Chast_4_1_l_22-24

242

где V – физически бесконечно малый объем в окрестности точки М.

Суммируются магнитные моменты микротоков, попавших внутрь объема

V (рис. 4.10).

Рис. 4.10. Магнетик в магнитном поле

Следовательно, вещество, попав в магнитное поле, намагничивается и тем самым создает дополнительное магнитное поле. Это дополнительное магнитное поле создается микротоками, имеющими определенную ориентацию. Плотность микротоков мы будем обозначать через микро .

Кроме микротоков в веществе, находящемся в переменном во времени электрическом поле, возникают так называемые токи поляризации,

обусловленные смещением зарядов диполей. Плотность этих токов обозначим через поляр .

Поэтому, если в пустоте уравнение для магнитного поля (закон полного тока) имело вид:

rotB 0 своб 0 0 E ,t

то при наличии среды оно будет выглядеть так:

rot B 0 своб 0 0 E 0 микро 0 поляр .

t

Берем среднее значение по физически бесконечно малому объему от левой и правой частей последнего уравнения. Учтем при этом, что

rot B rot B и E E :

t t

rot B 0 своб 0 0 Е 0 микро 0 поляр .

t

вектор поляризации P .

Запишем закон полного тока в интегральной форме для замкнутого контура l , проходящего внутри намагниченного вещества (рис. 4.11).

Рис. 4.11. «Нанизывание» микротоков на контур l

B dl 0 i 0 микро dS .

l S

Интеграл микро dS , который мы обозначим через I микро , будет

S

отличен от нуля за счет «нанизывания» некоторых микротоков на часть контура l , проходящую внутри намагниченного вещества.

Выделим элемент l контура l внутри вещества и изобразим его в увеличенном виде (рис. 4.12).

Рис. 4.12. К расчету тока, получающегося за счет «нанизывания» микротоков на отрезок ∆l контура l

На элемент l «нанижутся» те микротоки, центры которых находятся в наклонном цилиндре, радиус основания которого равен среднему радиусу r

микротоков.

244

Для вектора намагниченности J можно записать выражение

J mk N m N iмикро r2 n .

k

Здесь суммирование производится по объему, равному единице, N – число микротоков в единице объема, m – среднее значение магнитного момента микротока, n – единичная нормаль к плоскости микротока (направление ее связано со стрелкой iмикро правилом правоходового винта).

Тогда ток, «нанизанный» на элемент l , будет равен

Это уравнение – закон полного тока в среде в дифференциальной форме.

Используя теорему Стокса, легко получить закон полного тока в среде в интегральной форме:

Здесь S – поверхность, натянутая на замкнутый контур l , векторы dS и dl

связаны правилом правоходового винта.

диэлектрика. Внутри диэлектрика эта составляющая по величине

терминология сохраняется.

Получим материальное уравнение для магнитного поля в среде.

Естественно утверждать, что чем больше напряженность магнитного поля в среде, тем больше величина вектора намагниченности:

247

Коэффициент æ называется магнитной восприимчивостью. Он может быть скаляром, не зависящим от интенсивности магнитного поля, скаляром,

зависящим от интенсивности поля, неоднозначным скаляром, зависящим от интенсивности магнитного поля (явление гистерезиса) или тензорной

величиной.

Подставляя (4.21) в (4.18), получим:

магнитная проницаемость вещества.

54. Физический смысл напряженности магнитного поля H

Рис. 4.14. К пояснению физического смысла вектора H

Выделим около точки М нитеобразный (цилиндрический) физически бесконечно малый объем V так, что образующая цилиндра параллельна

248

вектору намагниченности J и длина цилиндра существенно больше диаметра основания ( l D ).

В соответствии с принципом суперпозиции, представим индукцию магнитного поля в точке М в виде двух составляющих.

(4.23)

где B M – индукция, обусловленная всеми свободными токами и всеми микротоками за исключением микротоков объема V , а B M – индукция,

обусловленная микротоками объема V .

Выразим B M через J . Для этого изобразим объем V и некоторые микротоки в нем в увеличенном виде (рис. 4.15).

Рис. 4.15. Намагниченный элементарный объем ∆V в окрестности точки наблюдения М

Очевидно, внутри объема V микротоки направлены навстречу и поэтому компенсируют друг друга. Поэтому для расчета магнитного поля микротоков объема V можно применить модель, изображенную на рис. 4.16

(нескомпенсированными остаются только микротоки на боковой поверхности цилиндра). Обозначим ток на единицу длины вдоль l через j.

Рис. 4.16. Токовая модель намагниченного элементарного объема V

Индукция B внутри соленоида, как легко найти с помощью закона

249

Выразим j через модуль вектора намагниченности J . Для этого посчитаем магнитный момент J V токов в объема V двумя способами.

В соответствии с определением вектора намагниченности:

Учитывая, что J и B имеют одно и то же направление, равенство

(4.25) можно записать в вектороном виде

B 0 J .

Подставим это выражение для B в (4.23) и опустим обозначение точки M :

B B 0J .

Разделим последнее равенство на 0 и выразим из него B :

0

B B J .

0 0

Но в правой части последнего равенства стоит напряженность магнитного поля H . Следовательно

H B .

0

Вектор напряженности магнитного поля в среде равен индукции магнитного поля B в нитеобразной (цилиндрической) полости (образующая цилиндра параллельна вектору намагниченности J ), деленной на константу

250

0 . В этом заключается физический смысл вектора H . Отсюда вытекает также принципиальная возможность измерения вектора H .

Вопросы и задачи к лекции 23

256-1. Дайте определение вектора намагниченности.

257-2. Какие дополнительные токи возникают в среде при наличии в ней электромагнитного поля?

258-3. Выведите закон полного тока в среде в дифференциальной и интегральной форме.

259-4. Дайте определение напряженности магнитного поля в среде.

260-5. Какой физический смысл вектора напряженности магнитного поля H в среде? Сделайте соответствующий вывод.

261-6.Запишите материальное уравнение для магнитного поля в среде.

262-7. В магнитном поле прямолинейного бесконечно длинного проводника с током i находится ферромагнитный цилиндр с магнитной проницаемостью (рис. 4.17). Ось цилиндра параллельна проводу. В каком случае будет больше индукция магнитного поля в точке M - при наличии цилиндра или при его отсутствии? Почему?

Рис. 4.17. Ферромагнитный цилиндр в поле прямолинейного проводника с током

263-8. Круговой цилиндр из ферромагнитного материала, длина которого сравнима с диаметром, намагничен однородно вдоль оси. Другие источники магнитного поля отсутствуют. Укажите направление вектора B в

направление H в этой же точке.

264-9. Бесконечно длинный прямолинейный проводник с током i

расположен соосно в ферромагнитной трубе с магнитной проницаемостью

(рис.4.18). Найдите B и H для следующих областей:

1)0 r R1,

2)R1 r R2 ,

3)R2 r R3 ,

4)R3 r .

Зарисуйте графики B r и H r . Найдите поверхностную плотность микротоков на боковой поверхности радиуса R2 и боковой поверхности радиуса R3 .

Рис. 4.18. Прямолинейный проводник с током в ферромагнитной трубе

переменным во времени электрическим полем.

Лекция 24

55. Закон электромагнитной индукции и условие соленоидальности магнитного поля в среде. Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля в среде