Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Extras / Algebra_chast1_Metodicheskoe_posobie.doc
Скачиваний:
50
Добавлен:
21.03.2015
Размер:
1.73 Mб
Скачать

§7. Уравнения третьей степени.

Уравнение третьей степени x3+ax2+bx+c=0 (1) подстановкойx=yприводится кприведенному кубическому уравнению y3+py+q=0. (2) Корни такого уравнения можно найти по формулам Кардано:y=u+v=, (3) гдеu=,v=и они связаны соотношениемuv=. (4) С учётом (4) формулу Кардано (3) можно использовать и в таком виде:y=u, гдеu=. (5) Здесь можно брать любое (одно из двух) значение квадратного корня; три значе­ния кубического корня дают три корня приведенного уравнения (2). Заметим, чтоu0, еслиp0; еслиp=0, то никакая специальная формула не нужна (имеемдву­членное уравнение).

Чтобы не запоминать формулу, можно пользоваться методом решения, по сути повторяющим вывод формул Кардано. Чтобы найти корни уравнения (2) (считаем р0), пологаяy=u+v, подставляем его в уравнение: (u+v)3+p(u+v)+q=0. Раскрыв скобки, и перегруппировав члены, получим: (u3+v3+q)+( 3uv+p)(u+v)=0. Для уничтожения второго слагаемого подберёмu, vтак, чтобы 3uv+p=0 илиuv=. Тогда уравнение (2) приводится к системе уравнений:Замечаем, чтоu3,v3– корни квадратного уравненияz2+qz=0.

Затем, выбираем один (любой) корень z1этого квадратного уравнения. Бе­рём в качествеu1одно (любое) значение кубического корня изz1и вычисляем корни кубического уравнения (1) по следующей схеме: u1, v1=,y1=u1+v1,x1=y1;u2= u11, v2= v12,y2=u2+v2,x2=y2;u3= u12, v3= v11,y3=u3+v3,x3=y3; где1,2= невещественные кубические корни из единицы. Заметим, что2=(1)2=и1=(2)2=, это позволяет варьировать нахождениеu2, v2, u3, v3.

При исследовании уравнений третьей степени используют теорему:

Теорема. Пустьx3+px+q=0 неполное кубическое уравнение с действи­тельными коэффициентами. Обозначим ∆=.

  1. Если ∆>0, то уравнение имеет один действительный и два мнимых со­пряжённых корня.

  2. Если ∆=0, то корни уравнения действительны и хотя бы один из них кратный.

  3. Если ∆<0, то все корни действительны и различны.

Если не все коэффициенты уравнения (2) действительны, то для упроще­ния вычислений можно вычислить ∆. Если ∆=0 (p0,q0), тогда уравнение (2) имеет два равных корняy2=y3, и в этом случае корни уравнения (2) можно найти, не прибегая к извлечению корней второй и третьей степени, а именноy1=; y2=y3=. (6) Если же ∆0, то уравнение (2) имеет три различных корня, для нахождения кото­рых, используют один из вышеописанных способов.

Пример 1. Решить уравнение:

x3–6x+9=0.

Решение.Уравнение приведенное (отсутствует член сx2). Используем модифицированную формулу Кардано (5): ∆===>0.(берём только одно значение квадратного корня). Тогдаu=. Одно из значенийестьu1=–1, ещё два значения получим, умножаяu1на1,2 – кубические корни из единицы. Итак, u1=–1 , x1= u1=1–=–3; u2= u11=–1, x2= u2=1+=–1–2/1= =–1–22=. Так как коэффициенты данного уравнения действительны и ∆>0, тоx3=(x3не нужно вычислять по формуле).

Ответ:x1=–3, x2,3=.

Пример 2. Решить уравнение:x3+9x2+18x+28=0.

Решение. Сделаем подстановкуx=y=y–3. Получим уравнениеy3–9y+28=0. Полагаемy=u+v: (u+v)3–9(u+v)+28=0, (u3+v3+28)+(3uv–9)(u+v)=0. Откуда, или, гдеu3,v3– корни квадратного урав­ненияz2+28z+27=0.

Один из корней последнего уравнения z1=–1, тогдаu1=–1, v1==–3,y1=–4,x1=–7;u2= u11=,v2= v12=,y2=,x2=; Поскольку коэффициенты уравнения действительны и ∆>0, тоx3=.

Ответ: x1=–7, x2,3=.

Пример 3. Решить уравнение:x3+3x–2i=0.

Решение. Данное уравнение приведенное, и не все его коэффициенты дей­ствительны, поэтому вычислим ∆. ∆===–1+1=0 Таким образом корни уравнения можно вычислить по формулам (6).x1==; x2=x3==.

Ответ: x1=–2i, x2,3=i.

Пример 4. Решить уравнение:x3–3abx+ a3+b3=0

Решение. Пологаяx=u+v, получим (u+v)3–3ab(u+v)+ a3+b3=0 или (u3+v3+ a3+b3)+(3uv–3ab)(u+v)=0. ОткудаОдно из решений последней системы

Тогда u1=–a, v1=–b, x1=a–b; u2= u11=, v2= v12=, x2=.

Ответ: x1=a–b, x2,3=.

Замечание: При выписывании ответа воспользовались тем, что при веще­ственныхa,bне надо вычислять x3. Но если выписанное значениеx3есть корень уравнения при (любых) вещественныхa иb, то ясно, чтоx3 будет корнем при лю­быхa,b.

Для самостоятельного решения.

Решить уравнения:

  1. x3+6x2–12x+32=0

  2. x3+9x2–18x+44=0

  3. x3–3x2–6x+36=0

  4. x3–12x2+24x–40=0

  5. x3–6ix+4(1–i)=0

  6. x3+(3–3i)x–9=0

  7. x3+3ax+1–a3=0

Ответы:

  1. (–8; )

  2. (–11; )

  3. (–3; )

  4. (10; )

  5. (2+2i; –1–i; –1–i)

  6. (i;

  7. (a–1;

Соседние файлы в папке Extras