- •Теория поля
- •Составители: елисеев Игорь Спартакович
- •Содержание
- •1 Скалярное поле. Производная по направлению и градиент
- •2 Векторное поле. Векторные линии
- •3 Поток векторного поля
- •4 Формула остроградского. Дивергенция векторного поля
- •5 Линейный интеграл и циркуляция векторного поля
- •6 Ротор векторного поля. Формула стокса
- •7 Потенциальное векторное поле. Вычисление линейного интеграла в потенциальном поле
- •8. Варианты заданий
МИНИСТЕРСВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Уфимский государственный авиационный технический университет
Кафедра математики
Теория поля
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к решению задач и выполнению
расчетно-графической работы по дисциплине «Математика»
для студентов-заочников всех специальностей и направлений
Уфа 2004
УДК 517.3
Составители: Елисеев И.С., Сафиуллина Ф.Г., Сысоев С.Е.,
Халфина Э.Х.
Теория поля: Методические указания к решению задач и выполнению расчетно-графической работы по дисциплине «Математика» для студентов-заочников всех специальностей и направлений /Сост. И.С. Елисеев, Ф.Г. Сафиуллина, С.Е. Сысоев, Э.Х. Халфина. /Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т. Уфа, 2004, 35 с.
Рассматриваются основные понятия, положения и приложения математической теории поля, что способствует развитию у студентов кругозора в области геометрических представлений, связанных с теорией поля, уяснению тесной взаимосвязи между физическими объектами теории поля и соответствующими математическими понятиями и структурами, относящимися к определенным, кратным и криволинейным интегралам и дифференциальным уравнениям.
Применение теоретических положений и математического описания физических объектов разъясняется на примерах различной степени сложности, что способствует формированию умений и навыков в приложении математической теории для решения практических физических задач.
Предназначены для студентов и лиц, занимающихся самообразованием, изучающих спецглавы математики, включающие математическую теорию поля.
В методические указания включены 30 вариантов индивидуальных заданий.
Ил. 6. Библиогр.: 4 наимен.
Рецензенты: доцент А.В. Рабчук;
доцент Л.М. Никульшина.
Составители: елисеев Игорь Спартакович
САФИУЛЛИНА Фаузия Гатаевна
СЫСОЕВ Сергей Егорович
ХАЛФИНА Элеонора Хамзинична
Содержание
1. Скалярное поле. Производная по направлению и градиент 4
2. Векторное поле. Векторные линии 6
3. Поток векторного поля 8
4. Формула Остроградского. Дивергенция векторного поля 11
5. Линейный интеграл и циркуляция векторного поля 15
6. Ротор векторного поля. Формула Стокса 17
7. Потенциальное векторное поле. Вычисление линейного
интеграла в потенциальном поле 20
8. Варианты заданий 23
Список литературы 35
1 Скалярное поле. Производная по направлению и градиент
Пространственная область , в каждой точкекоторой задано определенное число (скаляр)называетсяскалярным полем. Скалярное поле задается скалярной функцией
,
определенной в области . Если поле задано функцией двух переменных
,
то оно называется плоским. Скалярными являются поле температур, поле давлений, поле плотности вещества и др.
Геометрической характеристикой скалярного поля служат поверхности уровня - множества точек пространства, в которых функция принимает постоянное значение.
- уравнение различных поверхностей уровня при различных .
В плоском поле
- уравнение линий уровня.
Формула
(1)
дает производную скалярного поля в точкепо направлению , где направление единичного вектора касательной к заданной линии в точке. Производная поля в данной точкепо направлениюхарактеризует скорость изменения поля в этом направлении.
Градиентом скалярного поля в точке называется вектор
. (2)
Между производной поля по направлениюи его градиентом в точкесуществует следующая связь :
(3)
где –угол между вектороми градиентом в точке. Из равенства (3) следует, что в каждой точке, не являющейся критической, градиент направлен в сторону максимального возрастания поля, а модуль градиента равен величине скорости этого возрастания :
.
Задача 1. Найти производную скалярного поля в точкеэллипсапо направлению внешней нормали к эллипсу в этой точке и градиент поля в этой же точке.
Решение. Направление внешней нормали к эллипсу в точкеперпендикулярно к направлению касательной к эллипсу в этой точке.. Точкалежит на части эллипса с уравнением. Обозначим через– угол, который образует направление касательной с осью. Тогда
.
Если обозначить угол, образованный направлением с осью, через, то из условия перпендикулярности нормали и касательной получим
.
Находим направляющие косинусы вектора
Вычислим
и получим по формуле (1)
А по формуле (2)