- •А л г е б р а
- •Глава 1. Системы линейных уравнений и арифметическое векторное пространство. §1. Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса.
- •§2. Арифметическоеn-мерное векторное пространство. Линейная зависимость и независимость. Базис и ранг системы векторов.
- •§3. Однородная система линейных уравнений. Фундаментальный набор решений.
- •Глава 2. Матрицы и определители. §4. Алгебра матриц.
- •§5. Определитель квадратной матрицы.
- •Глава 3. Комплексные числа. §6. Поле комплексных чисел.
- •§7. Уравнения третьей степени.
- •§8. Уравнения четвёртой степени.
- •Литература.
- •На молдавском языке.
§5. Определитель квадратной матрицы.
Определитель второго и третьего порядков. Правило Саррюса. Свойства определителя. Миноры и алгебраические дополнения. Правило Крамера.
Пусть А– квадратная матрицаn-го порядка над полемP:
Определителем матрицы Аn-го порядка называется алгебраическая суммаn! слагаемых, каждое из которых представляет собой произведениеnэлементов матрицы, взятых точно по одному из каждой строки и каждого столбца, со знаком «+», если перестановка от номеров столбцов чётная, и со знаком «–», если она нечётная. При этом в каждом произведении первый множитель – элемент первой строки, второй множитель – второй строки и.т.д.
Обозначают определитель матрицы Ачерез |А|,detA, ∆А ,т.е.
|А|=detA=∆А=
Итак,
|А|=, где(J) – число инверсий в перестановке (j1,j2,...,jn) номеров столбцов матрицыА: {1,2,3,...,n}. Символ J под знаком суммы указывает, что суммирование ведётся по всевозможным перестановкам множества {1,2,3,...,n} – номеров столбцов матрицыА.
Порядок матрицы называют и порядком её определителя. Данное выше определение позволяет получить формулы для вычисления определителей первого, второго, третьего порядков: |A|==a11 .|A|==a11a22–a12a21. |A|===a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32–a13a22a31–a12a21a33–a11a23a32
Для вычисления определителя третьего порядка обычно используют правило Саррюса:все слагаемые определителя и их знаки находятся по следующей схеме
Определитель (n–1)-го порядка, полученный из определителя ∆Авычёркиванием i-той строки и j-го столбца, называетсяминором элемента aijи обозначается Мij.Алгебраическим дополнением Aijэлементаaij называется минор Мijумноженный на (–1)i+j
Aij= (–1)i+j Мij.
Для вычисления определителей более высоких порядков используют следующие свойства определителей:
Определители квадратной матрицы Аи транспонированной матрицыАTравны.
А===АT
Определитель содержащий нулевую строку (нулевой столбец) равен нулю.
Перестановка двух строк (столбцов) определителя меняет его знак на противоположный.
Определитель, содержащий две одинаковые строки (два одинаковых столбца), равен нулю.
Общий множитель элементов любой строки (любого столбца) определителя можно выносить за знак определителя.
Если каждый элемент некоторой строки (некоторого столбца) представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, в каждом из которых все элементы те же, что и в исходном определителе, за исключением элементов указанной строки (указанного столбца). В первом определителе указанная строка (указанный столбец) состоит из первых слагаемых, во втором из вторых.
Например, =
Определитель не изменится если к элементам некоторой строки (некоторого столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (другого столбца), умноженной (умноженного) на некоторое число.
Определитель можно разложить по строке либо столбцу по формулам:
А= ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin(разложение по i-той строке), (1)
А=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj(разложение по j-тому столбцу), (2)
т.е. определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Сумма произведений элементов какой-либо строки (какого-либо столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (другого столбца) равна нулю.
ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0
Определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда вектора-строки (вектора-столбцы) матрицы линейно зависимы.
Между рангом произвольной матрицы любого порядка и её минорами существует связь: ранг ненулевой матрицы равен наибольшему из порядков ненулевых миноров.
Алгебраические дополнения используется для вычисления обратных матриц.
Теорема. Для квадратной матрицыАсуществует обратная матрица тогда и только тогда, когда определитель ∆ матрицыАотличен от нуля. Тогда обратная матрица вычисляется по формуле:
A–1=(здесь алгебраические дополнения строк матрицыА записываются в столбец).
Матрица А*=называетсяприсоединённойдля матрицыА.
Рассмотрим систему АХ=В(X, В– вектора-столбцы) n линейных уравнений с n неизвестными(3)
Теорема. Система (3) n линейных уравнений с n неизвестными является совместной определённой тогда и только тогда, когда определитель её основной матрицы ∆ отличен от нуля. В этом случае решения системы можно найти поформулам Крамера:где определитель ∆iполучается из определителя ∆ заменой i-го столбца на столбец свободных членов.
