Математическая экономика

Условие (7.3) дает следующее уравнение: 2x −(2x′)′ = 0 или x′′− x = 0 .

Рассмотрим характеристическое уравнение для этого ДУ:

λ2 −1 = 0 .

По его корням λ1 =1; λ2 = −1 запишем общее решение

x = c1et + c2e−t .

Подставляя граничные условия, получаем уравнения для отыскания неизвестных констант c1, c2 :

x(0) = c1 + c2 = 0, x(1) = c1e1 + c2e−1 =1, ,

откуда находим

c1 = −c2 ; c1 = e1 −1e−1 .

Таким образом, искомая оптимальная траектория, соединяющая точки (0;0) и (1;1), определяется следующим образом:

Задача 2. Она является обобщением задачи 1 и состоит в отыскании нескольких функций x1 (t), ... , xn (t) , удовлетворяющих граничным условиям

и обеспечивающих максимальное или минимальное значение функционала

tн

Необходимое условие экстремальности этого показателя представляет собой следующую систему ДУ [17, 22, 31]:

211

Задача 3. Требуется найти систему функций {x1 (t),..., xn (t)}, при ко-

торых показатель качества в виде функционала (7.5) принимает макси-

мальное (или минимальное) значение и, кроме того, искомые функции должны удовлетворять заданным граничным условиям (7.4) и m дополнительным условиям, которые называют уравнениями связи:

Типичным и наиболее важным примером дополнительных уравнений связи, возникающих в задачах динамической оптимизации, являются

дифференциальные уравнения, описывающие управляемую систему:

Они возникают при математическом моделировании реальной системы, когда в описании ее свойств участвуют производные от тех или иных величин. Это относится и к экономическим системам, т.к. при их анализе в динамике, как правило, рассматриваются такие факторы, как темпы развития или скорости изменения величин.

В качестве примера можно привести так называемую однопродуктовую модель динамики фондов [24]. Если при рассмотрении производственных процессов предположить, что валовые инвестиции (валовые капитальные вложения) I расходуются на прирост основных производственных фондов и на амортизационные отчисления A, то получим следующее соотношение [24]:

I = q dKdt + A ,

где K – величина основных производственных фондов;

q – коэффициент пропорциональности (параметр модели). Амортизационные отчисления обычно определяются пропорцио-

нально капитальным вложениям

A =µK ,

где µ – коэффициент амортизации. В таком случае полученное выражение принимает следующий вид:

dKdt = 1q (−µK + I ) .

Оно является линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

212

Следует отметить, что при моделировании динамики реальных систем могут получаться уравнения различного вида, в том числе дифференциальные. Для использования соответствующих математических методов анализа, оперирующих с моделями, как правило, необходимо полученные уравнения привести к стандартному виду.

Что касается дифференциальных уравнений, то обычно рассматривают две стандартные формы их представления:

– дифференциальное уравнение n-го порядка, описывающее поведение фактора s(t) , которое определяется действием внешней (входной) ве-

личины x(t) :

d ns = F s, s′,..., s(n−1); x, x′,..., x(k −1);t , dtn

в частности, линейное дифференциальное уравнение:

ans(n) + an−1s(n−1) +... + a1s′+ a0s =bk x(k) +... +b1x′+b0x ;

– система дифференциальных уравнений в нормальной форме:

Если ввести в рассмотрение векторы s и x , а также вектор (столбец) правых частей этих уравнений

f1

f= ... ,

fn

то получим краткую векторно-матричную запись указанной системы:

ddts = f (s, x, t) .

Заметим, что от модели в виде одного дифференциального уравнения n-го порядка можно перейти к системе из n дифференциальных урав-

нений первого порядка. Например, дано уравнение 2-го порядка s′′+ a1s′+ a0 s = b0 x .

Введем новые переменные, полагая

s = s1; s′ = s2 ,

тогда вместо исходного ДУ 2-го порядка получим следующую систему из двух уравнений первого порядка:

{ss12′′ ==s−2a,0s1 − a1s2 +b0x.

213

В дискретных системах аналогом ДУ являются разностные уравнения. В них участвуют значения анализируемых процессов в различные тактовые моменты времени, например

a0 s(ti ) + a1s(ti −1 ) + a2 s(ti −2 ) = b0 x(ti ) ,

где i-й текущий номер временного такта (этапа или шага).

ДУ (7.8) сводятся к стандартному виду (7.7), если принять

γk = xk′ − fk .

Установлено [17, 31], что эту задачу с дополнительными ограниче- ниями-равенствами можно свести к предыдущей задаче 2, если рассматривать новый вспомогательный функционал

где λk = λk (t) – вспомогательные функции, называемые множителями Лагранжа; γk – выражения, стоящие в левых частях ограничений-равенств

(7.7).

Для отыскания искомого решения следует применить уравнение Эйлера (7.6) к функционалу (7.9), рассматривая получаемые при этом ДУ с граничными условиями (7.4) и уравнениями связи (7.7).

