30

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ

фгоувпо «МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра высшей математики и

программного обеспечения ЭВМ

Задания на контрольную работу по теме

«Интегральное исчисление функции нескольких переменных.

Векторный анализ. Элементы теории векторного поля»

и методические указания к ее выполнению

для студентов 2 курса вечерне-заочного факультета

Мурманск

2007 г.

Составители:

Кацуба Валентина Сергеевна, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ;

Мостовская Любовь Григорьевна, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ.

Методические рекомендации рассмотрены и одобрены кафедрой ВМ и ПО ЭВМ 30 мая 2007 г., протокол № 7.

Рецензент – Котов А.А., к. т. н., доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ.

Мурманский государственный технический университет, 2007

Оглавление

Стр.

Введение 4

Задания на контрольную работу по теме «Интегральное исчисление функции нескольких переменных. Векторный анализ. Элементы теории векторного поля» 5

Содержание теоретического материала и ссылки на литературу 8

Криволинейный интеграл II рода (по координатам), его основные свойства, вычисление и приложения 8

Справочный материал к выполнению контрольной работы 9

1. Двойной интеграл 9

1.1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах 9

1.2. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах 11

1.3. Некоторые приложения двойных интегралов 12

2. Тройной интеграл 12

2.1. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах 12

2.2. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах 14

2.3. Некоторые приложения тройных интегралов 14

3. Криволинейный интеграл II рода (по координатам) 15

4. Векторная функция скалярного аргумента 15

5. Векторное поле 16

5.1. Поток векторного поля через поверхность 16

5.2. Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция 18

6. Потенциальные и соленоидальные векторные поля 19

6.1. Ротор векторного поля 19

6.2. Потенциальное векторное поле и его потенциал 20

6.3. Соленоидальное векторное поле 21

Решение примерного варианта контрольной работы 22

Рекомендуемая литература 30

Введение

Настоящее пособие предназначено для студентов 2 курса вечерне-заочного факультета, обучающихся по техническим специальностям. В пособии содержатся задания к выполнению контрольной работы по теме «Интегральное исчисление функции нескольких переменных. Векторный анализ. Элементы теории векторного поля», список рекомендуемой литературы и ссылки на разделы теоретического материала, которые необходимо изучить для выполнения этой контрольной работы. В результате изучения этих разделов студенты должны:

• знать основные понятия теории интегрального исчисления функций нескольких переменных (двойной и тройной интегралы, криволинейный интеграл II-го рода, их свойства);

• уметь решать задачи с применением двойных и тройных интегралов, криволинейных интегралов II-го рода;

• иметь представление о вектор-функции скалярного аргумента, ее производных и уметь решать задачи с их использованием;

• знать основы теории векторного поля и уметь определять его основные характеристики (поток, дивергенция, ротор);

• знать основные виды векторных полей (потенциальные и соленоидальные), уметь определять вид поля и использовать его свойства.

Данные методические рекомендации включают также справочный материал, необходимый для выполнения контрольной работы по теме «Интегральное исчисление функции нескольких переменных. Векторный анализ. Элементы теории векторного поля», и решение примерного варианта работы, в котором имеются ссылки на используемый справочный материал.

Задания на контрольную работу по теме «Интегральное исчисление функции нескольких переменных. Векторный анализ. Элементы теории векторного поля»

Контрольная работа состоит из шести задач. Задание в каждой задаче включает в себя его формулировку и десять вариантов исходных данных.

Задача 1. Используя двойной интеграл, вычислить статический момент относительно оси Ox тонкой однородной пластинки, имеющей форму области D, ограниченной заданными линиями. Построить чертеж области интегрирования.

Номер варианта	Границы области D	Номер варианта	Границы области D
1	x + y = 3, x = 2y2, y = 0	2	x + y = 1, x2 = y – 1, x = 1
3	y = x + 1, 1 – x = y2, y = 0	4	y = x2, 2y = x2, x = 2
5	xy = 2, y = 2x, x = 2	6	x + y = 0, x2 = y, y = 1
7	x + y = 2, y = x3, x = 0	8	xy = 1, x = y, y = 2
9	y = x + 2, y = x2	10	x = y, 2x + y2 = 0, y = 2

Указание. Считать плотность вещества .

Задача 2. Используя тройной интеграл в цилиндрической системе координат, вычислить массу кругового цилиндра, нижнее основание которого лежит в плоскости xOy, а ось симметрии совпадает с осью Oz, если заданы радиус основания R, высота цилиндра H и функция плотности , где – полярный радиус точки.

Номер варианта	Размеры цилиндра, плотность вещества	Номер варианта	Размеры цилиндра, плотность вещества
1	R = 1, H = 0,5,	2	R = 2, H = 0,5,
3	R = 1, H = 3,	4	R = 2, H = 1,
5	R = 2, H = 0,5,	6	R = 3, H = 1,
7	R = 1, H = 2,	8	R = 4, H = 0,25,
9	R = 1, H = 0,1,	10	R = 1, H = 5,

Задача 3. Вычислить работу силы при перемещении точки приложения силы вдоль заданной кривой L от точки B до точки C, если значения параметра t в точках B и C заданы.

Номер варианта	Сила	Параметрические уравнения кривой L	Значения параметра t в точках B и C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Задача 4. Задан радиус-вектор движущейся точки: . Найти векторы скорости и ускорения движения этой точки через 2 минуты после начала движения.

№ варианта	Радиус-вектор	№ варианта	Радиус-вектор
1		2
3		4
5		6
7		8
9		10

Задача 5. Дано векторное поле и уравнение плоскости.

Номер варианта	Векторное поле	Уравнение плоскости 
1		2x + 2y + z – 2 = 0
2		2x + 3y + z – 1 = 0
3		3x + 2y + z – 6 = 0
4		x + 2y + 2z – 2 = 0
5		3x + y + 2z – 3 = 0
6		4x + y + 2z – 2 = 0
7		x + y + 2z – 2 = 0
8		2x + 3y + 4z – 6 = 0
9		x + 2y + 4z – 4 = 0
10		x + 5y + z – 5 = 0

Требуется:

1. найти поток поля через плоскость треугольникаАВС где А, В, и С – точки пересечения плоскости  с координатными осями, в направлении нормали плоскости, ориентированной «от начала координат»; построить чертеж пирамиды ОАВС, где О – начало координат;

2. используя формулу Остроградского-Гаусса, вычислить поток поля через полную поверхность пирамидыОАВС в направлении внешней нормали.

Задача 6. Проверить, является ли векторное поле заданной силы потенциальным или соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал и вычислить с помощью потенциала работу силыпри перемещении единичной массы из точкиM в точку N, где точки M и N заданы.

Номер варианта	Сила	Точки M и N
1		M(–1, 0, 0), N(1, 2, 1)
2		M(0, –2, 1), N(1, 0, 0)
3		M(1, –2, 0), N(3, 0, –1)
4		M(0, –1, –2), N(1, –3, 0)
5		M(–2, 0, 1), N(–1, 1, 0)
6		M(2, 1, 0), N(0, –1, 3)
7		M(–1, 2, 1), N(0, 1, –1)
8		M(0, 1, –2), N(1, –2, –1)
9		M(0, –1, 4), N(1, 0, 3)
10		M(2, –2, 1), N(3, 0, –1)