Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

razdel4UMK

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

1.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

1.20. АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ

Очень часто приходится исследовать форму кривой y = f (x) при неограниченном возрастании по абсолютной величине абсциссы или ординаты пере-

y		менной точки кривой. При этом
y		важным случаем является тот слу-
		важным случаем является тот слу-
		чай, когда исследуемая кривая при
		удалении ее переменной точки в
		бесконечность неограниченно при-
		ближается к некоторой прямой. Та-
0		кие	прямые называют асимпто-
0	x	тами. Существуют три вида асим-
	x	птот: вертикальные, горизонталь-
		ные и наклонные.
			ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.16. Пря-
		мая	x = x0 называется вертикаль-
Рис. 1.18		ной	асимптотой графика функции
		y = f (x), если хотя бы один из од-
		y = f (x), если хотя бы один из од-

носторонних пределов функции в этой точке равен бесконечности, то есть

lim

f (x)= ∞ или

lim

f (x)

= ∞.

x→x0 −0

x→x0

Например, кривая

y =

имеет

вертикальную

асимптоту x = 2, так

как

x − 2

lim

= −∞ и

lim

= +∞ (рис. 1.18).

x − 2

x −

x→2−0

x→2+0

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.17. Прямая y = A называется горизонтальной асим-

птотой

графика

функции

y = f (x) при

x → +∞ (или x → −∞),

если

lim

f (x)= A .

x→+∞

(x→−∞)

В рассмотренном выше примере прямая y = 0 является горизонтальной

асимптотой, так как

lim

= 0.

− 2

x→+∞

(x→−∞)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.18. Прямая y = k x + b (k ≠ 0) называется наклон-

ной асимптотой графика функции y = f (x)

при x → +∞ (или x → −∞), ес-

ли функцию f (x) можно

представить в

виде f (x)= k x + b + α(x),

где

α(x)−б.м.ф, то есть

lim

α(x)= 0.

x→+∞ (x→−∞)

Укажем способ отыскания наклонной асимптоты y = k x + b. По

определению f (x)= k x + b + α(x)

f (x)

= k +

α(x)

. Переходя

в этом равенстве к пределу при x → +∞ (x → −∞) получим

k = lim

f (x)

или k =

lim

f (x)

x→+∞

x→−∞

Для определения b найденное значение k

подставляем в

равенство

f (x)− k x = b + α(x) и снова переходим к пределу, получим

b = lim

[f (x)− k x]или b = lim [f (x)− k x].

x →+∞

x→−∞

Если хотя бы один из указанных выше пределов не существует или равен бесконечности, то кривая y = f (x) наклонной асимптоты не имеет.

ПРИМЕР 1.32. Найти асимптоты графика функции y = x ex .

Решение. Так как k = lim

x ex

= lim ex

= +∞,

то график функции

x→+∞

при x → +∞ наклонной асимптоты не имеет.

k = lim

x ex

= lim ex = 0 ,

x→−∞

b = lim (x ex

− 0 x)= lim x ex =

lim

∞

= lim

x′

(e−x )′

x→−∞

x→−∞ e−x

∞

x→−∞

= lim

= 0. Следовательно,

при

x → −∞ график имеет горизонталь-

x→−∞ −e−x

ную асимптоту y = 0 .

1.21. ОБЩАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ

Исследование функции y = f (x) целесообразно вести в следующей последовательности.

1.Найти область определения функции.

2.Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат.

3.Выяснить четность и нечетность функции.

4.Найти асимптоты графика функции.

5.Найти интервалы монотонности функции.

6.Найти экстремумы функции.

7.Найти интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика функции.

8.На основании проведенных исследований построить график функции.

ПРИМЕР 1.33. Исследовать функцию y =	x	и построить ее график.
	− x 2
1
Решение: 1. D(y)= (−∞;−1)U(−1;1)U(1;+∞).

