Математическая экономика

По прогнозам этот рост составляет 10 % в год, поэтому через k лет автомобиль этой же модели будет стоить (у. е.)

Ежегодные затраты на эксплуатацию автомашины, ее ремонт и обслуживание со временем растут пропорционально возрасту машин на 10 % в год. Эту зависимость можно описать следующим образом:

Ликвидная стоимость, по которой автомашину можно продать, со временем падает. Анализ рынка показывает, что после τ лет эксплуатации машину, приобретенную в k-м году, можно продать по цене

В начале каждого года из рассматриваемого промежутка времени нужно принимать решение – продолжить дальнейшую эксплуатацию машины или заменить ее на новую.

Требуется сформировать оптимальный план действий, т.е. определить, когда автомашину следует продать и купить новую так, чтобы суммарные затраты были минимальны.

Анализируемый промежуток времени ограничен семью годами, причем решение о продолжении эксплуатации машины или ее замене принимается по истечении 1-го, 2-го, …, 6-го, а после 7-го года эксплуатации она в любом случае продается, а новая не покупается.

Решение. Сначала рассмотрим для этой задачи сущность ключевых понятий: управления, состояния и критерия эффективности, а также математические соотношения, определяющие их. Управление в этой задаче носит тот же характер, что и в предыдущем случае. Оно может принимать два значения:

x= xc −если машина сохраняется,xз −если она заменяется.

Состояние системы sk −1 в начале k-го шага (года) характеризуется возрастом машины τ. Уравнение состояния, как и в предыдущем случае, определяется соотношением (6.24), т.е.

191

Т а б л и ц а 6.13

различных τ< k , приведены в табл. 6.14. В каждой строке этой таблицы

193

Окончание табл. 6.14

На стадии безусловной оптимизации, двигаясь по табл. 6.14 снизу вверх, получаем последовательность действий

x1* = xc ; x2* = xc ; x3* = xc ; x4* = xз; x5* = xc ; x6* = xc .

При этом минимальная величина суммарных затрат на эксплуатацию автомашины, включая ее перепродажу на 4-м году, составляет

Ymin* =17 387,5 у.е.

§ 6.10. Задача календарного планирования трудовых ресурсов

Рассмотрим задачу об оптимальном регулировании численности работников в следующей формулировке [32]. Предпринимателю требуется составить план приема и увольнения рабочих определенной профессии на ближайшие 5 месяцев. Исходя из имеющихся договоров, на поставку продукции предприятия составлен производственный план на указанный период, а по нему определена потребность ai в рабочих на каждый месяц.

Пусть в i-м месяце предусматривается работа xi человек. При излишней

В первом случае при переходе с (i-1)-го месяца в i-й месяц приняты новые рабочие, во втором случае – новых рабочих не принимали, их чис-

194

ленность сохранилась или произведены увольнения. Предполагается, что при увольнении накладных расходов не возникает.

Требуется составить оптимальный план регулирования численности рабочих на рассматриваемый 5-месячный период, при котором суммарные затраты, связанные с приемом новых рабочих и простоями при избытке работников, были бы минимальны. Кроме того, будем предполагать, что исходное количество имеющихся работников задано: x0 = a0 . Будем также исходить из того, что на любом i-м этапе xi ≥ ai , т.е. недостатка рабочих, когда xi < ai , допускать нельзя.

Для конкретности примем

a0 = a1 = 5; a2 = 7 ; a3 =8 ; a4 = 4 ; a5 = 6 ; b =3 ; c = 4; k = 2.

Для этих данных график потребности в рабочих представлен на рис 6.6 пунктирной линией.

Решение. Определим сначала ключевые для ДП понятия – этап, состояние, управление, критерий оптимальности. В этой задаче этапы определяются естественным образом – каждый месяц является соответствующим этапом. Состояние si −1 в начале i-го этапа определим количеством

рабочих xi −1 , имеющихся на предприятии к концу (i-1)-го месяца. Управление на i-м этапе состоит в определении численности работников xi .

195

Критерий эффективности – суммарные затраты, связанные с наймом новых рабочих и простоями при их избытке, определяется соотношением

Из сущности сформулированной задачи вытекают дополнительные условия, которым должно удовлетворять решение xi :

x0 = xн =5 ;

x5 = a5 = 6 – на этом этапе нет смысла содержать лишнюю рабочую силу, которая могла бы пригодиться в будущем, т.к. этот этап последний;

ai ≤ xi ≤ aмакс = sup {ai}=8 ; i =1, 4;

1≤i≤5

можное начальное состояние и проведем вычисления по второй формуле из (6.37).

Так как x5 = a5 = 6 , то простоев на этом этапе нет, поэтому затраты υi = 0 . В зависимости от состояния s4 переход на 5-й этап будет связан либо с наймом рабочих (при x5 > s4 ), либо с их увольнением (при x5 < s4 ).

