Chast_3_1_l_17-18

197

s c2 t2 x2 y2 z2 .

Величина интервала s может быть как вещественной, так и мнимой, в

зависимости от знака подкоренного выражения.

Рассмотрим случай вещественного интервала

c2 t2 x2 y2 z2 .

В этом случае всегда можно найти такую систему отсчета, в которой два события происходят в одном месте. Для этого необходимо, чтобы имело место

условие

c2 t2 x2 y2 z2 c t .

Вещественные интервалы получили название «времениподобных интервалов».

Если два события, в частности, происходят с одной и той же физической системой, то интервал между этими событиями имеет времениподобный

скорость всегда меньше скорости света.

Пример интервал между двумя событиями, представляющими последовательные показания одних и тех же часов.

Случай мнимого интервала s .

Это пространственноподобный интервал, т.к. всегда можно найти такую систему отсчета, что

c2 t2 x2 y2 z2 j x 2 y 2 z 2 .

Покажем, что собственное время является инвариантной, абсолютной величиной.

Пусть дана инерциальная система отсчета О'. В некоторой точке x , y , z происходят два последовательных события, разделенных промежутком времени t . Время измеряется часами покоящимися в О'. t – собственное время прошедшее между двумя событиями.

Интервал между ними

198

s c2 t 2 x 2 y 2 z 2 c t .

Таким образом, собственное время связано с интервалом соотношением

t s и является инвариантом. c

Предположим, что мы наблюдаем из некоторой инерциальной системы отсчета произвольным образом движущиеся относительно нас часы. В каждый отдельный момент времени это движение можно рассматривать как равномерное и прямолинейное. Поэтому в каждый момент времени можно ввести неподвижно связанную с движущимися часами систему координат,

которая (вместе с рассматриваемыми часами) будет являться тоже инерциальной системой отсчета.

Обозначим через dt показание (бесконечно малое) неподвижных часов, dt - соответствующее показание движущихся часов. В силу инвариантности

интервала

с2dt2 dx2 dy2 dz2 c2dt 2 ,

откуда

преобразований Лоренца. Четырехмерная формулировка преобразований

Лоренца

Все законы физики должны быть сформулированы таким образом, чтобы они оставались инвариантными относительно преобразований Лоренца.

Соотношения, инвариантные относительно преобразований Лоренца, называют релятивистскими или Лоренц-инвариантными.

Уравнения механики, инвариантные относительно преобразований Галилея, не удовлетворяют требованию инвариантности относительно преобразований Лоренца и, следовательно, должны быть видоизменены.

Наоборот, законы электродинамики – уравнения Максвелла уже с самого начала были сформулированы так, что они оказались релятивистски-

инвариантными.

Требование инвариантности физических законов относительно некоторых преобразований систем координат не является специфической особенностью теории относительности. Хорошо известно, что требование инвариантности физических законов относительно поворота системы координат непосредственно связано с изотропией пространства.

Например, второй закон Ньютона в какой-то конкретной системе координат имеет вид:

mx F x . my F y , mz F z .

При любом повороте системы координат проекции ускорения и силы преобразуются по одному и тому же закону, и в новой системе координат закон будет иметь такой же вид, как и в старой системе координат. Еще более очевидна инвариантность физического закона относительно поворота системы координат, если он записан в виде

,

где и – скаляры.

Итак, в классической физике законы записанные в виде

200

a b ,

инвариантны относительно поворота системы координат.

Рассмотрим поворот системы координат вокруг оси z на угол (рис. 3.5).

Очевидно, координаты точки преобразуются по закону:

xx cos y sin ,

yx sin y cos , z z .

Рис. 3.5. Поворот системы координат вокруг оси z

Возвращаясь к теории относительности, введем четвертую координату

ict , где i 1 – мнимая единица. Будем называть эту координату мнимым временем и будем считать x, y, z, τ ортогональными координатами в некотором воображаемом четырехмерном пространстве.

Очевидно, ds2 dx2 dy2 dz2 d 2 .

Преобразования Лоренца не изменяют ds2 – квадрат расстояния со знаком минус между двумя точками в четырехмерном пространстве.

Линейное преобразование, не изменяющее расстояние между двумя точками – это вращение.

Рассмотрим движение системы О' вдоль x и x'. При четырехмерной интерпретации это означает поворот в плоскости x, τ при неизменной ориентации осей y, z.

xx cos sin ,

x sin cos .

Возьмем начало О'

x sin ,

201

1 v2 c2

При этом

202

Вопросы и задачи к лекции 18

195-1. Выведите формулы преобразования скоростей Эйнштейна.

196-2. Покажите, что при v c ( v - скорость движения материальной

точки) формулы преобразования скоростей Эйнштейна переходят в формулы преобразования скоростей Галилея.

называется такой интервал? Найдите скорость v движения системы O вдоль х,

чтобы в системе O этот интервал имел выражение S x 2 y 2 z 2 ,

т.е. был чисто пространственным.

204-10. Что называется мнимым временем?

205-11. Выведите четырехмерную формулировку преобразований Лоренца.

203

Лекция 19

45. Четырехмерные векторы. Четырехмерные скорость и ускорение

Введем, прежде всего, четырехмерный радиус-вектор r . Компоненты его на оси координат равны x, y, z, τ.

В общем случае четырехмерным вектором, кратко, 4-вектором, мы

назовем вектор a , имеющий проекции на оси координат ax , a y , az , a ,

которые при преобразованиях Лоренца преобразуются как компоненты вектора

r .

При преобразовании остается неизменным квадрат вектора. Это легко показать непосредственным вычислением.

a2 ax2 a2y az2 a2 in var ,

a2 0 – пространственно подобный вектор, a2 0 – времениподобный вектор.

Построим четырехмерный вектор скорости. Мы должны построить такой

4-вектор скорости, который образуется в виде производной от 4-радиуса-

вектора по некоторому инварианту – скаляру. Выбор этого скаляра определяется тем, что при малых скоростях v << c пространственные компоненты 4-вектора скорости должны превратиться в компоненты обычной скорости.