razdel4UMK

1. Найти уравнение касательной и нормали:

а) к гиперболе y =

x +1

в точке A(2;3);

x −1

б) к кривой y = x3 + 4x 2 −1 в точке с абсциссой x0

=1;

в)

к

параболе y = x 2 − 4x + 4

в точках, ординаты

которых

равны

единице.

2.

Найти угол наклона к оси 0x касательной, проведенной к гиперболе

2

2

3

x − 4y

2 2;

=1 в точке A

2

.

3.

Составить

уравнение

касательной

к

окружности

x 2 + y2 − 2x − 2y −3 = 0 в точке ее пересечения с осью 0x .

4.

Из

точки A(−1; −5),

не лежащей на параболе

y = x 2 −3x −8,

провести касательные к ней.

1

−

5.

Составить уравнение касательной, проведенной из точки A 0;

к

2

9. Составить уравнение касательной к окружности

x 2 + y2 = 32

перпендикулярно прямой x + y + 4 = 0.

2

10. Составить уравнение касательной к кривой x = t

−1

в точке

y = t 2 + t −3

M(3; −1).

x = 2 cos t

в

11. Найти уравнения касательной и нормали к кривой

4sin t

y =

12.

Составить

уравнения

касательной и

нормали к кривой

2

x = t

−3t +3

в точке M(1; −1).

y = t 2 − 4t +3

3

2

13. Найти точки кривой x =

2 t

−9 t

+12 t

, в которых касательная

параллельна оси 0y.

y = t 2 − t +1

14. Точка движется по оси абсцисс по закону

x =

1

(t 4 = 4 t3

+ 2 t 2 −12 t), где x − в метрах; а t − в секундах.

4

m V

2

через 2 с после начала движения.

Найти кинетическую энергию тела

2

1. y =

10

;

2. y =

1

x 2 (2 ln x −1);

x +3

2

y =

1

2

1− x

2

+

1 − x

2

4.

y = x ln(x + x 2 + a 2 );

3.

3 x

;

5.

y = 2 x sin 3x −3 x cos 2x;

6.

y =

1 − x

2

arcsin x;

y = x x ;

t ;

7.

8.

x = arccos

y = t − t 2

9.

x = a(t −sin t)

;

−cos t)

10. y = x

tg x

.

y = a(1

1.

y =1− x 2 − x 4 ;

2.

y = x3 ln x;

3.

y = arctg x;

4.

y = (x 2 +1)3 ;

5.

y = cos x;

6.

y =

1

;

1

− x

1+ x

8.

y = (2x +1)3 2x +1;

7.

y =

;

1− x

9.

y = 3 x ;

10. y = cos4 x .

1.

y = e−x ;

2.

y = x ex ;

3.

y = loga x;

4.

y = sin 2 x;

5.

y = eαx ;

6.

y = sin ax + cos bx;

7.

y = x ln x;

8.

y =

1

;

ax + b

9.

y = sin 4 x ;

10. y = cos4 x .

3.2.9. Найти дифференциалы следующих функций.

1

2.

y = sin 2 x;

1.

y =

;

x 2

3.

y = arctg 3x;

4.

y =

x + 2

;

x −1

y =

x2

1

5.

y = ex cos x;

6.

5

arcsin

;

x

7.

y = ln (1 + x 2 );

8.

y =

(tg x )

;

x

9.

y = ln3 sin x

10. y = 5sin x

1.

4 17 ;

2.

3 26,97 ;

3.

lg10,08 ;

4.

0,963 ;

5.

tg 460 ;

6.

arcsin 0,48;

7.

ln (1,01);

8.

cos320 ;

9.

e0,2 ;

10. arctg 0,99 .

значений x 0

и

x .

1.

y =

x

при x 0 = 9

и

x = 0,2

2.

y =

1

при

x 0

= 2

и

x = 0,01

x −1

3.

y = x 2 − x

при

x0

=10 и

x = 0,01.

4.

В результате измерения радиуса круга допущена ошибка в 1%.

Показать, что

при

вычислении

площади круга по формуле ρ = πr 2 ,

погрешность составит 2% от площади.

5.

