6. Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению

Говорят, что в области задано скалярное поле, если в каждой точке M(x, y)  D задана скалярная функция координат точки:

U(M) = U(x, y).

Пример:скалярное поле температурT(x, y)в областиD.

Линии уровня скалярного поля– это такие линии, на каждой из которых функцияU(x,y)сохраняет постоянное значение.

Уравнения линий уровня скалярного поля:U(x, y) = const.

Геометрически линии уровня получаются, если поверхность z= U(x, y) пересекать горизонтальными плоскостями z=С и проектировать линии пересечения на плоскость XOY.

Градиентом скалярного поля U(x, y) в фиксированной точке называется вектор, проекции которого на оси координат совпадают с частными производными функции, вычисленными в точке М₀:

, (7)

где векторы – это орты координатных осей.

Вектор градиента направлен перпендикулярно касательной к линии уровня, проходящей через точкуМ₀. Направление градиента указывает направление наибольшего роста функции U(x, y) в точке М₀ .

Отложим от фиксированной точки M₀(x₀, y₀) некоторый вектор .

Скорость изменения скалярного поля U(x, y) в точке М₀ в направлении вектора характеризует величина, называемаяпроизводной по направлению.

Если в прямоугольной системе координат XОY вектор имеет направляющие косинусы cos и cos, то производная по направлению вектора в точкеМ₀ – число – можно найти по формуле:

, (8)

Напомним формулы для вычисления направляющих косинусов вектора :, где модуль вектора:.

Аналогично определяют скалярное поле U(M) в трехмерной области V:

U(M) = U(x, y, z) . Поверхности уровня скалярного поля– это такие поверхности, на каждой из которых функцияU(x, y, z)сохраняет постоянное значение.Уравнения поверхностей уровня скалярного поля:U(x, y, z) = const.

Градиент скалярного поля U(x, y, z) в произвольной точке M(x, y, z):

, (9)

где векторы – это орты координатных осей.

Вектор направлен параллельно нормали к поверхности уровняU(x, y, z) = const в точке М.

7. Функции комплексной переменной

7.1. Определение и свойства функции комплексной переменной.

Пусть даны две плоскости комплексных чисел и на первой – множество D комплексных чисел , гдеi – мнимая единица (), на второй – множествоG комплексных чисел .

Если каждому числу по некоторому правилуf поставлено в соответствие определенное число , то говорят, что на множествеD задана однозначная функция комплексной переменной (ФКП), отображающая множество D в множество G. Обозначается: .

Множество D называется областью определения ФКП.

Функцию можно представить в виде

,

где u(x, y) – действительная часть ФКП, v(x, y) – мнимая часть ФКП, обе они – действительные функции от x, y.

Пример 1. . Здесь– число, сопряженное числу.

Выделим действительную и мнимую части ФКП:

Вычислим значение функции w в точке z₁ = 2 – 3i:

.

Тот же результат получаем непосредственной подстановкой:

.

Говорят, что ФКП имеет предел в точке z₀, равный числу A = a + ib, если . Обозначается:.

Существование предела ФКП прив означает существование двух пределов:.

ФКП называетсянепрерывной в точке z₀, если выполняется условие: .

Непрерывность ФКП в точкеz₀ = x₀ + iy₀ эквивалентна непрерывности функций u(x, y) и v(x, y) в точке (x₀,y₀).