Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

razdel4UMK

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

1.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

y′′′

(y′)′.

ПРИМЕР 2.27. z = ln(1 + e10x )+ arcctge5x ; dz x=0; dx=0,1.

(1 + e

10x

′

10e

10x

Решение. dz =

)

−

)

−

1 + e

10x

1 + e

10x

dx =

1 + e

10x

1 + e

10x dx =

=5e5x (2e5x −1)dx . Полагая x = 0 и dx = 0,1, получим dx = 0,25.

1+ e10x

2.6.ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Производной второго порядка функции y = f (x) называется производ-

ная от ее производной, т.е.

Вторая производная обозначается y′′ или f ′′(x). Если существует произ-

водная от второй производной, то ее называют третьей производной и обозначают f ′′′(x) или

f ′′′(x)= (f ′′(x))′.

Производной n − порядка называют производную от производной (n −1)− го порядка. Производную n −го порядка обозначают f (n )(x) или y(n )

f (n ) (x)= (f (n−1) (x))′.

Производная скорости по времени есть скорость изменения скорости, т.е. ускорение

a = ϑ′ = [S′(t)]′ = S′′(t).

Если функция задана параметрически, то производные y′x′x; y′x′′x x ;K вычисляются по формулам

y′′x x =	(y′	)′t		y′t′t x′t − x′t′t y′t
	x		=
				(x′t	)3
	x′t

y′x′′x x = (y′x′x′)′t x t

и т.д.

Дифференциалом второго порядка функции y = f (x) называется диф-

ференциал от дифференциала первого порядка: d2 y = d(dy).

Аналогично

определяется

дифференциал

третьего

порядка:

d3 (y)= d(d2 y)и в общем виде

dn y = d(dn−1y).

Если

y = f (x),

где x -

независимая

переменная, то

дифференциалы

высших

порядков

вычисляются

по

формулам

′′

;

y = y (dx)

d3 y = y′′′(dx)3 ,dn (y)= y(n )(dx)n .

ПРИМЕР 2.28. Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядков функции y = (2x −3)3 .

Решение. dy = 3(2x −3)2 2dx = 6(2x −3)2 dx ;

d2 y =12(2x −3)2dx 2

= 24(2x −3)dx 2 ;

d3 y = 24 2dx3 = 48dx3 .

′′′

ПРИМЕР 2.29. Найти f

(1), если f (x)= x

′

′′

(5 x

4 ′

Решение. f (x)=

5 x

; f

(x)=

= 20 x

;

′′′

)

′

′′′

f (x)= (20 x

(1)=

= 60.

) = 60 x

60 1

ПРИМЕР 2.30. Найти f (n ) (x), если f (x)= x α , где x > 0.

′

α−1

; f

′′

α−2

Решение. f (x)= α(x)

(x)= α(α −1)x

f (x)= α(α −1)(α − 2)x

α−3

Далее по индукции

′′′

y(n )(x)= α(α −1)(α − 2) K (α − n +1)x α−n .

ПРИМЕР

2.31.

Тело

движется

прямолинейно по закону

S =10 t 2 +3 t −1, где ρ− в метрах;

t − в секундах. Доказать, что движения

происходит под действием силы.

′

(10 t

+3 t −1)

= 20 t +3

Решение. Находим S (t)=

S′′(t)= (20 t +3)′ = 20 .

Это означает, что ускорение постоянно и равно 20 м/с. Так как по закону Ньютона действующая сила пропорциональна ускорению, то она постоянна.

ПРИМЕР 2.32. Найти y′x′x , если x = a cos3 t; y = a sin3 t .

Решение. y′x =

(a sin3 t)′t

3a sin 2 t cos t

= −tg t

(a cos3 t)′t

−3a cos2 t sin t

y′′x x =

(−tg t)′t

−sec2 t

(a cos3 t)′t

−3a cos2 t sin t

3a sin t cos4 t

ПРИМЕР 2.33. Найти дифференциалы второго и третьего порядков функ-

ции v = e2t .

Решение. dv = 2e2t dt ;

d2 v = 4e2t dt 2 ; d3 v = 8e2t dt3 .

ПРИМЕР 2.34. Найти дифференциалы второго и третьего порядков функ-

ции y = x(ln x −1).

′

Решение.

