Практикум МолФ
.pdfɆɿɧɿɫɬɟɪɫɬɜɨ ɨɫɜɿɬɢ ɿ ɧɚɭɤɢ ɍɤɪɚʀɧɢ Ʉɢʀɜɫɶɤɢɣ ɇɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɣ ɭɧɿɜɟɪɫɢɬɟɬ ɿɦɟɧɿ Ɍɚɪɚɫɚ ɒɟɜɱɟɧɤɚ
ɎȱɁɂɑɇɂɃ ɉɊȺɄɌɂɄɍɆ ɑɚɫɬɢɧɚ II. ɆɈɅȿɄɍɅəɊɇȺ ɎȱɁɂɄȺ
ɄɂȲȼ Ʉɇɍ 2004
Ɏɿɡɢɱɧɢɣ ɩɪɚɤɬɢɤɭɦ (ɱɚɫɬ. II) ɩɿɞɝɨɬɨɜɥɟɧɢɣ ɧɚ ɤɚɮɟɞɪɿ ɟɤɫɩɟɪɟɦɟɧɬɚɥɶɧɨʀ ɮɿɡɢɤɢ Ʉɢʀɜɫɶɤɨɝɨ ɇɚɰɿɨɧɚɥɶɧɨɝɨ ɭɧɿɜɟɪɫɢɬɟɬɭ ɿɦ. Ɍɚɪɚɫɚ ɒɟɜɱɟɧɤɚ. ɍ ɧɶɨɦɭ ɨɩɢɫɚɧɿ ɥɚɛɨɪɚɬɨɪɧɿ ɪɨɛɨɬɢ ɡ ɤɭɪɫɭ ɡɚɝɚɥɶɧɨʀ ɮɿɡɢɤɢ (ɦɨɥɟɤɭɥɹɪɧɚ ɮɿɡɢɤɚ). ɉɪɚɤɬɢɤɭɦ ɪɨɡɪɚɯɨɜɚɧɨ ɧɚ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɮɿɡɢɱɧɨɝɨ ɮɚɤɭɥɶɬɟɬɭ.
ɋɤɥɚɥɢ: ȼ.ȯ.ɉɨɝɨɪɟɥɨɜ, ɞɨɤɬɨɪ ɮɿɡ.-ɦɚɬ. ɧɚɭɤ, Ɉ.ȼ.ɋɥɨɛɨɞɹɧɸɤ, ɞɨɤɬɨɪ ɮɿɡ.-ɦɚɬ. ɧɚɭɤ, ɩɪɨɮ. Ɉ.Ⱥ.ȯɳɟɧɤɨ, ɤɚɧɞɢɞɚɬ ɮɿɡ.-ɦɚɬ. ɧɚɭɤ, Ɉ. ȱ.Ʉɨɧɞɿɥɟɧɤɨ, ɤɚɧɞɢɞɚɬ ɮɿɡ.-ɦɚɬ. ɧɚɭɤ, Ȼ.Ɇ.ɒɭɬɨɜ, ɤɚɧɞɢɞɚɬ ɮɿɡ.-ɦɚɬ. ɧɚɭɤ
РОБОТА № 1
ВИЗНАЧЕННЯ ТЕПЛОЄМНІСТі МЕТАЛІВ МЕТОДОМ ОХОЛОДЖЕННЯ
Вступ. Теплоємність термодинамічної системи – це кількість теплоти, яку необхідно надати цій системі, щоб збільшити її температуру на
°К. Розрізняють теплоємність питому Cпит , молярну CM . Теплоємність термодинамічної системи С. Крім того, за умовами визначення теплоємності розрізняють теплоємність , що визначається за сталого об’єму CV , та за
сталого тиску CP . Теплоємність - термодинамічний параметр
термодинамічної системи, що знаходиться в рівноважному стані. Мета роботи - визначити теплоємність твердих тіл при різних температурах.
Теоретичні відомості. Існує кілька варіантів теоретичного розрахунку теплоємності твердих тіл.
Классична модель Дюлонга та Пті. За цією моделлю тверде тіло
розглядається |
як сукупність гармонічних |
осциляторів . В одному молі |
|
твердого тіла |
таких осциляторів3N A , |
тому що з кожним |
атомом |
(молекулою) твердого тіла можна зв’язати три незалежні осцилятори, які здійснюють коливання вздовж трьох взаємно перпендикулярних осей.
