Chast_4_1_l_22-24

252

В предыдущих двух лекциях были получены некоторые уравнения Максвелла для электромагнитного поля в среде в дифференциальной и интегральной форме.

Закон электромагнитной индукции

и условие соленоидальности магнитного поля

будут иметь такой же вид, как и соответствующие законы для электромагнитного поля зарядов и токов в пустоте. Только под E и B в

(4.26) и (4.27) следует понимать усредненные значения по физически бесконечно малому объему.

Прежде чем выписывать систему уравнений для электромагнитного поля в среде, дополним полученные уравнения материальным уравнением для электрического поля в проводящей среде.

усредненные значения плотности свободного тока и напряженности электрического поля, - удельная проводимость проводящей среды.

Итак, система уравнений Максвелла в дифференциальной форме для

электромагнитного поля имеет вид:

253

(плотность свободного заряда) и (плотность свободного тока) также усредненные величины. Второе и третье уравнения получены из аналогичных уравнений для микроскопических величин путем усреднения.

Параметры среды , , могут быть скалярами, не зависящими от интенсивности поля, скалярами, зависящими от интенсивности поля, или

тензорами.

Соответствующая система уравнений Максвелла в интегральной форме

для электромагнитного поля в среде имеет вид:

254

Здесь в первом и во втором уравнениях ориентации замкнутого

контура l и натянутой на него поверхности S связаны правилом правоходового винта. В четвертом уравнении объем V ограничен замкнутой

поверхностью S , которая ориентирована изнутри наружу.

Как и в случае электромагнитного поля зарядов и токов в вакууме, с

помощью уравнений Максвелла в интегральной форме можно рассчитать поля в случае простой геометрии системы. Например, поле внутри многослойного плоского конденсатора (рис. 4.19) для случая, когда d1 d2 d (диаметр обкладок), при заданных зарядах на обкладках q и q

или напряжении между обкладками и . Конденсатор может быть также цилиндрическим или сферическим.

Рис. 4.19. Двухслойный плоский конденсатор с заданным зарядом или напряжением

В качестве аналогичного примера для расчета магнитного поля можно привести коаксиальный кабель (рис. 4.20):

Рис. 4.20. Сечение коаксиального кабеля

56. Граничные условия для векторов электромагнитного поля

На границах раздела сред векторы поля, как будет показано ниже,

претерпевают разрыв, поэтому в точках границы раздела дифференциальные уравнения для электромагнитного поля теряют смысл. Поэтому в этих точках вместо дифференциальных уравнений необходимо записать другие связи

255

между векторами поля. Эти связи называют граничными условиями.

Граничные условия выводятся из уравнений Максвелла в интегральной форме.

Вначале рассмотрим границу раздела двух диэлектриков (рис.4.21).

Пусть заряды, создающие поле, находятся в первом диэлектрике (с

диэлектрической проницаемостью 1 ) вдали от границы раздела со вторым диэлектриком (диэлектрическая проницаемость 2 ).

Рис. 4.21. Граница раздела между двумя однородными диэлектриками

В диэлектрике не возникают объемно распределенные связанные заряды, если он однороден и в нем отсутствуют объемно распределенные свободные заряды. На самом деле, внутри диэлектрика с проницаемостью 2

(или внутри первого диэлектрика вблизи границы):

связ 0 divE 0 div D 0 divD 0.

2 2

Связанный заряд возникает на границе S раздела сред.

На нормали к поверхности S раздела двух диэлектриков возьмем точки

М1 и 2 , близкие к S (рис. 4.22). Точка М1 находится в среде с проницаемостью 1 , a точка 2 - в среде с проницаемостью 2 .

Рис. 4.22. К доказательству непрерывности нормальных компонент вектора D на границе раздела двух диэлектриков

256

Образуем дискообразный объем толщины h . Точки 1 и М 2 лежат на основаниях диска, которые перпендикулярны нормали n . S - замкнутая

На границе раздела двух диэлектриков непрерывны нормальные компоненты вектора электрического смещения D .

Рис. 4.23. К доказательству непрерывности касательных компонент вектора на границе раздела двух сред

Пусть имеется граница S раздела двух сред в области существования электромагнитного поля. Первая среда характеризуется параметрами 1 , 1 ,

1 , а вторая - 2 , 2 , 2 (рис. 4.23). Выберем произвольное касательное направление . Образуем прямоугольник l в плоскости векторов n , , две

257

стороны которого ( l ) перпендикулярны нормали п . Две остальные стороны

прямоугольника ( h ) мы будем устремлять к нулю. Точки М1 и М2

расположены соответственно на верхней и нижней сторонах прямоугольника.

Запишем закон электромагнитной индукции для контура

прямоугольника l :

где Sпр - площадь, ограниченная прямоугольником.

Так как интеграл в правой части последнего равенства стремится к

нулю при стремлении h к нулю, то

Это граничное условие является универсальным, т.е. оно справедливо для границы раздела между любыми средами. Условие же (4.29) справедливо

только для границы раздела между двумя диэлектриками.

Возвращаясь к рассмотрению границы раздела между двумя

диэлектриками из (4.29) и материального уравнения можно записать

1 E1n 2 E2n .

Или

электрического поля при переходе через границу раздела двух диэлектриков претерпевает скачок. Так, если 2 1, то Е1п Е2п .

259

E

и из того, что в статическом случае 0 .

Тогда из постулата Максвелла, примененного для замкнутой поверхности, ограничивающей диск, находим, что при стремлении к границе

электрического поля при стремлении к границе S изнутри диэлектрика.

Из (4.32) следует, что силовые линии D или подходят под прямым углом к поверхности проводника.

Рис. 4.26. Граница раздела проводника и диэлектрика в случае переменного электромагнитного поля высокой частоты

Такие же граничные условия ( Е 0, Dn ) на поверхности проводника наблюдаются и в случае электромагнитного поля высокой частоты (рис. 4.26), так как такое электромагнитное поле не проникает внутрь проводника (явление поверхностного эффекта, см. ниже), тогда из

(4.30) в этом случае следует (4.32). Верно также (4.31).

Переходим к граничным условиям для векторов магнитного поля В и

H .

нормали n , а меньшие стороны ( h ) устремлены к нулю. Из (4.34) и

материального уравнения В следует

т.е. касательная компонента индукции магнитного поля на границе раздела сред с разными магнитными проницаемостями претерпевает скачок.

Например, если 2 1, то В1 2 (рис. 4.29).

Рис. 4.29. К выяснению причины скачка касательных компонент вектора В на границе раздела двух магнетиков

Выясним физическую причину этого скачка. Внутри первой и второй среды микротоки компенсируют друг друга. Благодаря намагничиванию

первой среды на границе S образуется микроток с поверхностной

плотностью, направленной «от нас», а благодаря намагничиванию второй

среды на границе S образуется микроток с поверхностной плотностью,

направленной «к нам». Так как 2 1 , то плотность результирующего микротока на S будет направлена «к нам».

Этот микроток уменьшит тангенциальную составляющую индукции B1

и увеличит тангенциальную составляющую индукции В2 , т.е.

где индукция, отмеченная двумя штрихами, создается результирующим микротоком на границе S в окрестности точек М1 и М2 .