2. Если x = 0, то y = 0 . График пересекает ось 0y в точке O(0;0). Если

y= 0 , то x = 0, следовательно, график пересекает ось 0x в точке O(0;0).

3.Функция является нечетной, так как

y(− x)=	− x	= −	x	= −y(x). Следовательно, график функции
	−(− x)2		− x 2
1		1

симметричен относительно начала координат.

4. Прямые x = −1 и x =1 являются вертикальными асимптотами:

lim y =

lim

= +∞, lim

y =

lim

= −∞,

1 − x 2

x→−1−0

x→−1−0 1 − x 2

x→−1+0

lim

y = lim

= +∞,

lim

y = lim

= −∞.

1 − x 2

x→1−0

x→1+0

→1+0 1 − x 2

Найдем наклонные асимптоты

f (x)

k = lim

= lim

1 − x 2

= lim

= 0 ,

− x 2

x→+∞

аналогично k = 0 при x → −∞

b = lim

−0 x

lim

= 0.

− x 2

x→+∞

1 − x

→+∞

(x→−∞)

Следовательно, есть горизонтальная асимптота y = 0 .

5. Найдем интервалы возрастания и убывания функции

′

1 − x 2 − x (− 2x)

x 2 +1

y′ =

(1 − x 2 )2

− x 2

Отсюда

видно,

что y′ > 0

области

определения

функции, поэтому

функция является возрастающей на каждом интервале области определения.

6. Исследуем функцию на экстремум. Так как y′ =	x 2 +1	, то критиче-
	(1− x 2 )2

скими точками являются точки x1 = −1, x 2 =1 ( y′ не существует), но они не входят в область определения функции. Функция экстремумов не имеет


7. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой
	x	2		′		2x(x	2	+3)
y′′ =	x		+1		=	2x(x		+3)	.
y′′ =	(1 − x 2 )2				=	(1 − x 2 )3			.

−1

Рис. 1.19

Вторая производная равна нулю или не существует в точках x1 = −1,

x 2 = 0, x3 =1.При

x (−∞;−1) y′′ > 0 − кривая вогнутая; при x (−1;0) y′′ < 0 − кривая выпуклая; при x (0;1) y′′ > 0 − кривая вогнутая;

при x (1;+∞) y′′ < 0 − кривая выпуклая Точка O(0;0) является точкой перегиба. График исследуемой функции изображен на рис. 1.19.

1.22.ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

1.22.1.Формула Тейлора для многочлена

Рассмотрим многочлен степени n :

Pn (x)= a 0 + a1x + a 2 x 2 +K+ a n x n			(1.27)
Дифференцируя последовательно n раз, получим
Pn′ (x)= a1 + 2a 2 x +3a3x 2 +K+ na n x n−1,
Pn′′(x)=1 2a 2 + 2 3a3x +K+ (n −1)n a n x n−2 ,
Pn′′′(x)=1 2 3a3 +K+ (n − 2)(n −1)n a n x n−3 ,
K K K K K K K K KK K K K,
P(n ) (x)=1 2 3 Kn a	n	.
n

Положим во всех равенствах x = 0, тогда найдем

a 0 = Pn (0), a1 =

Pn′(0)

, a 2

Pn′′(0)

,K, a n

Pn(n )(0)

(1.28)

Подставив найденные значения коэффициентов a 0 , a1,K, a n

в равенство

(1.27), получим

Pn (x)= Pn (0)+

Pn′(0)

x +

Pn′′(0)

x 2

+K+

Pn(n )(0)

x n .

(1.29)

Формула (1.29) называется формулой Маклорена для многочлена.