′

dy = (x (ln x −1)+ x(ln x −1) )dx

dy = (ln x −1 +1)dx dy = ln xdx .

dy = (ln x −1)+ x

d2 y = d(ln xdx)

d2 y =

2 ; d3 y = d(d2 y)

d3 y = d

dx 2

d3 y = −

dx3 .

x 2

2.7. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ

Пусть функции f (x) и ϕ(x)

дифференцируемы в δ−окрестности точки

′

x0 и ϕ (x)≠ 0 при всех x из этой окрестности, тогда, если

lim f (x)= lim ϕ(x)= 0

x→x0

или

т.е. частное

∞

или ∞, то

lim f (x)= lim ϕ(x)= ∞,

x→x0 x→x0

f (x)		принимает в точке x = x0 неопределенную форму					0
ϕ(x)		принимает в точке x = x0 неопределенную форму					0
ϕ(x)							0
		lim	f (x)	=	lim	f ′(x)
		lim	ϕ(x)	=	lim	ϕ (x)
	x→x0				x→x0	′

при условии, что существует предел отношения производных. f ′(x)

Если частное ϕ′(x) в точке x = x0 будет также неопределенностью вида

00 или ∞∞ и f ′(x) и ϕ′(x) удовлетворяют соответствующим условиям, то сле-

дует перейти к отношению вторых производных и т.д.

В случае неопределенности 0 ∞ или ∞ −∞ необходимо алгебраически преобразовать данную функцию так, чтобы привести к неопределенности вида

0	или	∞	и далее воспользоваться правилом Лопиталя.
0		∞

В случае неопределенности вида 00 или ∞0 или 1∞ следует прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.

Применяя правило Лопиталя, найти предел следующих функций.

ПРИМЕР 2.35. lim ln x . x→0 ctg x

∞

Решение. Здесь имеет место неопределенность ∞ . Применим правило Лопиталя, т.е. рассмотрим предел отношения производных заданных функций

ln x

sin 2 x

lim

= lim

ctg x

x→0

− x

−

sin 2 x

Последний предел дает неопределенность

. Снова применим правило

Лопиталя и получим lim

ln x

= lim

sin 2 x

= lim

2sin x cos x

= 0.

ctg x

x→0

ПРИМЕР 2.36. lim (x ctg 3x).

x→0

Решение. Здесь имеет место неопределенность вида 0 ∞. Записав дан-

ную функцию как дробь, имеем

lim

, получаем неопределенность

x→0 tg 3x

т.е.	воспользуемся	в	новом		выражении				правилом	Лопиталя
lim (x ctg 3x)= lim		x	= lim	1		=	1	.
lim (x ctg 3x)= lim		tg 3x	= lim	3		=		.
x→0	x→0	tg 3x	x→0	3			3

cos2 3x

ПРИМЕР 2.37. lim		6	−	1
					.
		− x 2		x +3
x→−3	9

Решение. В данном случае имеем неопределенность вида ∞ −∞. Приведя

выражение

скобках

к общему знаменателю,

получим

lim

6 −3 + x

9 − x 2

x +3

x→−3

= lim

. В результате имеем неопределенность вида

. Применив пра-

9 − x 2

x→−3

x +3

вило Лопиталя, находим lim

= lim

x→−3 9 − x 2

x→−3

− 2x 6

ПРИМЕР 2.38. lim x

1−x

x→1

Решение. В данном случае имеем неопределенность вида 1∞ . Обозначим

данную

функцию

через

т.е.

y = x

1−x

и прологарифмируем

ее

ln y = ln x1−x

ln x . Вычислим предел логарифма данной функции,

− x

применяя правило Лопиталя (имеем здесь неопределенность вида

ln x

lim ln y = lim

= lim

= −1, так как lim (ln y)= ln lim y , то

x→1

1 − x

x→1

−1

x→1

ln lim y = −1. Отсюда окончательно получаем lim y = e−1 .

x→1

xm −am

x→1

ПРИМЕР 2.39. lim

xn −an

x→a

Решение. В данном случае мы имеем неопределенность вида 00 и приме-

няя правило Лопиталя получим:

lim

x m −a m

= lim

mxm−1

m−n

x n −a n

nx n−1

x→a

ПРИМЕР 2.40. lim

1 −cos ax

1 −cos bx

x→0

a 2

Решение. lim

1 −cos ax

= lim

a sin ax

= lim

cos ax

1 −cos bx

cos bx

x→0

→0 b sin bx

x→0 b2

ПРИМЕР 2.41. lim x1+2 ln x

x→+0

Решение. В данном случае имеем неопределенность 00 . Преобразуем за-

данное выражение a = lim x

1+2 ln x

. Прологарифмируем обе части

x→+0

∞

ln a = lim ln x1+2 ln x =

lim

ln x =

= 6 lim

= 6

= 3

∞

x→+0

+ 2 ln x

x→+0

Искомый предел a = e3 .