Задача 4. Иногда возникают задачи, в которых одно или несколько граничных значений xi (tk ) , фигурирующих в задачах 1 – 3, не заданы и не

связаны какими-либо условиями. Известно, что в таком случае для решения можно использовать изложенные выше условия и приемы, но каждое отсутствующее условие заменить так называемым условием трансверсаль-

ности [17, 31]

Задача 5. Рассмотрим задачи 1 – 2 в ситуации, когда граничные значения искомой функции xi (t) при t =tн и t =tк заданы, но один из концов

промежутка [tн,tк] обычно tk не задан. В этом случае соотношения, опре-

деляющие искомое решение, дополняются следующим условием трансверсальности [17]:

214

Задача 6. В рассмотренных выше задачах необходимо найти функции, минимизирующие интегральный показатель качества (7.5) или (7.9). Эти задачи называют задачами Лагранжа. На практике возникают задачи и иного рода – когда требуется минимизировать некоторую функцию конечного состояния

Такая задача называется задачей Майера [30, 31].

Задача 7. Обобщением задачи Лагранжа и Майера является задача Больца, в которой минимизируется показатель

tн

Заметим, что в задачах Больца и Майера правый конец траектории

t=tк ; x = x(t к) предполагаются незафиксированными.

Всоответствии с [31] для решения такой задачи следует использовать соотношения (7.6), дополнив их следующими условиями трансверсальности:

§7.3. Специфика задач оптимального динамического управления

ииспользование ВИ для их решения

Рассмотрим изложенную в § 6.2 классическую задачу об оптимальном управлении динамической системой. В ней требуется найти законы изменения управляющих факторов (управлений) ui = ui (t) , при которых

система из заданного начального состояния переходит в заданное конечное состояние

tн

принимает наименьшее значение.

215

При этом следует учитывать наличие связи между переменными состояния x(t) и управлениями u (t) , которая задается математической моде-

лью системы в виде ДУ:

или x′ = f (x, u ) .

Сравнивая эту задачу с классическими задачами ВИ, рассмотренными в § 7.2, можно прийти к выводу, что эта задача близка к задаче 3 об отыскании системы функций при наличии ограничений.

В ней также рассматриваются функции x1 (t),..., xn (t) , удовлетво-

ряющие граничным условиям (7.4), и интегральный показатель качества (7.5). Участвующую в формулировке задачи модель легко свести к ограни- чениям-равенствам (7.7), фигурирующим в задаче ВИ, если ДУ переписать в виде

xi′ − fi = 0

и принять γi = xi′ − fi .

Однако в задаче управления есть существенная специфика: в функционале (7.5), рассматриваемом в ВИ, в подынтегральном выражении уча-

ствуют (x1,..., xn ; x1′,..., xn′) , а в показателе качества (7.15) из задачи управ-

ления стоят (x1,..., xn ;u1,..., um ) .

Если учесть, что в показателе качества производные от этих переменных отсутствуют, то можно получить следующие уравнения Эйлера –Лагранжа для рассматриваемой задачи [34].

где λi – множители Лагранжа.

216

Как отмечалось в § 6.2, в задачах управления наряду с моделью (7.8) могут задаваться ограничения-неравенства на переменные состояния и управления, например

a j ≤ u j ≤ bj .

Такие ограничения средства ВИ также позволяют учесть. Для этого имеются специальные приемы, например метод штрафов и метод Валентайна [31], хотя при этом возникают дополнительные трудности в решении.

Пример 1 [31]. Рассмотрим систему, поведение которой характеризуется выходной переменной y. Система имеет одно управляющее воздействие u. Известна модель системы

y′′+ y = u .

Требуется найти закон формирования u = u(t) , t ≥ 0 .

y(0) = y0; y′(0) = 0; y(∞) = y′(∞) = 0 .

Кроме того, необходимо минимизировать показатель качества:

∞

J = ∫( y2 + y′2 + αu2 ) dt → min ,

0

где α – постоянный параметр.

Решение

Перейдем от исходной модели к системе уравнений первого порядка, полагая

y = x1; y′ = x2 .

Тогда

∞

J = ∫(x12 + x22 + αu2 ) dt .

0

Запишем подынтегральное выражение в форме (7.9), учитывающей ограничения-равенства:

L = x12 + x22 + αu2 + λ1(x1′ − x2 ) + λ2 (x2′ + x1 −u) + λ3(x3′ −u) .

~

Рассмотрим производные от L , которые войдут в уравнение Эйлера – Лагранжа (7.16):

217

Положим для определенности α = 19 , тогда уравнение примет вид

λ4 −7 λ2 +10 = 0 .

Обозначая λ2 = y и решая квадратное уравнение y2 −7 y +10 = 0 ,

получаем

y1 = 5; y2 = 2.

λ1,2 = ± 5 ; λ3,4 = ± 2 .

Общее решение для x1 можно записать следующим образом:

x1(t) = c1e 5t + c2e− 5t + c3e 2t + c4e− 2t .

Константы сi необходимо найти из граничных условий.

Заметим, что условие x(∞) = 0 может выполняться лишь при c1 = c3 = 0 . Соответственно

219

Дифференцируя найденное выражение для x1 = x1* , получаем

Пример 2. Обобщением рассмотренной задачи является задача об управлении системой n-го порядка, модель которой представлена следую-

показатель качества

tк

J = ∫ (c1x12 +... + cn xn2 + αu2 ) dt → min tн

принимал минимальное значение.

Решение этой задачи с использованием средств ВИ см., например, в

[31].

§ 7.4. Приближенные методы решения задач динамической оптимизации средствами ВИ

При использовании необходимых условий оптимальности в виде уравнений Эйлера – Лагранжа для решения реальных практических задач редко удается получить искомый закон формирования управлений в аналитическом виде так, как это удалось сделать выше для простейших примеров.

220