9. Устойчивость систем управления. Алгебраические критерии устойчивости.

Устойчивость – свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия. Это свойство затухания переходного процесса с течением времени.

Для тех объектов, которые работают в условиях непрерывно меняющихся воздействий, т.е. когда установившийся режим вообще отсутствует, дается общее определение устойчивости:

Система устойчива, если её выходная величина остаётся ограниченной в условиях действия на систему ограниченных по величине возмущений.

Y_св →0 при t→∞ , если все корни характеристического уравнения λ обладают отрицательной вещественной частью.

Если хотя бы один вещественный корень λ_i будет положительным или хотя бы одна пара комплексно-сопряженных корней будет иметь положительную вещественную часть, то в этом случае процесс будет расходящийся.

Если в характеристическом уравнении системы имеется хотя бы один нулевой корень или хотя бы одна пара чисто мнимых корней λ_i,i+1 = +jβ , то система будет находиться на границе устойчивости.

Алгебраические критерии. Вычисление корней уравнений высоких степеней затруднительно, поэтому в ТАУ были разработаны косвенные методы, позволяющие судить об устойчивости системы, не находя корней характеристического уравнения. Эти косвенные методы получили название алгебраических критериев. Из алгебраических критериев в ТАУ получили распространение 2 критерия: критерий Раусса, критерий Гурвица.

Возьмем характеристический полином – левая часть урав-ия: D(λ) = a₀*λⁿ + a₁*λ^{n -1} +…+ a_{n -1}*λ + a_n

Критерий Раусса-Гурвица позволяет определять устойчивость системы по коэффициентам хар. урав-ия.

Необходимым условием устойчивости явл.

положительность всех коэф. хар. ур-ия.

a₀>0, a₁>0 … a_n>0.

Положительности коэффициентов характ. уравнения в общем случае недостаточно для устойчивости системы. Только в частных случаях, когда уравнение 1-ой или 2-ой степени, положительность коэф-тов явл. необходимым и достаточным условием устойчивости.

Чтобы сформулировать критерий Гурвица необходимо составить определитель вида:

- определитель Гурвица

Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы были положительными n-главных определителей Гурвица (диагональные миноры). Δ_n = a_n*Δ_n-1 (a_n >0, Δ_n-1 >0)

Δ₁=a₁

Критерий Раусса-Гурвица применяется для систем не выше 4-го порядка. Критерий применяется для анализа систем, у которых известны все коэффициенты характеристического уравнения.

10. Качество установившихся процессов в линейных сау. Коэффициенты ошибок.

Одного фактора устойчивости для нормального функционирования СУ недостаточно. При устойчивой САУ важно также как она выполняет свое функциональное назначение. Требования к системам управления могут быть различными. Это может быть быстродействие системы, энергопотребление, уровень шума и т.д. Совокупность требований, определяющих поведение САУ в установившихся и переходных процессах объединяется понятием качества процесса управления. Качество имеет смысл только для устойчивых САУ. Качество оценивается при наиболее часто встречающихся или наиболее тяжелых для данной системы типовых воздействий.

1. f (t) = δ(t) – единичный импульс.

2. f (t) = 1(t) – единичный скачок.

3. f (t) = sin ωt - гармонический сигнал.

4. f (t) = const – постоянные воздействия.

5. f(t) = υt – сигнал, изменяющийся с постоянной скоростью.

6. f(t) = a*t²/2 – сигнал, изменяющийся с постоянным ускорением.

Качество процесса управления можно рассматривать раздельно для установившихся процессов и для переходных процессов.

Качество установившихся режимов работы САУ.

Главным показателем является точность. Точность оценивается величиной ошибки.

Р/м статический режим. Он характериз. тем, что и задающее и возмущающее воздействие явл. постоянными величинами. Такой режим характерен для статических систем. Р/м структуру:

Y(S) = Ф_в(S)*Ф(S) Ф_в(S)= W₂(S)/(1+W(S))

W(S) =W₁(S)*W₂(S)*W₃(S) = W_p(S)

W₂(S) = W₀(S)

Для статики, когда S=0 → F(0)=f_ст, Y(0)=y_ст y_ст = Ф_в(0)* f_ст =.

Статический режим имеет место только в статических САУ.

