razdel4UMK

y′x

= y′t t′x

= ψ′t (t) θ′x (x)

(1.9)

На основании теоремы о дифференцировании обратной функции следует

θ′x (x)=

1

. Подставляя последнее выражение в равенство (1.9), получаем

ϕ′t (t)

ψ′t (t)

y′t

y′

=

или y′

=

.

(1.10)

ϕ′t (t)

x

x

x′t

Полученная формула позволяет находить производную y′x

от функции,

ПРИМЕР 1.12. Функция

y

от x задана параметрически уравнениями

x = a cos t,

0

≤ t

≤ π. Найти производную y′x .

= b sin t,

y

(b sin t)′t

Решение. y′x =

=

b cos t

= −

b

ctg t .

(a cos t)′t

−a sin t

a

ПРИМЕР 1.13. Найти угловой коэффициент

касательной к

циклоиде

x = a(t −sin t),

0

≤ t ≤ 2π в точке, соответствующей значению параметра

y = a(1 −cos t),

t =

π.

2

Решение: Угловой коэффициент касательной в точке равен значению

производной y′x

в этой точке, то есть равен y′x (t 0 )=

y′t (t 0 )

.

Имеем x′t

= a(1 −cos t),

y′t

x′t (t 0 )

= a sin t , следовательно,

t

t

y′t

a sin t

2 sin

cos

t

y′x (t 0 )= ctg π =1.

y′x

=

=

=

2

2

= ctg

Значит,

a(1 − cos t)

2

x′t

2sin

2 t

4

2

Пусть функция

y = f (x) дифференцируема на отрезке [a, b]. Значения

′

′

производной f (x), вообще говоря, зависят от x

, то есть производная f (x)

21

′′

′′

d2 y

dx 2 .

производной второго порядка и обозначается символом y ,

f (x)или

Итак, y′′ = (y′)′.

Производная от производной второго порядка, если она существует, на-

′′′

′′′

d3 y

зывается производной третьего порядка и обозначается y ,

f (x)или dx3 .

Производной n −го порядка от функции f (x) называется производная от

порядков.

(k = const).

ПРИМЕР 1.14. Дана функция y = ekx

Найти выражение ее производной любого порядка.

Решение: y′ = k ekx , y′′ = k 2 ekx ,

y′′′ = k3 ekx ,K, y(n ) = k n ekx .

ПРИМЕР 1.15. y = sin x . Найти y(n ).

π

Решение: y′ = cos x = sin x +

,

2

′

π

y′′ = (cos x) = −sin x = sin x +

2

2 ,

′

π

y′′′ = (−sin x) = −cos x = sin x +

2

3 ,

yIV = (−cos x)′

+

π

= sin x = sin x

2

4 ,

π

y(n ) = sin x + n

.

2

lim

y

′

x

= f (x). Тогда, по теореме о связи функции с ее пределом, можно за-

x→0

y = dy + α

x .

(1.14)

Отбрасывая бесконечно малую α

x более высокого порядка, чем x ,

получаем приближенное равенство

y ≈ dy,

(1.15)

или в развернутом виде

f (x +

′

x)−f (x)≈ f (x) x

′

(1.16)

x .

f (x + x)≈ f (x)+ f (x)

arctg(x +

x)≈ arctg x + (arctg x)′ x

arctg(x +

x)≈ arctg x +

x

.

+ x 2

Так как x +

1

x = 0,07 , получаем

x =1,07 , то, полагая x =1 и

arctg1,07 ≈ arctg1+

0,07

= π

+ 0,035 ≈ 0,82 .

1 +1

4

ПРИМЕР 1.18. Вычислить sin 310 .

Решение: Рассмотрим функцию f (x)= sin x . Для нее запишем формулу

(1.16): sin(x +

x)≈ sin x + cos x x . Полагая

x = 300 ,

x =10 =

π

рад

180

≈ 0,017 , получим

sin 310

≈ sin 300 + cos300 0,017 =

1

3

2 +

2 0,017

≈ 0,515.

Пусть имеем функцию y = f (x), где x − независимая переменная. Диф-

′

x . Здесь от x зависит

ференциал этой функции dy = f (x)dx есть функция от

′

f (x), второй множитель (dx) не зависит от x .

x = r cos t,

0 < t <

π

.

нениями:

2

y = r sin t,

′

′

Поскольку x = x(t), dx = x (t) dt; y = y(t),

dy = y (t) dt.

dy

r cos t dt

y′

=

=

= −ctg t, т.е. y′ = ϕ(t).

dx

− r sin t dt

′

′

1

)= −(ctg t) dt = sin 2 t dt,

d(y

d

2

y

′

)

1

dt

1

2

′′

d(y

sin

t

y

= d x 2

= dx

= − r sin t dt

= − r sin3 t .

′

производная f (x)= 0 в любой точке отрезка [a, b].

Если M ≠ m , то функция достигает хотя бы одно из значений M или m

во внутренней точке c (a, b), так как f (a)= f (b).

Пусть, например, значение M функция принимает в точке c (a, b), то

есть f (c)= M . Тогда для всех x (a, b) выполняется неравенство

f (x)≤ f (c).

(1.17)

′

Производная f (x) в точке c равна

′

lim

f (c + x)−f (c)

(1.18)

f (c)=

x

x→0

и, следовательно,

f+′ (c)≤ 0.

(1.19)

Если же x < 0, (то есть

x → 0 −), то

f (c + x)−f (c)

≥ 0

x

и, следовательно,

f−′ (c)≥ 0 .