Получим теперь разложение многочлена по степеням

(x − x0 ),

где x0 −

произвольное число. Пусть

Обозначим x − x0

= t

x = x0 + t . Тогда

Pn (x)= Pn (x0 + t)=

n (t) и

n (t)= b0 + b1 t + b2 t 2 + b3t3 +K+ bn t n

(1.30)

С учетом формул (1.28) получим

′n (0)

, b

2 =

″n (0)

,K,

(nn )(0)

b0 =

n (0), b1 =

bn =

n (t)= Pn (x0 + t),

′n (t)= Pn′ (x0 + t),K,

(nn )(t)= Pn(n )(x0 + t)

Но

Следовательно,

b0 = Pn (x0 ),

P′n (x

)

P″n (x

)

P(n )(x

)

b1 =

, b2

,K,

bn =

(1.31)

Подставив коэффициенты (1.31) в разложении (1.30), получим

(x)= P

Pn′(x0 )

(x − x

Pn′′(x0 )

(x − x

+K+

P(n )(x

)

(1.32)

(x − x0 )n .

Формула (1.32) называется формулой Тейлора для многочлена.

При x0 = 0 получаем частный случай формулы Тейлора – формулу Маклорена.

1.22.2. Формула Тейлора для произвольной функции

Пусть функция f

(x)

определена в некоторой окрестности точки x0 и

имеет в ней производные до (n +1)− го порядка включительно.

Тогда по аналогии с формулой (1.32) для функции f (x) можно построить

многочлен

P (x)= f (x

f ′(x0 )

(x − x

f ′′(x0 )

(x − x

)2 +K+

f (n )(x

)

(1.33)

− x0 )n .

Многочлен Pn (x) можно рассматривать как некоторое приближение (аппроксимацию) данной функции. Обозначая через R n (x) соответствующую ошибку (так называемый остаточный член), будем иметь

f (x)= Pn (x)+ R n (x), или в развернутом виде


f (x)= f (x0 )+		f ′(x0 )				(x − x0 )+	f ′′(x0 )	(x − x0 )2	+K+
f (x)= f (x0 )+						(x − x0 )+		(x − x0 )2	+K+
	f (n )(x			1!		2!			(1.34)
				)					(1.34)
+			0	)	(x − x0 )n + R n (x).
+	n!				(x − x0 )n + R n (x).
	n!

Формула (1.34) называется формулой Тейлора для функции f (x).

Для остаточного члена получена формула

R n (x)=	f (n+1) (c)	(x − x0 )	n+1	,	(1.35)
	(n +1)!

где c = x0 + θ(x − x0 ), 0 < θ <1.

Формулу (1.35) называют остаточным членом формулы Тейлора в

форме Лагранжа.

При x0 = 0 получаем формулу Маклорена:

f (x)= f (0)+

f ′(0)

x +

f ′′(0)

+K+

f (n )(0)

f (n+1) (c)

n+1

(1.36)

(n +1)! x

где c = θx, 0 < θ <1.

1.22.3. Разложение по формуле Тейлора некоторых элементарных функ-

ций

1. Разложение функции f (x)= ex .

f (x)= ex , f (0)=1,

′	x	′
f (x)= e		, f (0)=1,
′′	x	′′
f (x)= e		, f (0)=1,
K K K K L,

f (n )(x)= ex , f (n )(0)=1.

Подставляя полученные выражения в формулу (1.36), получаем

ex =1 +

x 2

+K+

x n

+ R n (x),

где R n (x)=

x n+1

eθx ,

0 < θ <1.

(n +1)!

2. Разложение функций f (x)= sin x,

cos x .

f (x)= sin x,

f (0)= 0,

f ′(0)=1,

f ′(x)= cos x = sin x +

f ′′(0)= 0,

f ′′(x)= −sin x = sin x +

f ′′′(0)= −1,

f ′′′(x)= −cos x = sin x

f IV (0)= 0,

f IV (x)= sin x = sin x + 4

K K K K K K K K K K K,

f (n )

(0)

= sin

πn

0, при n = 2k,

f (n )(x)= sin x + n

(−1)k , при n = 2k +1.

sin x = x −

−K+ (−1)n

x 2n+1

+ (−1)n+1

x 2n+3

cos θx .

(2n +1)!

(2n +3)!

