- •А л г е б р а
- •Глава 1. Системы линейных уравнений и арифметическое векторное пространство. §1. Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса.
- •§2. Арифметическоеn-мерное векторное пространство. Линейная зависимость и независимость. Базис и ранг системы векторов.
- •§3. Однородная система линейных уравнений. Фундаментальный набор решений.
- •Глава 2. Матрицы и определители. §4. Алгебра матриц.
- •§5. Определитель квадратной матрицы.
- •Глава 3. Комплексные числа. §6. Поле комплексных чисел.
- •§7. Уравнения третьей степени.
- •§8. Уравнения четвёртой степени.
- •Литература.
- •На молдавском языке.
§8. Уравнения четвёртой степени.
Уравнение четвёртой степени x4+ax3+bx2+cx+d=0 (1) можно решить методом Феррари. Левая часть уравнения (1) раскладывается на два множителя второй степени, которые последовательно приравниваются к нулю. Для нахождения такого разложения левую часть представляют как разность квадратов.
Рассмотрим один из вариантов разложения левой части (4) на множители. Перенесём три последних члена уравнения (1) в правую часть. Тогда уравнение (1) перепишем в виде x4+ax3=– bx2–cx–d + a2x2/4 и прибавим к обеим частям уравненияa2x2/4,для того, чтоб получить в правой части полный квадрат:. Прибавим к обеим частям полученного уравнения выражение, зависящее от параметраy, чтобы получить в обеих частях уравнения полные квадраты:. (2)
Правая часть уравнения будет полным квадратом, если, рассматривая её как уравнение второй степени , она будет иметь два совпадающих корня, т. е. когда дискриминант этого уравнения равен нулю:D=b2–4ac=0. (*) Чтоб найтиyнужно решить уравнение третей степени (*). При этом достаточно найти хоть один кореньy0. Подставим его в уравнение (2), которое преобразуется в. Откудаили
Левая часть (3) представляет разложение левой части (1) на множители. Из (3) имеем . (3) Решая квадратные уравнения (3), найдём все четыре корня исходного уравнения (1). Итак, решение уравнения четвёртой степени сводится к решению одного уравнения третей степени и двух уравнений второй степени.
Пример 1. Решить уравнение:x4+2x3+5x2+6x+9=0
Решение. Переносим в правую часть уравнения все члены, степень которых не превышает двух:x4+2x3=–5x2–6x–9. Если к обеим частям последнего уравнения прибавитьa2 x2/4= x2, то в левой части получится полный квадрат: (x2+x)2=–4x2–6x–9. Теперь к обеим частям получившегося уравнения прибавляем (x2+x)y+1/4y2. От этого левая часть не перестанет быть полным квадратом и примет вид: (x2+x+1/2y)2= (y–4)x2+(y–6)x+(1/4y2–9) (*) Возьмём теперьyтаким, чтобы и правая часть уравнения (*) стала полным квадратом. Для этого потребуем, чтобыD=b2–4ac=0(y–6)2–4(y–4) (1/4y2–9)=0(y–6)2– (y–4) (y2–36)=0.
Замечаем, что одним из корней являетсяy0=6. Подставим его в (*). Получим (x2+x+3)2= 2x2. Это уравнение распадается на два квадратных уравнения:x2+(1+)x+3 =0x2+(1–)x+3 =0. Решая квадратные уравнения, получаем все четыре корня данного уравнения четвёртой степени:x1,2=,x3,4=
Ответ: x1,2=,x3,4=
Пример 2. Решить уравнение:x4–2x3–6x2–26x–15=0
Решение.x4–2x3=6x2+26x+15+ x2 (x2–x)2=7x2+26x+15+(x2–x)y+y2/4(x2–x+y/2)2=(7+y)x2+(26–y)x+(15+y2/4) (*) Возьмём теперьyтаким, чтобы и правая часть уравнения (*) стала полным квадратом. Для этого потребуем, чтобыD=b2–4ac=0(26–y)2–4(7+y)(15+y2/4)=0y3+6y2+112y–256=0.
Замечаем, что одним из корней являетсяy0=2. Подставим его в (*). Получим (x2– x+1)2=9x2+24x+16(x2– x+1)2=(3x+4)2 Это уравнение распадается на два квадратных уравнения:x2–4x–3=0,x2+2x+5=0. Решая квадратные уравнения, получаем все четыре корня данного уравнения четвёртой степени:x1,2=,x3,4=–12i.
Ответ:x1,2=,x3,4=–12i.
Пример 3. Решить уравнение:x4–2x3+2x2+4x–8=0
Решение.x4–2x3+2x2+4x–8=0x4–2x3=–2 x2–4x+8+ x2(x2–x)2=–x2–4x+8+(x2–x)y+y2/4(x2–x+y/2)2=( y–1)x2+(–4–y)x+(8+y2/4) (*) Возьмём теперьyтаким, чтобы и правая часть уравнения (*) стала полным квадратом. Для этого потребуем, чтобыD=b2–4ac=0(–4–y)2–4(y–1)(8+y2/4)=0y3–2y2+24y–48=0.
Замечаем, что одним из корней являетсяy0=2. Подставим его в (*). Получим (x2– x+1)2=x2–6x+9(x2– x+1)2=(x–3)2. Это уравнение распадается на два квадратных уравнения:
x2–2x+4=0,x2–2 =0. Решая квадратные уравнения, получаем все четыре корня данного уравнения четвёртой степени:x1,2=,x3,4=.
Ответ:x1,2=,x3,4=.
Для самостоятельного решения
Решить уравнения:
x4+3x3+4x2+x–3=0
x4+3x3+2x2+x–1=0
x4+x3–4x2–x+1=0
x4–6x3+15x2–18x+10=0
Ответы:
.