с табл. 6.9 оборудование менять не нужно.

Таким образом, мы получили следующий оптимальный план принятия решений о судьбе рассматриваемого оборудования:

1-й год – сохранить; 2-й год – сохранить; 3-й год – заменить; 4-й год – сохранить; 5-й год – сохранить.

Рассмотрим далее еще одну задачу о замене оборудования. Ее особенностью будет то, что затраты на эксплуатацию, начальная и ликвидная стоимость оборудования зависят не только от возраста оборудования, но и от времени, прошедшего с начала анализируемого процесса.

Формулировка задачи [13]. Анализируется ситуация, связанная с эксплуатацией автомобиля. В начале анализируемого промежутка времени машина является новой, она приобретена за p0 = 5000 у.е. Из-за инфляции и других причин цены на новые машины со временем постоянно растут.

190