За теоремою про рівнорозподіл енергії по ступенях вільності на кожний осцилятор припадає енергія kT . Тому внутрішня енергія 1 молю твердого тіла
UM = 3 NA kT = 3 RT |
(1) |
||
звідси молярна теплоємність за сталого об'єму |
|
||
CVM = |
dUM |
= 3 R |
(2) |
|
|||
|
dt |
CVM = 3 R й не залежить |
|
Таким чином, молярна теплоємність твердих тіл |
|||
від температури. |
|
||
Такий висновок, по-перше суперечить третьому принципу термодинаміки (теоремі Нернста), по-друге не відповідає дослідним фактам. В дослідах виявлено, що за умови T → 0 питома молярна теплоємність
зменшується за законом CVM ~ T3 .
Модель Ейнштейна. При розрахунку CVM (T) Ейнштейн вирахував квантову природу осциляторів. В цьому випадку середня енергія одного
осцилятора становить |
ε |
|
|
|
ε = ε 0 + |
, |
(3) |
||
eε / kT −1 |
||||
|
|
|
де ε 0 |
= |
=ω |
- енергія квантового осцилятора за нескінченно низької |
|
2 |
||||
|
|
|
температури, ε = =ω - енергія кванту , що випромінюється чи поглинається
внаслідок переходів між коливальними рівнями гармонічного осцилятора. Для молярної теплоємності в межах цієї моделі отримуємо:
|
|
|
|
ε |
2 |
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3 |
R |
|
|
e kT |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||
M |
= |
|
kT |
|
|
|
|
|
||
CV |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
|
|
(eε / kT −1) |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
За моделлю Ейнштейна |
CVM → |
3R , |
якщо T → ∞ ; CVM → 0 , якщо |
|||||||
T → 0 .
Але за низьких температур CVM не пропорційна T3 .
Модель Дебая. В основу цієї моделі покладено умови існування стоячих хвиль в твердому тілі. При цьому було враховано квантову природу елементарних осциляторів й використано вираз (3). Для молярної
теплоємності твердого тіла CVM Дебай отримав вираз: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
d |
|
|
|
T |
|
|
4 xm x |
3 dx |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
C |
|
= 9R Θ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
(5) |
|
|||||
|
|
|
|
V |
D |
|
|
|
|
|
∫ |
|
x |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dT |
|
Θ |
D |
|
|
|
e |
−1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
=ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=ω |
|
||||
|
В |
цій |
формулі |
Θ D |
= |
max |
` ; - |
|
температура |
|
|
Дебая |
, |
x = |
; |
||||||||||||||
k |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
=ω m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kT |
||||
x m = |
, |
ω max - |
максимальна |
частота |
елементарних |
Дебаєвских |
|||||||||||||||||||||||
kT |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
осциляторів.( Теорію Дебая викладено в доданку до цієї роботи). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Опис методу. Металевий зразок , температура якого вища за |
||||||||||||||||||||||||||||
температуру оточуючого середовища T0 , |
|
охолоджується |
в |
цьому |
|||||||||||||||||||||||||
середовищі. Кількість теплоти q, |
яку зразок втрачає за інтервал часу ∆ t , |
||||||||||||||||||||||||||||
може бути виражений формулою: |
|
|
dT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
q = − ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
|||||||||||
|
|
|
|
c ρ |
dt |
∆ t dV , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(V) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
де с - теплоємність металу, ρ – |
його густина, |
V – об’єм зразка. Оскільки |
|||||||||||||||||||||||||||
велечини с, ρ, dTdt не залежать від просторових координат,
|
dT |
(7) |
|
q = −c ρ |
∆ t V |
||
|
|
dt |
|
ця теплота виділяється через |
поверхню зразка |
S і може бути |
|
обчислена за формулою: |
(T − T0 ) ∆ t dS , |
|
|
q = ∫ α |
(8) |
||
(S) |
|
|
|
Враховуючи, що велечини α, T − T0 також не залежать від
просторових координат, останній інтеграл легко обчислюється : |
|
q = α (T − T0 ) ∆ t S , |
(9) |
Прирівнюючи вирази (7) та (9), отримуємо:
|
|
|
|
dT |
|
|
|
|
|||
|
− c ρ |
|
|
|
V = |
α |
(T − T0 ) S , |
||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|||
звідси |
|
dT |
|
= − |
|
α S |
|
|
= − |
α S |
|
|
T − T |
|
c ρ V |
|
|
c m |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(10)
(11)
Інтегруючи останнє диференційне рівняння, визначаємо вираз для кривої охолодження :
ln(T − T ) = − |
α S |
t + ln(T |
−T ) , |
(12) |
|
||||
0 |
c m |
поч |
0 |
|
|
|
|
|
у виразі (12) Tпоч - початкова температура досліджуваного зразка. Рівняння (12) фіксує лінійну залежність ln(T − T0 ) від часу. При
α S
цьому c m - це тангенс кута нахилу цієї прямої до осі часу.