ПРИМЕР 2.42. lim x x2 −1

x→1

Решение. В данном случае имеем неопределенность 1∞ . Обозначим дан-

ное выражение a = lim x x2 −1 . Прологарифмируем обе части

x→1

m ln x

ln a = lim ln x x

−1

= lim

= m lim

: 2x

x 2 −1

x→1

x→1 x

Значит искомый предел равен a = e 2 = em .

2.8. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

Формула Тейлора:

f (x)= f (a)+ f ′1!(a)(x −a)+ f ′′2!(a)(x −a)2 + f ′′′3!(a)(x −a)3 + +... + f nn(!a)(x −a)n + R n ,

где R n = (fnn++1 (1c))!(x −a)n+1 ,

где c - некоторое среднее значение между a и x , c = a + θ(x −a), 0 < θ <1 позволяет приближенно представить (аппроксимировать) произвольную функцию f (x) в виде многочлена, называемого многочленом Тейлора. Вместе с тем позволяет оценить возникающую при этом погрешность R n , которая во многих случаях может быть сделана сколь угодно малой.

ПРИМЕР 2.43. Представить функцию f (x)= 3 x в виде многочлена пятой степени относительно двучлена (x −1).

Решение. Вычислим значение функции f (x)= x 3 и ее производных до пятого порядка включительно при a =1:

f (1)=1;

′

−

′

′′

−

′′

;

3 ;

f (x)= 3 x

(1)=

f (x)= −9 x ;

f (1)= −9 ;

′′′

−

′′′

−

f (x)= − 81 x ;

f = − 81 ;

(x)= 27 x ;

f (1)= 27 ;

880

−

880

3 ;

243

Следовательно,

по

формуле

Тейлора

получим

3 x =1 + 1

(x −1)

−

(x −

1)2 +

(x −

1)3 −

(x −1)4

27 3!

81 4!

880

(x −1)5

+ R 5 ;

243 5!

f VI (ξ)

(x −1)6

12320

ξ−

(x −1)6 ,

где R 5

= −

1 < ξ < x .

729 6!

ПРИМЕР 2.44.

Вычислить с точностью до 10−3

приближенное значение

Решение.

Представим

заданный

корень

так

29 = 3

27 + 2 =

. Воспользуемся биномиальным разложением:

3 1 +

(1 + x)m

=1 +

x +

m(m −1)

x 2 +... +

m(m −1)...(m − n +1)

x n

+ R n ,

где

R n

m(m −1)...(m − n)

x n+1 (1 + θx)m−n−1 .

(n +1)!

Погрешность может быть сделана сколь угодно малой при

<1 и при

достаточно большом n . Полагая x =

m =

, получим

y = f (x), непрерывную на отрезке [a; b]. Извест-

						2			2	2		2	2	2 5				2	5	5
3	29				+			−			+						−
				3 1		81			81	81				3						4	+... + R n
													81					81
3		R1	<	3 2 2			< 0,002,				3		R 2		<	3 2 2 2 5						< 0,0003.


				812														813

Следовательно, для вычисления с заданной точностью достаточно взять три члена, которые предшествуют остатку R 2 , т.е.

3 29 3(1 + 0,024 −0,0006)= 3,072.

2.9. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ

Рассмотрим функцию

но, что f (x) на [a; b]принимает свое наибольшее и наименьшее значения. Если максимум (минимум) достигается на интервале (a; b), то в этой

точке имеет место экстремум. Поэтому для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a; b]необходимо:

1)найти критические точки на (a; b);

2)вычислить значения функции в найденных критических точках и в точках x = a , x = b ;

3)из этих значений выбрать наибольшее и наименьшее.

