razdel4UMK

УДК 517.2(07) ББК 22.161.1 я 7 У90

Ответственный редактор д. ф.-м. наук, проф. Р.Н. Бахтизин

Редколлегия:

АкмадиеваТ.Р., Аносова Е.П., Байрамгулова Р.С., Галиуллин М.М., Галиева Л.М., Галиакбарова Э.В., Гимаев Р.Г., Гудкова Е.В., Егорова Р.А., Жданова Т.Г., Зарипов Э.М., Зарипов Р.М., Исламгулова Г.Ф., Ковалева Э.А., Майский Р.А., Мухаметзянов И.З., Нагаева З.М., Савлучинская Н.М., Сахарова Л.А., Степанова М.Ф., Сокова И.А., Сулейманов И.Н., Умергалина Т.В., Фаткуллин Н.Ю., Хайбуллин Р.Я., Хакимов Д.К., Хакимова З.Р., Чернятьева М.Р., Юлдыбаев Л.Х., Шамшович В.Ф., Якубова Д.Ф., Якупов В.М., Янчушка А.П., Яфаров Ш.А.

Рецензенты: Кафедра программирования и вычислительной математики Башкирского государственного педагогического университета.

Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Р.М. Асадуллин.

Кафедра вычислительной математики Башкирского государственного университета. Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Н.Д. Морозкин.

Учебно-методический комплекс дисциплины «Математика». Раздел 4 «Дифференциальное исчисление функции одной переменной». Теоретические основы. Методические указания для студентов. Материалы для самостоятельной работы студентов. – Уфа: Издательство УГНТУ, 2007. – 120 с.

Содержит теоретические материалы, способы и методы решения практических задач, задания для самостоятельной работы студентов, контрольные вопросы для самопроверки, список рекомендуемой литературы.

Разработан для студентов, обучающихся по всем формам обучения по направлениям подготовки и специальностям, реализуемым в УГНТУ.

УДК 517.2(07) ББК 22.161.1 я 7

© Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2007

1.1. ЗАДАЧА О СКОРОСТИ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Пусть материальная точка (некоторое тело) M движется по некоторой прямой. Расстояние s движущейся точки, отсчитываемое от некоторого на-

чального ее положения M0 , будет зависеть от времени t , то есть s = s(t).

Если в некоторый момент времени t движущаяся точка M находилась на расстоянии s от начального положения, то в момент времени t + t точка зай-

мет положение M1 − на расстоянии s + s от начального положения

(рис. 1.1).

выражает скорость движения точки M в данный момент времени t . Наиболее

называют скоростью движения точки в данный момент времени (или мгновенной скоростью):

Таким образом, мы видим, что понятие скорости неравномерного движения связано с понятием предела.

5

1.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ. МЕХАНИЧЕСКИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

y = f (x + x)−f (x).

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

ПРИМЕР 1.1. Найти производную функции y = C , где C − постоянное

число.

Решение: Очевидно, что областью определения этой функции является вся числовая прямая R . Поэтому рассмотрим любую точку x R и дадим ей приращение x . Функция получит приращение

y = f (x + x)−f (x)= C −C = 0 .

6

x → 0 или, что тоже самое M0 → M (если такое положение существует)

(рис. 2.1).

Теперь выясним геометрический смысл производной. Рассмотрим график непрерывной функции y = f (x) (рис. 1.2).

Здесь предполагается, что в точке M0 (x0 , y0 ) график функции имеет невертикальную касательную.

Очевидно, что угловой коэффициент секущей M0M равен

мится к нулю, поэтому точка M неограниченно приближается по кривой к точке M0 , а секущая M0 M переходит в касательную. При этом угол β → α,

равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абс-

цисса которой равна x0 . В этом заключается геометрический смысл произ-

водной.

8

Пользуясь уравнением прямой, проходящей через точку M0 (x0 , y0 ) с заданным угловым коэффициентом k = f ′(x0 ), можно записать уравнение касательной:

y − y0 = f ′(x0 )(x − x0 ).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.

Так как нормаль перпендикулярна касательной, то ее угловой коэффициент k1 равен

нение нормали x = x0 .

ПРИМЕР 1.4. Найти уравнение касательной и нормали к графику функции y = x 2 в точке M0 (1,1).

что в этой точке функция дифференцируема.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4. Функция y = f (x), имеющая производную в каждой точке некоторого интервала (a, b), называется дифференцируемой в этом интервале.

9

Операцию нахождения производной функции называют дифференциро-

y = x в точке x = 0 не имеет производной.

10