- •2007 Г.
- •Оглавление
- •Состав теоретического материала и ссылки на литературу
- •Справочный материал к выполнению контрольной работы
- •Функции нескольких переменных и ее частные производные
- •1.1. Определение функции нескольких переменных.
- •1.2. Частные производные фнп.
- •1.3. Полное приращение и полный дифференциал фнп.
- •1.4. Производные фнп высших порядков.
- •2. Частные производные фнп, заданной неявно
- •3. Производная сложной фнп. Полная производная
- •4. Экстремумы фнп
- •4.1. Локальные максимумы и минимумы фнп.
- •4.2 Нахождение наибольшего и наименьшего значений фнп в замкнутой области
- •5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •6. Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению
- •7. Функции комплексной переменной
- •7.1. Определение и свойства функции комплексной переменной.
- •7.2. Дифференцирование фкп. Аналитические фкп.
- •Решение примерного варианта контрольной работы
- •Рекомендуемая литература
7.2. Дифференцирование фкп. Аналитические фкп.
Производной от функции комплексной переменной в точкеz0 называется предел:
,
где , ипроизвольным образом.
Функцию , дифференцируемую в точкеz0 и некоторой ее окрестности, называют аналитической, или регулярной функцией в точке z0.
Точки, в которых ФКП не является аналитической, называют особыми точками этой функции.
Для того, чтобы функция была аналитической в областиD необходимо и достаточно, чтобы частные производные 1-го порядка функций u(x,y) и v(x,y) были непрерывны в этой области и выполнялись бы условия:
, (10)
называемые условиями Эйлера-Даламбера, или условиями Коши-Римана.
Пример 2. Проверить аналитичность ФКП .
(см. пример 1). Проверим выполнение условий Коши-Римана: .
Первое условие не выполняется, следовательно, эта функция не является аналитической.
Пример 3. Проверить аналитичность ФКП .
Выделим вещественную и мнимую части функции:
.
Проверим выполнение условий Коши-Римана:
.
Условия выполняются во всех точках, кроме особой точки (0, 0), в которой функции и u(x, y) и v(x, y) не определены. Следовательно, функция аналитическая при.
Если функция аналитическая в областиD, то ее производную можно найти, используя правила дифференцирования, аналогичные правилам дифференцирования функции одной действительной переменной.
Пример 4. Вычислить значение производной функции в точке
z0 = – 1+ i.
Функция – аналитическая, а значит, дифференцируемая во всей своей области определения (см. пример 3). Ее производная:
.
Вычислим значение производной в точке z0 = – 1+ i:
.
Следовательно, .
Решение примерного варианта контрольной работы
Задача 1. Дана функция z = cos2(2x – y). Требуется:
1) найти частные производные и ;
2) найти полный дифференциал dz;
3) показать, что для данной функции справедливо равенство: .
Решение.
1) При нахождении считаем аргумент y постоянным:
= (cos2(2x – y))= 2cos(2x – y)(cos(2x – y))=
= 2cos(2x – y)(–sin(2x – y))(2x – y)=–2cos(2x – y)sin(2x – y)((2x)– (y)) =
= – 2cos(2x – y)sin(2x – y)(2 – 0) = –sin(2(2x – y))2 = –2sin(4x – 2y).
При нахождении считаем аргумент x постоянным:
= (cos2(2x – y))= 2cos(2x – y)(cos(2x – y))=
=2cos(2x – y)(–sin(2x – y))(2x – y) = –2cos(2x – y)sin(2x – y)((2x) – (y)) =
= – sin(2(2x – y))(0 – 1) = = sin(4x – 2y).
2) По формуле (1) находим полный дифференциал функции:
dz = = –2sin(4x – 2y)dx + sin(4x – 2y)dy.
3) Найдем смешанные частные производные второго порядка.
Для того чтобы найти дифференцируем по у:
= = (–2sin(4x – 2y)) = [считаем x постоянным] =
= – 2cos(4x – 2y)(4x – 2y)= – 2cos(4x – 2y)(0 – 2) = 4cos(4x – 2y).