ПРИМЕР 2.45. Найти наибольшее и наименьшее значения		функции
y = 2x3 −9x 2 +12x −8 на [0;3]
Решение. Находим критические точки:
y′ = 6x 2 −18x +12 = 0; x 2 −3x + 2 = 0,	x1 =1,	x 2 = 2 ,
y(0)= −8, y(1)= −1, y(2)= −2 , y(3)= 3.

Наибольшее значение функции при x = 3 равно 3. Наименьшее значение функции при x = 0 равно -8.

Замечание. Если функция f (x) имеет в точке c (a; b) максимум (минимум) и не имеет в интервале (a; b) других экстремумов, то в точке c f (x) достигает наибольшего (наименьшего) значения на отрезке [a; b] (рис.2.1). Это освобождает нас от вычисления значения функции в граничных точках отрезка.

b x

Рис. 2.1

Замечание. В помощью теории максимума и минимума решаются различные оптимизационные задачи.

ПРИМЕР 2.46. Из круглого бревна нужно вырезать балку наибольшей прочности. Прочность прямо пропорциональна ширине и квадрату толщины.

Решение.	Пусть d - диаметр бревна,	x - ширина, y - толщина,
d2 = y2 + x 2 ;	y2 = d2 − x 2 ; p - прочность,

p = kxy2 = kx(d2 − x 2 )= k(d2 x − x3 ).

Тогда надо найти наибольшее значение функции p(x)= k(d2 x − x3 ) на отрезке [0; d]:

′

- критическая точка;

p (x)= k(d −3x ),

(x)= 0. Отсюда x 0

p′′(x)= −6kx ,

p′′(x 0 )= −6k

< 0 . Значит, в точке x 0 - максималь-

ное значение функции p(x)

на промежутке [0; d].

y0 = d2 − x02 = d

2 ,

y0 = 2 .

ПРИМЕР 2.47. Найти такой цилиндр, который бы имел наибольший объ-

ем при данной полной поверхности S.

x , а

высота равна y. Тогда

Решение. Пусть

радиус основания

S = 2πx

+ 2πxy, т.е.

S − 2πx 2

1 S

y =

− 2πx .

Следовательно, объем

2πx

цилиндра выразится так

2π x

V = V(x)= πx

− 2πx =

− πx

2π

Исследуем

функцию

V(x) на

максимум

при x > 0. Найдем

−3πx 2

и приравняем ее к нулю, отсюда x =

S .

d2 V

6π

Найдем вторую производную:

= −6πx .

dx 2

d2 V

Так как при x =

выполняется условие

< 0 , значит объем име-

6π

dx 2

y = S − 2π

ет наибольшее значение при

6π = 2

= 2x , т.е. осевое сече-

2π

6π

ние цилиндра должно быть квадратом.

2.10.ОБЩАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ

ИПОСТРОЕНИЕ ЕЕ ГРАФИКА

Общее исследование функции и построение ее графика рекомендуется выполнять по следующей схеме:

1.Найти область определения функции.

2.Проверить заданную функцию на четность и нечетность.

3.Проверить периодичность функции.

4.Определить точки пересечения с осями координат, определить промежутки знакопостоянства функции.

5.Определить интервалы непрерывности и точки разрыва.

6.Найти асимптоты и определить поведение функции при x → ±∞.

7.Найти интервал монотонности функции и точки экстремума с помощью первой производной.

8.Найти интервалы выпуклости и точки перегиба с помощью второй производной.

9.Определить область значений функции.

10.Построить график функции.

ПРИМЕР 2.48. Построить график функции y =	x 2		.
	x +	1

Решение. Прежде чем построить график этой функции, проведем полное исследование ее поведения.

1) Здесь D(y)= (−∞;−1)U(−1;+∞).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.20151 Mб59razdel2kim.pdf
#
17.03.20151.08 Mб32razdel2UMK.pdf
#
17.03.2015780.33 Кб33razdel3kim.pdf
#
17.03.20151.22 Mб88razdel3UMK.pdf
#
17.03.2015768.02 Кб25razdel4kim.pdf
#
17.03.20151.03 Mб39razdel4UMK.pdf
#
17.03.201569.38 Кб33rechev_kommun.docx
#
26.11.201874.24 Кб6ref-23736.doc
#
29.07.2019143.87 Кб6Referat Istoria.doc
#
17.03.201573.51 Кб161Referat.docx
#
06.03.201641.23 Кб89REFERAT.docx