- •А л г е б р а
- •Глава 1. Системы линейных уравнений и арифметическое векторное пространство. §1. Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса.
- •§2. Арифметическоеn-мерное векторное пространство. Линейная зависимость и независимость. Базис и ранг системы векторов.
- •§3. Однородная система линейных уравнений. Фундаментальный набор решений.
- •Глава 2. Матрицы и определители. §4. Алгебра матриц.
- •§5. Определитель квадратной матрицы.
- •Глава 3. Комплексные числа. §6. Поле комплексных чисел.
- •§7. Уравнения третьей степени.
- •§8. Уравнения четвёртой степени.
- •Литература.
- •На молдавском языке.
Глава 2. Матрицы и определители. §4. Алгебра матриц.
Операции над матрицами. Обратная матрица. Матричное уравнение АХ=В. Система линейных уравнений как матричное уравнение.
Операции сложения, умножения транспонирования матриц, умножение матрицы на число. Матричное уравнение. Единичная матрица, обратная матрица. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Теоремы о ранге произведения матриц.
Пусть Р– некоторое поле (поле скаляров). Матрицы, составленные из элементов этого поля, будемназывать матрицами порядка mn, гдеmиnнатуральные числа указывающие число строк и столбцов соответственно. Обозначать матрицу будем так:
A==
Если m=nто матрицуАназываютквадратной матрицейпорядкаn. Обозначимi-ю строку матрицыАчерезА:
A=,
а j-й столбец матрицы А – через Аj
Aj=
Две матрицы порядка =иназываютравнымии пишут, если=для любых наборовi,jгде=1..n,j=1..m.
Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю.
Суммой двух матриц A и Bпорядкаmnназывается матрицаCпорядкаmn, элементкоторый равен, т.e.
==
Произведением матрицы A=порядкана число (скаляр)называется матрицаDпорядка, элементкоторый равен, т.e.
Нетрудно увидеть, что операции сложения матриц, умножения матрицы на скаляр обобщают аналогичные операции над арифметическими векторами (которые являются матрицами порядка ) и обладают свойствами 1–8 (см §).
Рассмотрим матрицу порядкаи матрицупорядка. Произведение строкина столбецопределим следующим образом:
Произведением матриц и B называется матрицапорядка, такая, что,или
Согласно определению произведения матриц иу матрицычисло строк совпадает с числом столбцов матрицы, а число столбцов – с числом столбцов матрицы, т.e. если– матрица порядка, аB – матрица порядка, то– матрица порядка. При этом
Непосредственный анализ определения операции умножения матриц показывает, что каждый столбец произведения матриц АиВлинейно выражается через систему столбцов матрицы, а каждая строка этого произведения линейно выражается через систему срок матрицы. Или более подробно:-ый столбец матрицыесть линейная комбинация всех столбцов матрицы, коэффициенты этой комбинации – элементы-го столбца матрицы,-ая строка матрицыABесть линейная комбинация всех строк матрицы, а коэффициенты этой линейной комбинации – элементы-ой строки матрицы. Эти утверждения лежат в основе доказательствапервой теоремы о ранге произведения матриц:ранг произведения матриц не превосходит ранга каждого из сомножителей :
Умножение матриц не коммутативно, например: ==
==
Если же , то матрицыназываютперестановочными.
Умножение матриц ассоциативно: если существуют произведенияиматриц, то существуют также и произведенияи, и они равны:
.
Отметим также, что если произведениеABсуществует. Умножение матриц связано со сложением двумядистрибутивными законами: если существуют матрицыA+BиACто существуют также,и(правый дистрибутивный закон);если существуютито существуют ии(левый дистрибутивный закон).
Транспонированием матрицы называют замену ее строк столбцами с сохранением порядка их записи, т.e. если– матрица порядкато транспонированная матрица– порядка. Очевидно, что еслиисуществуют, то существуют такжеи, и
Рассмотрим систему линейных уравнений снеизвестными:
(1)
Обозначив через основную матрицу этой системы, через– одностолбцовую матрицу, составленную из неизвестных этой системы, а через– одностолбцовую матрицу из ее свободных членов, запишем систему (1) в матричном виде: . Система линейных уравнений в матричной записи представляет собой частный случай матричных уравненийвида
(2)
Уравнение вида ya=bсводятся к этому же типу матричных уравнений, поскольку(YA)T=BTи в результатеATYT=BT.