(1.20)

Так как по условию функция дифференцируема в интервале

(a, b), то

f−′ (c)= f+′ (c)= f ′(c). Отсюда, с учетом (1.19) и (1.20), получаем f ′(c)= 0 .

′

В случае, когда f (c)= m , доказательство аналогичное.

Геометрически

теорема

Ролля

означает, что на графике

функции

y = f (x) найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику парал-

лельна оси 0x (рис. 1.8).

Теорема 1.6 (Лагранжа). Если функция y = f (x)

1. непрерывна на отрезке [a, b],

2. дифференцируема в интервале (a, b), то найдется хотя бы одна точка

c (a, b) такая, что

′

f (b)−f (a)

f (c)=

, c (a, b).

(1.21)

b −a

y

M

y

y

M

m

m

x

0

x

x

0

a

c

b

a

c

b

a

c1

c2 b

a)

б)

в)

Рис. 1.8

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

F(x)= f (x)−f

(a)− f (b)−f

(a)(x −a).

b −a

Легко проверить, что эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы

Ролля

(предлагаем проверить

это самостоятельно). Тогда

найдется точка

′

′

= f

′

f (b)−f (a)

, следовательно,

b −a

c (a, b), в которой F

(c)= 0

. НоF (x)

(x)−

′

′

f (b)−f (a)

= 0

′

f (b)−f (a)

, ч.т.д.

b −a

b −a

F (c)

= f (c)−

f (c)=

Из равенства (1.21) имеем

′

(1.22)

f (b)−f (a)= f (c)(b −a).

Полученную формулу называют формулой Лагранжа или формулой о

конечном приращении.

Формуле Лагранжа можно придать другой вид. Применив теорему Ла-

гранжа к отрезку [x; x +

x] (

x > 0), получим

′

x , c (x, x +

x) или

f (x + x)−f (x)= f (c)

f (x +

′

+ θ

x)

x ,

(1.23)

x)−f (x)= f (x

Теорема

Лагранжа

имеет

y

простой

геометрический

смысл

C

B

(рис.1.9). Отношение

f

(b)−f (a)

есть

угловой

b −a

f (b)−f (a)

′

коэффициент секущей AB, а f (c)−

угловой

коэффициент

касательной к

A

b −a

кривой

в точке

с абсциссой x = с.

Следовательно, на графике функции

y = f (x) найдется точка C(c;f (c)), в

0

a

c

b

x

которой

касательная

к

графику

функции параллельна секущей AB.

Рис. 1.9

Теорема

1.7

(Коши). Если

функции f (x) и g(x)

1. непрерывны на отрезке [a, b],

′

2.

дифференцируемы

в интервале

для

всех

(a, b), причем g (x)≠ 0

x (a, b), то найдется хотя бы одна точка c (a, b) такая, что

f (b)−f (a)

f

′

=

(c)

(1.24)

g(b)−g(a)

′

g (c)

Теорема доказывается аналогично теореме Лагранжа. Для этого доста-

точно рассмотреть вспомогательную функцию

F(x)= f (x)−f (a)−

f (b)−f (a)

(g(x)−g(a)).

g(b)−g(a)

Теорема 1.8 (Ферма). Пусть функция

f (x)

определена на

интервале

(a; b) и некоторой точке x 0

этого интервала имеет наибольшее или наимень-

шее значение. Тогда, если в точке x 0

существует производная, то она равна 0,

то есть f ′(x 0 )= 0 .

0

Теорема 1.9 раскрытие неопределенностей вида

.

0

ности точки x0

и обращаются в нуль в этой точке:

f (x0 )= g(x0 )= 0 . Пусть

′

′

f (x)

,

g (x)≠ 0 в окрестности точки x0 . Тогда, если существует предел lim

g′(x)

f (x)

f (x)

f ′(x)

x→x0

то существует и предел

lim

, причем

lim

= lim

.

g(x)

g(x)

x→x0

x→x0

x→x0

g′(x)

Доказательство. Применим к функциям f (x)

и g(x) теорему Коши для

отрезка [x0 ; x](

[x; x0 ]), лежащего в окрестности точки x0 . Тогда

f (x)−f (x

)

′

0

=

f (c)

, где c лежит между x0 и x .

g(x)−g(x0 )

′

g (c)

Учитывая, что f (x0 )= g(x0 )= 0 , получаем

f (x)

′

=

f (c)

(1.25)

g(x)

′

g (c)

При x → x0

величина c также стремится к x0 .

Перейдя в равенстве

(1.25) к пределу, получим

lim

f (x)

= lim

f ′(c)

= lim

f ′(x)

, ч.т.д.

g(x)

x→x0

c→x0

g′(c)

x→x0

g′(x)

Замечание. Теорема верна и в случае, когда функции f (x) и g(x) не оп-

ределены при x = x0 , но

lim f (x)= 0, lim g(x)= 0 .

x→x0

x→x0

Замечание. Если f ′(x0 )= ϕ′(x0 )= 0 и производные f ′(x) и g′(x) удов-

летворяют условиям теоремы, то применяя правило Лопиталя повторно, полу-

чим lim

f (x)

=

lim

f ′(x)

= lim

f ′′(x)

и т.д.

g′(x)

g′′(x)

x→x0

g(x)

x→x0

x→x0

Замечание. Теорема справедлива и в том случае, когда x → ∞.

ПРИМЕР 1.21. lim

ln(1 −3x)

=

0

= lim

(ln(1−3x))′

=

x→0

2x

0

x→0

(2x)′

= lim

−3

= −

3

.

x→0 2(1−3x)

2