Слід зауважити, що при інтегруванні рівняння (11) була припущена
незалежність величини |
α S |
від температури. Для визначення |
c m |
теплоємності досліджуваного металевого зразка беруть два зразки однакової форми та розмірів. При цьому теплоємність та маса одного з зразків відома.
Експериментально одержуючи криві охолодження (12) визначають з з графіків функцій ln(T − T0 ) = f (t) , які мають (у відповідності до теорії
методу) вигляд прямих, тангенси кутів нахилу цих прямих до вісі часу, тобто величини:
tgϕ i = |
α S |
, |
|
||
|
Ci mi |
|
|
Припускаючи, що коефіцієнти тепловіддачі для обох зразків |
||||||||||
однакові, отримуємо: |
|
|
|
c2 m2 |
|
|
|
||||
|
|
tgϕ 1 |
= |
, |
|
(13) |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
tgϕ |
2 |
|
|
c m |
|
||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
||||
Звідси |
|
c2 = |
|
c1 m1 |
|
tgϕ 1 |
, |
(14) |
|||
|
|
m2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
tgϕ 2 |
|
||||
Порядок виконання роботи. Схему установки подано на рис.1. Зразки мають форму циліндрів висотою 30 мм та діаметром 5 мм. З висвердленим з одного торця каналом для термопари. Зразки насаджуються безпосередньо на термопару. Термоелектрорушійна сила (е.р.с.) вимірюється мілівольтметром.
1.На початку досліду зразок з термопарою вміщують
вцентр нагрівача А.
2.Нагрівач підключено до ЛАТР-у, за допомогою якого на нагрівач подається необхідна напруга.
3.Після нагрівання зразка до ~400 °С його виводять з нагрівача, опускаючи тримач з термопарою.
4.Нагрітий зразок охолоджується в нерухомому
повітрі, температура якого T0 , до температури ~100°С. Через кожні 10-15 сек. вимірюють е.р.с. термопари.
5.З графіка, який додається визначають відповідні температури досліджуваного зразка T.
6.З отриманих в досліді даних будують залежності
ln(T − T0 ) = f (t) для трьох зразків: міді, заліза, алюмінію.
Одержані криві розбивають на прямолінійні відрізки. Для кожного з таких відрізків визначають tgϕ і знаходять значення
теплоємності заліза та алюмінію для при різних температурах за формулою (14), вважаючи теплоємність міді відомою. При
цьому слід мати на увазі, що в формулі (14) значення c1 та c2
теплоємностей відповідають однаковим температурам. Температурна залежність питомої теплоємності міді наведена в таблиці 1.
T, K |
273 |
|
373 |
|
473 |
|
573 |
|
673 |
кДж/кг K |
0,381 |
|
0,394 |
|
0,408 |
|
0,422 |
|
0,435 |
7. |
Визначають |
|
температурну |
|
залежність |
||||
теплоємностей заліза та алюмінію.
Література:
1.Матвеев Н.А. „Молекулярная физика”, §45.Теплоёмкость твёрдых тел, стр189-300. Москва, «Высшая школа», 1987г.
2.Бурштейн А. И. „Молекулярная физика”, §25.Движениекристаллической решётки, стр.173-194. Новосибирск, «Наука», Сибирское отд.,1986г.
Додаток:
Модель Дебая. В цій моделі враховано , що теплоємність твердого тіла це параметр рівноважного стану термодинамічної системи. Тому хвилі, що збуджуються в твердому тілі елементарними осциляторами не можуть переносити енергію. Тобто вони є стоячими хвилями. Якщо тверде тіло вибрати у вигляді прямокутного паралелепіпеду з ребрами a,b,c, то умови існування стоячих хвиль можна записати у вигляді:
n1 |
λ |
x |
= a ; n2 |
|
λ |
y |
|
= b ; |
n3 |
|
λ |
z |
= c ; ( |
n1,n2 ,n3 - цілі числа) |
||||
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Візьмемо до уваги, що k = 2π / λ |
|
|
|
|
|
|
π n3 |
|
||||||||||
|
|
|
Звідси |
kx |
= |
π n1 |
, |
ky = |
π n2 |
, kz = |
. |
|||||||
|
|
|
a |
b |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|||
Перейдемо до простору, побудованого на хвильових векторах. Таким чином, в твердому тілі можуть існувати осцилятори з
частотами, що змінюються дискретно. Одному осцилятору в k- просторі відповідає комірка з об’ємом
τ = ∆ kx ∆ ky ∆ kz = |
π 3 |
a b c . В k- просторі осциляторам з частотами |
в інтервалі ω ÷ ω + dω відповідає один октант сферичного шару з об’ємом
dVk = 18 4π k2dk = 12 π k2dk .