Согласно определению умножения матриц, не имеет решений, если матрицыимеют различное число строк. Поэтому имеет смысл рассматривать уравнение вида (2), в которых число строк у матрициодно и то же.
В равенстве первый столбец матрицыявляется произведением матрицына первый столбец матрицы, второй столбец – произведением матрицыАна второй столбец матрицыи т.д. Еслистолбцовая матрица, то матричное уравнениераспадается на системуматричных уравнений:Каждое из этих матричных уравнений является системой линейных уравнений, причем все они имеют матрицусвоей основной матрицей, и их решениями будут столбцы неизвестной матрицы. Обычно, все эти линейные системы решаются одновременно, в виде пакета. Приведенные рассуждения позволяют, применив критерий Кроникера-Капелли, установить критерий разрешимости матричных уравнений: матичное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда ранг матрицыравен рангу матрицы (АВ), т. e. матрицы полученной из матрицы присоединением к ней матрицы.
Квадратную матрицу, ранг которой равен ее порядку, называют невырожденной. Если ранг квадратной матрицы меньше ее порядка, матрицу называютвырожденной.
Заметим, что если в матричном уравнении матрицаневырожденная, то это уравнение имеет единственное решение, так как каждая из систем линейных уравнений, на которые оно распадается, будет совместной и определенной.
Квадратную – матрицу вида:называют единичнойи обозначаютлибо, если размеры известны или подразумеваются. Очевидно, что если– квадратнаяматрица, то.
Если , то матрицуназываютправой обратной для матрицыа матрицуA–левой обратнойдля матрицыC.
Видно, что матрица Cявляется решением матричного уравнения, причем, еслиA – невырожденная матрица, это решение единственное. Следовательно,всякая невырожденная матрица имеет единственную правую обратную матрицу. Обозначим правую обратную матрицу для матрицыAчерез.
Ранг матрицы равен ее порядку, а если произведение матриц – матрица невырожденная, то согласно первой теореме о ранге произведения матриц, невырожденным будет и каждый сомножитель. Поэтому, еслито– тоже невырожденная и имеет для себя правую обратную. Пусть это будет матрицаD, т.e.. Тогда с одной стороныс другой –откуда вследствии ассоциативности умножения матрицит.e. правая обратная матрицабудет и ее левой обратной. Итак,всякая невырожденная матрица имеет единственную обратную двустороннюю матрицу,которую обозначают:
.
Одним из способов нахождения матрицы, обратной для матрицы , является решение матричного уравнения.
Согласно первой теореме о ранге произведения матриц, . Если матрицаАневырожденная, то матрицуВможно записать в виде В=А–1(АВ), и тогда (по той же теореме). Тем самым доказанавторая теорема о ранге произведения матриц:если матрицаA невырожденная, то
Задача 1. Вычислитьгде
Решение. Так как в данное выражение вместо переменных подставляются матрицы, можно считать, что число 4 умножено на единичную матрицу, т. е. 4 надо понимать как 4Е:
.
Ответ: .
Задача 2. ВычислитьAB, где
A=,B=.
Решение. Число столбцов матрицыАравно числу строк матрицыB, значит произведениеАВсуществует (ноВАв этом случае не существует).
По определению произведения матриц для вычисления элемента cijматрицыС=АВ( т. е. элемента в i-й строке и j-м столбце), следует i-ю строку матрицыАумножить на j-й столбец матрицыВ(). Например,
=. Запишем:C=.
Ответ: C=.
Задача 3. ВычислитьАВиВА, если они существуют: a)A=,B=б)А=,B=в) А=,В=
Решение. а)А(–1=. б)=.==. в),не существует.
Ответ: a) ,;б) ,;в) ,не существует.
Задача 4. Вычислить f(A), если f(x)=x2–2x+1,
A=
Решение. f(A)== == =
Ответ: f(A)=.
Задача 5. Решить матричное уравнение видаАХ=В.
а) б)
в)г)
Решение. МатрицаХдолжна иметь столько строк, сколько столбцов у матрицыА, и столько столбцов, сколько столбцов у матрицыВ. Для существования решения уравненияАХ=Внеобходимо, чтобы матрицыАиВимели одинаковое число строк. Поэтому в случае г) уравнение решения не имеет.
