- •Оглавление
- •Введение
- •Задания на контрольную работу по теме «Интегральное исчисление функции нескольких переменных. Векторный анализ. Элементы теории векторного поля»
- •Содержание теоретического материала и ссылки на литературу
- •Справочный материал к выполнению контрольной работы
- •1. Двойной интеграл
- •1.1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
- •1.2. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •1.3. Некоторые приложения двойных интегралов
- •2. Тройной интеграл
- •2.1. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •2.2. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
- •2.3. Некоторые приложения тройных интегралов
- •3. Криволинейный интеграл II рода (по координатам)
- •4. Векторная функция скалярного аргумента
- •5. Векторное поле
- •5.1. Поток векторного поля через поверхность
- •5.2. Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция
- •6. Потенциальные и соленоидальные векторные поля
- •6.1. Ротор векторного поля
- •6.2. Потенциальное векторное поле и его потенциал
- •6.3. Соленоидальное векторное поле
- •Решение примерного варианта контрольной работы
- •Рекомендуемая литература
1.2. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
Пусть область Dзадается в полярных координатах системой неравенствТакая область (рис. 3) являетсяправильной в полярной системе координат(каждый луч, выходящий из полюса, пересекает границу области не более, чем в 2-xточках, за исключением участков границы, совпадающих с некоторым полярным лучом).
Преобразование двойного интеграла по областиDк полярным координатам осуществляется при помощи формул
:
.
Полученный двойной интеграл в полярных координатах может быть сведен к повторному интегралу при помощи неравенств, задающих область D. В результате получаем формулу перехода от двойного интеграла к повторному интегралу в полярных координатах:
.
1.3. Некоторые приложения двойных интегралов
Если подынтегральная функция f (x, y) 1, то двойной интеграл от функции f (x, y) по области D равен площади области интегрирования:
.
Если область D занята тонкой пластинкой и – поверхностная плотность распределения неоднородного материала (т.е. масса единицы площади), то при помощи двойного интеграла можно вычислитьмассу пластинки, ее статические моменты относительно осей координат и другие величины.
Масса пластинки: m = .
Статический момент относительно оси Ox:
. (1)
Статический момент относительно оси Oy: My = .
Все перечисленные интегралы можно вычислить в декартовых либо в полярных координатах, переходя к соответствующему повторному интегралу.
2. Тройной интеграл
2.1. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
Пусть функция 3-х переменных u = f (x, y, z) задана и непрерывна в замкнутой областиVxOyz. Тройной интеграл от этой функции по областиV имеет вид:, где .
Если областьV– правильная в направлении осиOz, то ее можно задать системой неравенств:
где z = z1 (x, y) иz = z2 (x, y) – это уравнения поверхностей, ограничивающих область (тело)V соответственно снизу и сверху (рис. 4).
Если область Dможно задать системой неравенствто
В этом случае тройной интеграл от функции u = f (x, y, z) по области V можно вычислить при помощи трехкратного повторного интеграла:
.
Здесь каждый внутренний интеграл вычисляется по «своей» переменной интегрирования в предположении, что переменные интегрирования внешних интегралов остаются постоянными.
Существует всего 6 вариантов сведения тройного интеграла к трехкратному в декартовых координатах (в зависимости от выбранного порядка интегрирования).
2.2. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
Цилиндрические координаты точки М в пространстве– это ее полярные координаты на плоскостиxOyи координатаz, т.е..
Преобразование тройного интеграла по области V к цилиндрическим координатам осуществляется при помощи формул,,:
Если область Vзадана системой неравенств:причемтоV:
Вычисление тройного интеграла по области V в цилиндрических координатах сводится к вычислению трехкратного интеграла в соответствии с записанной системой неравенств для областиV:
.
2.3. Некоторые приложения тройных интегралов
Если подынтегральная функция f (x, y, z) 1, то тройной интеграл от нее по области V равен мере области интегрирования – объему пространственного тела, занимающего область V: .
Если – это плотность неоднородного материала (т.е. масса единицы объема), из которого изготовлено тело, то при помощи тройного интеграла можно вычислитьмассу тела, его статические моменты относительно координатных плоскостей и другие величины. Например, формула для вычисления массы тела имеет вид:
. (2)