Для того чтобы найти дифференцируем по x:
= = (sin(4x – 2y)) = [считаем y постоянным] =
= cos(4x – 2y)(4x – 2y)= cos(4x – 2y)(4 – 0) = 4cos(4x – 2y).
Получили: = 4cos(4x – 2y), = 4cos(4x – 2y) .
Ответы:
1) = –2sin(4x – 2y); = sin(4x – 2y);
2) dz = –2sin(4x – 2y)dx + sin(4x – 2y)dy;
3) равенство выполнено.
Задача 2. Найти частные производные ,и, если переменныеx, y, и z связаны равенством 4x2 y ez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x = 0.
Решение.
Для F(x, y, z) = 4x2 y ez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x получаем:
F= (4x2 yez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x) = [считаем y и z постоянными] =
= 8x y ez + sin( x3 – z)3x2 + 3 = 8x y ez + 3x2 sin( x3 – z) + 3;
F= (4x2 y ez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x) = [считаем x и z постоянными] =
= 4x2 ez + 4y;
F = (4x2 y ez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x) = [считаем x и y постоянными] =
= 4x2 y ez – sin (x3 – z).
По формулам (2) находим частные производные:
;
и по формуле (3) получаем: .
Ответы: ;
.
Задача 3. Дана сложная функция z = ln(2t – x2y), где , . Найти полную производную .
Решение. Используя формулу (4), получаем:
Подставив в полученный ответ , , получим:
Ответ: .
Задача 4. Дана функция z = x2 – xy + y2 – 4x + 2y + 5 и уравнения границ замкнутой области D на плоскости XОY: x = 0, y = –1, x + y = 2. Требуется:
1) найти наибольшее и наименьшее значения функции в области D;
2) сделать чертеж области D в системе координат, указав на нем точки, в которых функция имеет наибольшее и наименьшее значения.
Решение.
Для наглядности процесса решения построим областьDв системе координат. ОбластьDпредставляет собой треугольник, ограниченный прямыми
x= 0,y= –1 иx + y= 2. Обозначим вершины треугольника:A,B,C (рис 1).
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции zсначала найдем все стационарные точки функцииz = x2–xy+y2– 4x+ 2y+ 5, лежащие внутри областиD (если они есть), и вычислим в них значения функции.
Стационарные точки – это точки, в которых все частные производные
1-го порядка равны нулю:
Решаем систему:
Стационарная точка М(2, 0)(рис.1), но не является внутренней точкой области, поэтому значение функции в этой точке вычислим позже.
Теперь найдем наибольшее и наименьшее значения функции на границе области D. Граница является кусочно-заданной, поэтому будем проводить исследование функцииz (x, y) отдельно на каждом участке границы.
а) На границе АВвыполняетсяx= 0 и функцияz является функцией одной переменной: .
Исследуем поведение z (y) по правилам нахождения наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на замкнутом промежутке: стационарная точка на границеАВ: А(0, – 1);
б) На границе АС выполняетсяу = –1 и функцияz является функцией переменнойх:
.
Исследуем поведение z (х): стационарная точка на границеАС:N(1,5, –1);
в) На границе ВС выполнено x + y= 2, т.е.y= 2 –хи функцияz является функцией одной переменной:
Исследуем поведение z (х): . Вычислим ординату стационарной точки:y= 2 –x= 0 стационарная точкаМ(2,0);
.
Сравнивая все найденные значения функции, выбираем среди них наибольшее и наименьшее значения функции в области D:
.
2) Отметим на построенном ранее чертеже области D (рис. 1) точки, в которых функция имеет наибольшее и наименьшее значения: В(0,2) и М(2,0).
Ответы:
1) ;
2) рисунок 1.
Задача 5. Поверхность σ задана уравнением z = + xy – 5x3. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М0(x0, y0, z0), принадлежащей ей, если x0 = –1, y0 = 2.
Решение.
Найдем частные производные функции z = f (x, y) = + xy – 5x3:
(x, y) = ( + xy – 5x3) = – + y – 15x2;
(x, y) = (+xy – 5x3)= + x.