а) Матрица А – размера, матрицаВ – размера. Поэтому матрицаХразмера –,
Х=ТогдаАХ=Вможно записать так:;;и.откудаи. ИтакX=.
Проверка: ==.
2 способ.Матричное равенствоАС=Вне измениться при одинаковых элементарных преобразованиях систем строк матрицАиВ. Поэтому, при одинаковых элементарных преобразованиях систем строк матрицАиВуравнениеАХ=Впереходит в равносильное. Поменяем местами первую и вторую строки, затем первую строку умножим на (1/3), а вторую на (1/2), третью на (–1). Получим уравнение равносильное исходному:илиХ=, т.к.Е=,ЕХ=Х.
б) Матрица А – размера 33, матрицаВ – размера 32 . Поэтому искомая матрицаХ – размера 32. Тогда исходное уравнение можно записать в виде:
A=B.
Это уравнение равносильно системе двух уравнений:
A,A. Каждое из этих уравнений является системой линейных уравнений с тремя неизвестными, причем у обеих систем одна и та основная матрицаА. Поэтому их можно решать одновременно, написав столбцы свободных членов рядом.
Итак, матричное уравнение АХ=В есть пакет систем линейных уравнений с общей основной матрицейА:, т.е.Х=.
Фактически метод решения тот же , что и в пункте а), но элементарных преобразований больше, т.е. одними и теми же элементарными преобразованиями строк матриц АиВуравнениеАХ=Вбыло преобразовано в равносильное:.
Проверка: == =.
в) Решаем пакет двух систем линейных уравнений: . Замечаем, что обе системы, входящие в пакет, имеют бесконечно много решений при одном свободном неизвестном. Запишем их в виде:
и . Значит
и . Поэтому
Х=, где– любые числа.
Проверка: = =
Ответ:a)X=б)Х=
в) Х=где– любые числа; г) решений нет.
Задача 6.Решить матричное уравнение вида:XA=B, если:
a) A=B=
б) A=B=
в) A=B=
г) A=B=
Решение.Для существования решения необходимо равенство числа столбцов матрицА иВ. Поэтому в случае в) решения нет. На размеры матрицыХвлияет число строк матрицАиВ: число строк матрицыХ равно числу строк матрицыВ, число столбцов равно числу строк матрицыА.
а) Матрица Вразмера 23, матрица А размера 33. Поэтому матрица Х размера 23, т.е.
Х=. Тогда уравнениеХА=Взапишется в виде:
=или. Откудаи. Поэтомуи. Тогда
X=.
Проверка: .
2 способ.Воспользуемся равенствомТогда уравнениеХА=В перейдет в уравнениекоторое можно решить как пакет систем линейных уравнений, а затем решение транспонировать.
Решаем пакет двух систем уравнений: Тогдаили.
б),. Решаем пакет систем уравнений:. Тогдаили.
Проверка:XA=г)AT=,B=. Решаем пакет двух систем уравнений:
Откудаи. Системы являются совместными неопределёнными и имеют решения:и, где,R. Тогда.Поэтому
Проверка:
Ответ:а)Х=б)Х=
в) решения нет;
г) Х=где– любые числа,
Задача 7Вычислить матрицы обратные данным:a) в)
Решение.
а) Решим матричное уравнение АХ=Е, как пакет систем линейных уравнений:В любой из трех систем пакета третье уравнение противоречиво, т.e. матрицаАне имеет обратной, а, значит, вырождена.
в) Решаем уравнение ВХ=Е, как пакет систем линейных уравнений:
Тогда
X=
Проверка.
Значит, В–1=Х.
Замечание. Если для матрицысуществует обратная (матрицаневырождена), то для нахождениясоставляется комбинированная матрицакоторая при помощи элементарных преобразований строк приводится к видугде справа от черты искомая матрица (способ элементарных преобразований строк).
Ответ: а) для матрицы– обратной нет;
б)
Для самостоятельного решения.
1. Перемножить матрицы. Определить, существуют ли оба произведения и: а); б) в) г) д) е) и) к) 2. Вычислитьесли:
3. Найти значение многочлена от матриц: a)б)4. Найти матрицы, обратные данным: a)б)в)5. Решите матричное уравнение: а)Х=б)Х=в)Хг)Хд)ХУказание. В уравнении, обозначьте