(x)= cos x :

Аналогичным образом получается разложение функции f

cos x =1−

x 2

x 4

−K+ (−1)n

x 2n

+ (−1)n+1

x 2n+2

cos θx .

(2n)!

(2n + 2)!

УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

РАЗДЕЛ 4 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ

ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»

2. Методические указания для студентов

2.1. ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

Пусть

функция

y = f (x) определена

на

интервале

(a, b). Разность

x = x − x0

называется приращением аргумента в точке

x0 (a, b). Раз-

ность f (x0 )= f (x0 + x)−f (x0 )

называется

приращением

функции в

точке x0 .

f (x0 )

Если существует конечный предел lim

= f ′(x

0 ), то он называ-

x→0

ется производной функции f (x) в точке x0 .

Отыскание производной называется дифференцированием функции.

Формулы дифференцирования основных элементарных функций

1. (x n )′ = n x n−1

2. (a x )′ = a x ln a

3. (ex )′ = ex

4. (loga x)′ =

x ln a

′

6. (sin x)′

= cos x

5. (ln x) =

7. (cos x)′ = −sin x

′

8. (tg x) =

cos 2 x

= sec

10. (arctg x)′ =

9. (ctg x)′ = −

= −cos ec2 x

sin 2 x

1 + x 2

′

11. (arcctg x)= −

12. (arcsin x)

1 + x 2

1 − x 2

′

−e

−x

′

13. (arccos x) = −

1 − x

14. (sh x)

= ch x

′

+ e

−x

′

sh x

′

15. (ch x)

= sh x

16. (th x)

ch x

′

ch x

′

17. (cth x)

sh x

Основные правила дифференцирования

Пусть С = сonst; U = U(x); V = V(x)− функции, имеющие производные. Тогда

1. (С)′ = 0

2. (СU)′ = C U′

3. (U ± V)′ = U′± V′

4. (U V)′ = U′ V + U V′

U ′

U′V − U V′

6. Если y = f (U)

и U = U(x)− дифференцируемые функции, то слож-

ная функция y = f (U(x)) также дифференцируема, причем

y′x = y′U U′x .

Исходя из определения производной, найти производные следующих

функций.

ПРИМЕР 2.1. y =

2x −1.

y = y(x +

x)− y(x)=

Решение.

Найдем

приращение

функции

= 2(x +

x)−1 −

2x −1.

Тогда

y =

2x + 2

x −1 −

2x −1

y′ = lim

y =

lim

2x + 2

x −1 −

2x −1

x→0

= lim

(

2x + 2

x −1 −

2x −1)(

2x + 2 x −1 +

2x −1)=

2x + 2 x −1 + 2x −1)

x→0

= lim

1 .

x→0

2x + 2 x −1 + 2x −1

2x −1

Таким образом y

′

−1 .

ПРИМЕР 2.2. y = −ctgx − x .

y = −ctg(x +

x)−(x +

x)+

Решение. Найдем приращение функции

+ ctg x + x = ctg x −ctg(x +

x)− x .

sin(β−α)

Воспользуемся формулой ctg α −ctgβ =

. Тогда

sin αsin β

sin(x +

x − x)

sin

−

y =

−

x =

sin x sin(x +

sin x sin(x + x)

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.20151 Mб59razdel2kim.pdf
#
17.03.20151.08 Mб32razdel2UMK.pdf
#
17.03.2015780.33 Кб33razdel3kim.pdf
#
17.03.20151.22 Mб88razdel3UMK.pdf
#
17.03.2015768.02 Кб25razdel4kim.pdf
#
17.03.20151.03 Mб39razdel4UMK.pdf
#
17.03.201569.38 Кб33rechev_kommun.docx
#
26.11.201874.24 Кб6ref-23736.doc
#
29.07.2019143.87 Кб6Referat Istoria.doc
#
17.03.201573.51 Кб161Referat.docx
#
06.03.201641.23 Кб89REFERAT.docx