Математическая экономика

Контрольные вопросы

1.Какая система называется управляемой?

2.Какая система называется статической, а какая – динамической?

3.Какая система является непрерывной, а какая – дискретной? Что называется периодом (шагом) дискретности?

4.Какая система считается детерминированной?

5.Какие системы называются системами с неопределенностями?

6.Как формулируется классическая задача об оптимальном динамическом управлении?

7.Что представляет собой критерий оптимизации в задаче динамического управления?

8.Сформулировать классическую задачу динамического программирования, в чем ее принципиальные особенности?

9.Как формулируется принцип оптимальности Р. Беллмана?

10.Записать функциональное уравнение ДП, реализующее принцип оптимальности Р. Беллмана.

11.На какие стадии разделяется процесс решения задач динамического программирования методом Р. Беллмана?

12.Как формулируется задача об оптимальном единовременном распределении выделенных средств между предприятиями? Каким образом определяются в ней понятия «управление», «состояние» и «критерий оптимальности»?

13.Как формулируется задача об оптимальном поэтапном распределении выделенных средств между предприятиями в течение планового периода?

14.Как формируется задача об оптимальном плане замены оборудования? Как определяются понятия «управление», «состояние» и «критерий оптимальности» в этой задаче?

15.Как формулируется задача календарного планирования трудовых ресурсов? Как определяются «управление», «состояние» и «критерий оптимальности» в этом случае?

201

Задачи для самостоятельного решения

Найти решение сформулированной в § 6.7 задачи об оптимальном единовременном распределении средств между предприятиями для s0 = 250 ; ∆s = ∆x = 50; k = 4 и функций доходности, заданных приведенными ниже таблицами.

202

Найти решение сформулированной в § 6.8 задачи о поэтапном распределении средств между предприятиями в течение планового периода

Решить сформулированную в § 6.9 задачу об определении оптимального плана замены оборудования при условии, что затраты по приобретению и установке нового оборудования равны p = 50000 у.е., а функции,

204

определяющие производительность оборудования и эксплуатационные затраты, заданы приведенными ниже таблицами:

205

Решить сформулированную в § 6.10 задачу календарного планирования трудовых ресурсов для следующих исходных данных:

206

207

Глава 7. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИНАМИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

§ 7.1. Основные понятия вариационного исчисления

Вариационное исчисление (ВИ) является областью математики, рассматривающей задачи об отыскании функций, при которых заданный функционал в виде определенного интеграла принимает максимальное или минимальное значение. Оно является развитием дифференциального исчисления (ДИ), позволяющего находить максимумы и минимумы (т.е. экстремумы) функции. Как отмечалось в § 5.1, необходимое условие экстремума дифференцируемой функции x = x(t) состоит в требовании

x′(t) = 0 ,

позволяющем определить точки ti , «подозрительные» на экстремум. Если в основе ДИ лежит понятие приращения и дифференциала, а

также связанного с ним понятия производной, то в основе ВИ аналогичную роль играет понятие вариации функции.

Пусть задана некоторая функция x = x0 (t) , рассматриваемая на промежутке t1 ≤ t ≤ t2 . Выберем новую функцию x = x(t) и рассмотрим разность

δx (t) = x(t) − x0 (t) ,

которая характеризует отклонения между указанными функциями x0 (t) и x(t) для различных t [t1, t2 ]. Ее и называют вариацией.

Рассмотрим некоторый функционал

Y = F[x(t)].

Следует отметить, что правило F функциям x(t) =[x1(t), x2 (t)... xn (t)]

ставит в соответствие число Y. Такое правило (отображение) называется функционалом.

Типичным примером функционала является определенный интеграл

Y = t∫к ϕ[x(t), t]dt ,

0

где ϕ – некоторое выражение.

208

В [24] в качестве показателя, оценивающего качество функционирования экономической системы, рассматривается, например, суммарная дисконтированная величина непроизводственного потребления, определенная по промежутку времени tн = 0 ≤t ≤ tк:

Другим примером интегрального показателя качества может служить выражение

tк

Y = ∫ e2 (t)dt →inf ,

0

где e = s0 (t) − s(t) ,

s0 (t) – желаемый закон изменения фактора s,

s(t) – реальный процесс, наблюдаемый в системе,

e– мера несоответствия (ошибка или рассогласование).

Вдискретных системах аналогом интегральных показателей являются суммарные показатели, например

N

Y = ∑ε2 (ti ) →inf ,

i=1

где i – номер шага, такта или этапа.

Заметим, что в динамических системах показатель качества (функционал (6.2)) необязательно выражается интегралом. Приведем два примера показателей иного рода:

Y = sup e(t) →inf ,

0≤t≤tк

Y = xi (tк) →sup .

Будем считать, что рассматриваемый функционал F на функции x = x0 (t) имеет локальный минимум, если существует такое число ε > 0 ,

209

что F[x0 (t)] < F[x0 (t) + δx (t)] для всех вариаций δx (t) , удовлетворяющих

условию

0 < δx (t) < ε.

Аналогично определяются максимумы функционала. Функционал, также как и функция, может иметь несколько локальных экстремумов. В таком случае глобальный максимум (минимум), который обычно необходимо найти в прикладных задачах, следует искать среди локальных максимумов (минимумов), определив в каждом из них значение показателя Y и выбрав наилучший результат.

§ 7.2. Классические задачи ВИ и соотношения для их решения

Задача 1. Необходимо отыскать функцию x = x(t) для t [tн,tк] ,

и для которой функционал в виде интеграла

tн

принимает максимальное (или минимальное) значение.

Ключевой результат, относящийся к ВИ, представляет собой необходимое условие экстремума этого функционала. В соответствии с ним функция x = x(t) , доставляющая минимум или максимум функционалу

Это условие называют уравнением Эйлера [17, 22, 34], или уравнением Эйлера – Лагранжа [30, 31].

Помимо приведенного уравнения Эйлера существуют и другие необходимые условия экстремальности функционала: условия Лежандра, Вейерштрасса, Якоби [22, 31].

Пример. Найти функцию x = x(t) , для которой x(0) = 0; x(1) =1, а также

1

J = ∫(x2 (t) + x′2 (t))dt → min .

0

210