На сколько приближенно изменится ребро куба, если объем его

изменится с 27 м3 до 27,2 м3 .

ex +sin x

1

1

1.

lim

;

2. lim

−

;

x→∞

x +sin x

−1

x→1 x

ln x

lim

1

−ctg

2

ln(1 + x 2 )

3.

x ;

4. lim

;

cos3x −e−x

x→0

x 2

x→0

1

1

tg x

5.

lim

tg x −

;

6. lim

;

x→π

1 −sin x

x→0

x

2

x tg

πx

8. lim

x

2

cos x

;

2 a

7.

lim

2 −

;

x→0

cos x −1

x→a

a

π

1

10. lim (tg x)sin 2x ;

x

9.

lim

;

x→

π

2

−arctg x

2

x→∞

11. lim (sec x − tg x);

12. lim (1− x)tg

π

x;

x→

π

2

2

x→1

13. lim x

x 2

;

14. lim

ln (1 + x)

;

x→∞

x

x→∞

15.

lim x2e−x ;

16. lim x x ;

x →+∞

x →0

1

x

3

− x

2

17. lim (cos x)

;

18. lim

;

x

5x3 − 2x 2

+

x→0

x→∞

1

3

x10 − 2x

+

1

19. lim

sin x x

;

20. lim

.

x→1 x 20 −5x

+

4

x

x→0

3.2.13. Построить графики функций.

(x +1)3

1. y =

(x −1)2 ;

2. y = (x −5) 3 x 2 ;

3. y = (2 + x)e−x ;

4.

y =

x

;

1 + x 2

5.

y =

x

;

6.

y = x 2e−x ;

ln x

7. y =

ln x

;

8.

x

y = x 2 +1 + x 2 −1;

9.

y = x − 2arctg x ;

10. y =

(x

−1)2

.

(x

+1)2

ОТВЕТЫ

3.2.1.

1.

3

−

8

−

9

55

x 2

x3

x 4

4.

arctg x

3

x +1

(x +1)2

+

+ x 2

33

1

5.

1

+ loga x sin x

+ arccos x −

x

x ln a cos x

cos2 x

1 − x 2

6.

1

2 x ( x +1)2

9.

3ln2 arctg x

arctg(1 + x 2 )

10.

3tg2 2x

cos2 2x

tg3 2x + 2

11.

ln(1+ x

2 )+

(1 + x

x 2

2 ) ln(1+ x 2 )

12.

sin 2 (1 − 2x 2 )+ x 2 cos x 2 (1 − x 2 )

(1 − x 2 )sin x 2

13.

1−cos 2x

2x −sin 2x

1

x +1

14.

+

x +1+ x 2 + 2x +

1

x 2 + 2x

3

+3

15.

1

3

3 − x 2

16.

4a3 x

a 6 − x 4

ctg

2

x

17.

−

3

sin

2

x

3

18.

−

3x 2 tg

1 + x3

2 1

+ x3 ln 7

19.

−9 103−sin3 3x sin 2 3x cos3x ln10

20.

1

2

1+ x 2

21.

−9 ln10 103−sin3 3x sin 2 3x cos3x

1.

x

y +1

2.

−

sin(x + y)

sin(x + y)−1

3.

−

y

x + cos ec2 y

4.

(x + y)2

5.

−

3x 2 − 2xy2

3y2 − 2x 2 y

6.

y2

x 2 + xy

15.

yx − y2

y2 − x 2

xy ln x y2 − x 2 + x 2

17.

y2 sin(x − 2y)−3x 2 y + 7y2

2y2 sin(x − 2y)− x3

18.

x 2 yexy − y +3x 2 sin 3x

x − x3eyx

19.

y cos(xy)− ysin(xy)

x sin(xy)+ 2y − x cos(xy)

20.

cos(x − 2y)−3x 2

3y2 + 2 cos(x − 2y)

sin 2x

sin 2x

2.

2 cos 2x ln x +

x

x

tg2x

ln x

tg 2x

3.

(

x )

+

2x

cos2 2x

(cos x)

3 x

ln cos x

3

4.

−

3

x

2

x tg x

3

7.

(arctg x) x2 +1

1

x ln arctg x +

x 2 +1

arctg x

1

arcsin x

ln x

arcsin x

8.

−

1− x 2

+

x

x

3

6

7

1

11.

(2x −5) (7x

−1)(x −3)

+

+

2x −

5

7x −1

x −3

4

5

3

12

10

3

12.

(3x − 4)

(2x

+ 7) (x

− 2)

+

+

2x

+ 7

x

3x − 4

− 2

13.

5 (x + 2)

2

(x

2

−

3

2

+

6x