В качестве следствия получаем, что необходимым и достаточным условием наличия у однородной системы n линейных уравнений с n неизвестными ненулевых решений является равенство нулю определителя.
Решить систему (3) (если она совместна определена) можно с помощью обратной матрицы по формуле X=A–1B.
Образцы решения задач.
Задача 1. Вычислить определитель
=∆
Решение. 1 способ. Получаем нули в первой строке определителя ∆, т.е. аннулируем все элементы первой строки, кроме первого, прибавляя ко второму, третьему, четвёртому и пятому столбцам первый, умноженный на (–2), (–3), (–4), (–5) соответственно: ∆=По свойству 7 определитель не изменится. Разложим его по первой строке ∆=1.(–1)1+1. Аналогично преобразуем четвёртую строку ∆=. Определитель равен нулю, т.к. вторая и четвёртая строки пропорциональны.
2 способ. Заметим, что элементы соседних столбцов определителя отличаются друг от друга на единицу. Для общего уменьшения элементов определителя, вычтем из пятого столбца четвёртый, затем из четвёртого третий и т.д. ∆=Определитель равен нулю, т.к. четвёртый и третий столбцы равны.
Ответ: ∆=0.
Задача 2. Вычислить определитель ∆=.
Решение. Получаем нули в первой строке и раскладываем по ней определитель ∆==1.(–1)1+1. Ко второму столбцу полученного определителя прибавляем первый: ∆=Разложим определитель по первой строке: ∆=–2.(–1)1+1=–2(8–10)=4.
Ответ:∆=4.
Задача 3. Найти определитель разложением по столбцу: ∆=
Решение. Разложим определитель по элементам первого столбца: ∆=1.(–1)1+1+4.(–1)2+1+7.(–1)3+1=(45–48)–4(18–24)+7(12–15)=0
Ответ:∆=0.
Задача 4. Вычислить матрицы, обратные данным, с помощью определителей: а)А=б)В=.
Решение. а) Найдём определитель матрицыА∆=А==23–14=6–4=20. Определитель матрицыАотличен от нуля, поэтому матрицаАневырожденная и для неё существует обратная матрица А–1, которую мы вычислим по формуле:
А–1=
Найдём алгебраические дополнения матрицы А: А11=(–1)1+1.3=3; А21=(–1)2+1.1=–1; А12=(–1)1+2.4=–4; А22=(–1)2+2.2=2. ТогдаА–1=Сделаем проверку:АА–1== ===Е.
Замечание. Из сказанного выше, получаем формулу для обращения невырожденной матрицы второго порядка:
=Для определителя третьего порядка приведенные вычисления усложняются и имеют только теоретическое применение.
б) Вычислим определитель матрицы В: ∆=В===1(–1)2+1=–(0–1)=10 МатрицаВневырожденная, поэтому для неё существует обратная В–1, которую вычислим по формуле:В–1=. Найдём алгебраические дополнения элементов матрицы В:
А11=(–1)1+1=–1; А21=(–1)2+1=1; А31=(–1)3+1=0;
А12=(–1)1+2=–2; А22=(–1)2+2=1; А32=(–1)3+2=1;
А13=(–1)1+3=5; А23=(–1)2+3=–3; А33=(–1)3+3=–1. ТогдаВ–1=.
Проверка: BВ–1==
Ответ: а)А–1=б)В–1=.
Задача 5. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Решение. Находим определитель основной матрицы системы ∆===(–1)(–1)1+3=–= =(–1)(–1)2+3=0(–1)–(–1)2=20 Определитель ∆0, поэтому система совместна определена и её единственное решение можно найти по формулам Крамера:Вычислим четыре вспомогательных определителя, заменяя столбцом свободных членов поочерёдно столбцы основного определителя: ∆1===(–1)(–1)1+3= =–=(–1)(–1)2+3=–2+4=2; ∆2===(–1)(–1)1+3= =–=(–1)(–1)2+3=2; ∆3===1(–1)1+4= =–(–1)(–1)3+1=4–6=–2; ∆4===(–1)(–1)1+3= =–=(–1)(–1)1+2=–2; Итакх1=2/2=1,х2=2/2=1,х3=–2/2=–1,х4=–2/2=1. Проверка :
Ответ:(1;1;–1;–1).
Для самостоятельного решения.
1. Методом Крамера решить системы линейных уравнений: а) б).
2. Вычислить матрицы, обратные данным, с помощью алгебраических дополнений: а) ; б); в); г).