Точка М0(x0, y0, z0) принадлежит поверхности σ, поэтому можно вычислить z0, подставив заданные x0 = –1 и y0 = 2 в уравнение поверхности:
z = + xy – 5x3 z0 = + (–1) 2 – 5 (–1)3 = 1.
В точке М0(–1, 2, 1) значения частных производных:
(М0) = – + 2 – 15(–1)2 = –15; (М0) = – 1 = –2.
Пользуясь формулой (5) получаем уравнение касательной плоскости к поверхности σ в точке М0:
z – 1= –15(x + 1) – 2(y – 2) z – 1= –15x – 15 – 2y +4 15x + 2y + z + 10 = 0.
Пользуясь формулой (6) получаем канонические уравнения нормали к поверхности σ в точке М0: ==.
Ответы: уравнение касательной плоскости: 15x + 2y + z + 10 = 0; уравнения нормали: ==.
Задача 6. Дано плоское скалярное поле U = x2 –2y, точка М0(1,–1) и вектор . Требуется:
1) найти уравнения линий уровня поля;
2) найти градиент поля в точке M0 и производную в точке M0 по направлению вектора;
3) построить в системе координат XОY 4-5 линий уровня, в том числе линию, проходящую через точку M0, изобразить вектор на этом чертеже.
Решение.
1) Для U = x2 – 2y уравнение семейства линий уровня имеет вид x2 – 2y = С или y = – . Переобозначив = С, получим уравнение семейства линий уровня: y = + С, где С – произвольная постоянная. Это семейство парабол, симметричных относительно оси OY (ветви направлены вверх) с вершинами в точках (0, С).
2) Найдем частные производные функции U = x2 – 2y: = (x2 – 2y) = 2x, = (x2 – 2y) = – 2. В точке М0(1, – 1) значения частных производных:,.
По формуле (7) находим градиент поля в точке M0:
Прежде, чем найти производную по направлению вектора = ={2; – 1}, вычислим его модуль и направляющие косинусы:
, .
Производную поля по направлению вектора в точкеМ0 вычисляем по формуле (8): .
3)Для построения линий уровня в системе координат XОY подставим в уравнение семейства линий уровня: y = + С различные значения С:
при С1 = 0 получим y1 = , при С2 = 1 получим y2 = + 1,
при С3 = – 1 получим y3 = – 1, при С4 = 2 получим y4 = + 2, и т.д.
Получим уравнение линии уровня, проходящей через точкуМ0(1, – 1). Для этого подставим подставив x0 = 1, y0 = –1 в уравнение y = + С и найдем значение С: – уравнение линии уровня, проходящей через точку М0.
Построим эти линии в системе координат XОY (рис. 2).
Для построения градиента поля в точке M0 отложим вектор от точкиM0. Для этого нужно отложить от точки М0(1, – 1) проекции градиента в направлении координатных осей и построить вектор по правилу параллелограмма. В данном случае, поэтому откладываем +2 единицы вдоль осиOX, –2 единицы вдоль оси OY, и получаем вектор как диагональ параллелограмма, построенного на векторахи(рис. 2).
Ответы:
1) y = – С; 2) ,;
3) линии уровня и на рисунке 2.
Задача 7. Дана функция комплексной переменной , гдеи точкаz0 = – 1 + 3i.
Требуется:
представить в виде , разделив ее вещественную и мнимую части;
проверить, является ли функция w аналитической;
в случае аналитичности функции w найти ее производную в точке z0.
Решение.
1) Выделим вещественную и мнимую части функции:
Получили:
.
2) Проверим выполнение условий Коши-Римана (10):
Получили:. Условия Коши-Римана выполняются во всех точках, кроме особой точкиz = 2i, в которой функции x = 0, y = 2 и функции u(x, y) и v(x, y) не определены. Следовательно, функция – аналитическая при.
3) Найдем производную функции:
.
Вычислим значение производной функции в точке z0 = – 1 + 3i.
Ответы:
1) ;
2) функция аналитическая при;
3) .