В цьому об’ємі кількість осциляторів дорівнює
dNk = |
dVk |
= |
(a b c) k2 dk |
Врахуємо, що кожен осцилятор |
|
τ |
2π 2 |
||||
|
|
|
генерує 3 хвилі : 2 поперечні та 1 повздовжню.
При цьому k |
= |
ω |
, k|| = |
ω |
|
υ |
υ || |
||||
|
|
|
Тому внутрішня енергія одного молю твердого тіла
ω max |
|
|
|
|
|
ω |
2 |
|
ω |
2 |
|
|
UM = ε ∫ |
a b c |
2 |
|
|
+ |
|
|
dω |
||||
2π |
2 |
|
υ |
2 |
|
2 |
|
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|
υ || |
|
|
|||
де ε - середня енергія квантового осцилятора (див. модель
Ейнштейна).
Граничну частоту визначимо з умови
|
|
ω max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ dN K = 3NA |
|
|
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
ω max |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
2 |
|
Звідси ∫ |
a b c |
+ |
|
ω |
dω = 3NA , |
|||||
2π |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
||||
0 |
|
|
υ |
|
υ || |
|
|
|
|
|
Звідси
Тепер для UM отримуємо
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
T |
|
4 |
xm x |
3 dx |
|
|||||||
U |
M |
= 9R |
Θ |
D |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
8 |
|
Θ |
|
|
|
|
|
e |
−1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
0 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В цьому виразі Θ |
D = |
|
=ω max |
; x = |
|
=ω |
|
; xm |
= |
=ω m |
|||||||||||
|
|
|
kT |
kT |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Нарешті для молярної теплоємності за сталого об'єму отримуємо
|
M |
|
dUM |
|
|
|
|
d |
|
|
T |
|
|
4 xm x |
3 dx |
|
||||||||
C |
|
= |
|
|
= 9R Θ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||
V |
|
|
D |
|
|
|
|
|
∫ |
|
x |
|
||||||||||||
|
|
dT |
|
|
|
dT |
|
Θ |
D |
|
|
|
e |
−1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Легко перевірити , що за умови T → |
∞ |
|
|
CVM = 3R |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
А за умови T → |
|
M |
= |
12R |
π |
4 |
|
3 |
~ T |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0 CV |
5 Θ |
3D |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким чином , теорія Дебая відповідає результатам дослідів.
РОБОТА №2
ВИМІРЮВАННЯ ТЕПЛОЄМНОСТІ РІДИНИ
Вступ. Метою роботи є визначення питомої теплоємності дистильованої води. За визначенням питома теплоємність дорівнює:
C = Q / m∆T , |
(1) |
де m - маса речовини, Q - надана їй кількість теплоти, ∆T |
- зміна |
температури речовини.
Теоретичні відомості. Теплоємністю називається кількість теплоти,
яку необхідно надати тілу, щоб підвищити його температуру на 1°К ( c = δdTQ ).
Оскільки Q не є функцією стану термодинамічної системи (тіла), а залежить
від характеру процесу, то й теплоємність визначається цим процесом. З першого та другого принципів термодинаміки випливає, що
δQ = TdS = dU + pdV ,
де вжито загально прийнятих позначень. В загальному випадку
|
δQ |
dS |
|
∂U |
|
∂V |
|||
C = |
dT |
= T |
|
|
= |
|
+ |
|
. |
|
|
||||||||
|
dT |
|
∂T V |
|
∂T P |
||||
Для ізохоричного процесу |
|
∂S |
|
∂U |
|
|
|||||
CV |
= T |
|
|
= |
. |
|
|||||
|
|
∂T V |
|
∂T V |
|
Для ізобаричного процесу
|
∂S |
|
δQ |
dU + pdV |
|
|
|
∂U |
|
|
||||||||||
CP = T |
|
|
= |
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
||||
|
|
dT |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
∂T P |
dT P |
|
|
P |
|
∂T |
V |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂U |
|
|
|
|
∂V |
|
|
|
||||
|
|
|
|
= CV |
+ |
|
+ |
P |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
∂T |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂V |
T |
|
|
|
|
|
P |
|||||
Можна довести (дивись додаток), що |
|
|
|
(∂V ∂T )2p |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
C |
|
|
− C = − T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂V |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
p |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂p T |
|
||||
+ ∂U∂V T
.
|
∂V |
|
|
+ p |
|
|
= |
|
|||
|
∂T P |
|
|