Статической САУ наз. такая САУ, которая целиком состоит из статических звеньев.(в рез-тате приведения к одноконтурной). W(0)=k - статическое звено (инерционное, апериодическое, колебательное). У статического звена есть статическая хар-ка y_ст/f_ст =k

W(0)=k y_ст=k_0* f_ст – в разомкнутом состоянии. - в замкнутом состоянии.

Замыкание системы создает знаменатель и отклонение y под действием f в (1+k) раз меньше, чем в разомкнутой системе. y_ст –статическая ошибка. Мерой статической точности САУ явл. статизм δ.

График изменения статической ошибки от возмущающего воздействия. Δ нельзя уменьшить за счет коэффициента k_0. В САУ статич.

ошибка измен. за счет общего коэф-та передачи k. В статич. САУ по принципу действия стат. ошибка не может = 0.

Способы устранения статической ошибки.

1. Увеличение коэф-та передачи системы. Оно не может осущ. не ограниченно, т.к. это ведет к потере уст-ти системы.

2. Передаточная ф-ия по каналу возмущения =0.

Ф_f(0) =(Знаменатель приравниваем к ∞, или чиcлитель приравниваем к 0).

При реализ-ии управления по возмущению, возмущение в системе прикладывается по 2 каналам:

1. естественному;

2. искусственному.

W_к(S) – передат. ф-ия управления по возмущению.

W_f(S) = W_f0(S) + W_k(S)*W₀(S)

W_f(0) = W_f0(0) + W_k(0)*W₀(0)

K_f0 = k_k*k₀=0; k_k = - k_f0/ k₀ - коэф-т передачи по искусств. каналу.

«-» означает, что корректирующую связь мы должны заводить с обратным знаком по возмущающему воздействию.

Такой способ устранения статической ошибки устраняет только ту статическую ошибку, возмущение по которой можно проконтролировать.

2-ой путь компенсации статической ошибки – введение астатизма. Астатической наз. САУ, структурные схемы которых, будучи приведенные к одноконтурным, содержат хотя бы одно интегрирующее звено (астатическое). У интегрир. звеньев характеристики астатические. Закон регулирования в астатич. САУ интегральный, т.е. выход. сигнал регулятора пропорц. интегралу от ошибки. Если вне объекта имеется хотя бы одно интегрирующее звено, то статич. ошибка, вызванная любой причиной, по принципу действия такой САУ=0.Интегрирующее звено будет изменять управляющее воздействие на объект до тех пор, пока на входе интегрир. звена сигнал не будет = 0, т.е. пока ошибка не станет = 0.

Постоянные ошибки. Среди типовых режимов работы САУ простейшим явл. режим работы при постоянной величине внеш. воздействия (задающего, возмущающего).

G(t) = const W(S) = , свободный член = 1

Ф_ε(S) = (1)

Диф. ур-ие в операторной форме:

[L(p) + kN(p)]*ε = L(p)*x(t) (2)

Если к записи (2) применить теорему о конечном значении,то ε_уст = lim ε(t) =lim Ф_ε(S)*X(S)*S (3) X(S)=X₀/S

Пользуясь (3) с учетом (1) запишем: ε_уст = X₀/(1+k), если L(S) и N(S) имеют свобод. член = 1.

Это значение ошибки наз. статической ошибкой. Её можно получить из диф. ур-ия (2) как частное решение при X(t)=X_0. Р/м случай, когда на вход системы подается задающее воздействие, изменяющееся с постоянной скоростью. X(t)= X₀ + X₁(t). В этом случае установившаяся ошибка, как частный случай ур-ия (2) так же будет изменяться с постоянной скоростью. Естественно, что при длительном воздействии такое нарастание ошибки недопустимо. Для ликвидации этого явления нужно изменить структуру системы так, чтобы L(S) не имел свободного члена. L(S)=S*L(S) (6). Надо сделать так, чтобы знаменатель передаточной ф-ии разомкнутой цепи имел нулевой полюс: X(S) = X₀/S + X₁/S².Получим: ε_уст = X₁/k. В такой системе при задающем воздействии, изменяющемся с постоянной скоростью, не будет статической ошибки. Но при этом в системе устанавл-ся скоростная ошибка. Если система содержит хотя бы одно интегральное звено, то в системе присутствует скоростная ошибка. Если система имеет астатизм 1-го порядка (6), то в ней отсутствует статическая ошибка и присутствует постоянная скоростная ошибка.