Следовательно, получим:

для s4 = 4 нужно нанять двух работников, поэтому

Y5* (s4 ) =υi + wi = wi = 4 + 2 2 =8;

196

для s4 = 5 нужно нанять одного работника, поэтому

Y5* (s4 ) = wi = 4 + 2 1 = 6;

для s4 = 6 не требуется ни нанимать, ни увольнять рабочих, поэтому

Y5*(s4 ) = wi = 0 ;

для s4 = 7 и s4 =8 нужно уволить одного или двух человек – по условиям задачи это не требует каких-либо затрат, поэтому в том и в другом случае:

(a3 =8) ≤ s3 ≤ (amax =8) , т.е. s3 =8 . Так как x4 ≤ s3 =8 , то в любом случае найма работников не требуется, а необходимы будут увольнения, поэтому w4 = 0 .

По первой формуле из (6.37) получаем следующие результаты:

для x4 = 4 простоев нет (υ4 = 0 ) и требуется уволить (s4 − x4 ) = 4 чел., ( w4 = 0 ), поэтому

Y4 (s3 ) = 0 +0 +Y5* (s4 ) =8;

для x4 = 5 получаются убытки из-за простоя одного работника υ4 = 3 1 и требуется уволить 3 чел., ( w4 = 0 ), поэтому

Y4 (s3 ) = 3 1+0 +Y5* (s4 ) = 3 +6 = 9 ;

для x4 = 6 получаются убытки из-за простоя двух человек, поэтому

Y4 (s3 ) = 3 2 +0 +Y5* (s4 ) = 6 +0 = 6;

для x4 = 7 получаются убытки из-за простоя трех человек, поэтому

Y4 (s3 ) = 3 3 +0 +0 = 9 ;

для x4 =8 излишняя численность равна 4, поэтому

Y4 (s3 ) = 3 4 +0 +0 =12 .

Наименьшее значение Y5* получается равным Y5* (s3 =8) = 6 при x4* = 6 .

Этап № 3. На этом этапе a3 =8 и x3 =8 ; (a2 =7) ≤ s2 ≤(amax =8) , т.е. s2 {7, 8}. Простоев нет, поэтому υ3 = 0;

для s2 = 7 при x3 =8 следует нанять одного работника: w3 = 4 + 2 1 = 6, в результате получаем Y3* (s2 ) = 0 +6 +6 =12 ; для s2 =8 при x3 =8 не требуется ни нанимать, ни увольнять работников. В результате получаем

197

Y3* (s2 ) = 0 +0 +6 = 6 .

Отметим, что x3* =8 .

Этап № 2. В этом случае a2 =7; X2 =S2 ={7, 8}; (a1 =5) ≤s1 ≤(amax =8) , т.е. s1 {5, 6, 7, 8}.

Для s1 = 5 при x2 = 7 простоев нет, следовательно, υ2 = 0 ; требуется на-

нять двух человек:

Y2 (s1) = 0 + 4 + 2 2 +Y3*(s2) = 0 +8 +12 = 20 ;

при x2 =8 будут приняты три человека, но один из них будет простаивать:

Y2 (s1) =3 1+ 4 + 2 3 +6 =19 .

Выбираем наименьшее значение из полученных: Y2* (s1 = 5) =19 при x*2 =8 . Для s1 = 6 при x2 = 7 аналогично получим

Y2 (s1) = 0 + 4 + 2 1+12 =18;

при x2 =8

Y2 (s1) =3 1+ 4 + 2 2 +Y3*(s2) =3 +8 +6 =17 .

Выбираем наименьшее значение

Y2* (s1 = 6) =17 при x*2 =8 .

Для s1 = 7 при x2 = 7 находим

Y2 (s1) = 0 +0 +12 =12;

при x2 =8

Y2 (s1) =3 1 + 4 + 2 1 + 6 =15.

Выбираем Y2* (s1 = 7) =12 при x*2 = 7 . Для s1 =8 при x2 = 7 получаем

Y2 (s1) = 0 +0 +12 =12 ;

при x2 =8

Y2 (s1) = 3 1+0 +6 = 9 .

Выбираем

Y2* (s1 =8) = 9 при x*2 =8 .

Этап № 1. a1 = 5 ; X1 = S1 ={5, 6, 7, 8}; s0 = s1н =5.

Для s0 = 5 при x1 = 5 имеем

Y1 (s0 ) = 0 +0 +19 =19 ;

при x1 = 6

198

Y1 (s0) =3 1+ 4 + 2 1+17 = 26 ;

при x1 = 7

Y1 (s0 ) =3 2 + 4 + 2 2 +12 = 26 ;

при x1 =8

Y1 (s0) =3 3 + 4 + 2 3 +9 = 28 .

Выбираем наименьшее значение

Y1* (s0 = 5) =19 при x1* = 5.

В краткой форме результаты проделанных вычислений приведены в табл. 6.15 – 6.19.

199

Стадия безусловной оптимизации.

Двигаясь от начального этапа к финальному пятому этапу, последовательно находим

x0 = 5 = x1* → x2* =8 → x3* =8 → x4* = 6 → x5* = 6 .

Оптимальный план регулирования численности рабочих представлен в табл. 6. 20.

Т а б л и ц а 6. 20

200