Лекция 14
Закон больших чисел. Неравенства Маркова и Чебышева. Теорема Чебышева и ее обобщения. Теоремы Бернулли и Пуассона. Усиленный закон больших чисел Закон повторного логарифма. Центральная предельная теорема. Теорема Ляпунова. Теорема Леви-Линдеберга. Теоремы Муавра-Лапласа.
11. Закон больших чисел
При изучении теории вероятностей приходится использовать понятия случайного события и случайной величины. При этом нельзя уверенно заранее предсказать результат испытания, в котором может появиться или не появится то или иное событие. Однако при неоднократном повторении испытаний могут наблюдаться определенные закономерности. Суть этих закономерностей заключается в свойстве устойчивости: некоторые характеристики случайных событий и случайных величин при неограниченном увеличении числа испытаний становятся практически не случайными.
Например, любой газ состоит из огромного числа молекул, находящихся в непрерывном хаотическом движении (броуновском движении). Про каждую отдельную молекулу нельзя сказать, с какой скоростью она будет двигаться и в каком направлении. Однако основные характеристики газа – давление, температура, вязкость и др. – определяются не замысловатым поведением одной молекулы, а их совокупным действием. Так, давление газа равно суммарному воздействию молекул, ударившихся о пластину единичной площади в единицу времени. Число ударов и скорости ударившихся молекул меняются от случая к случаю, однако в силу "закона больших чисел" давление – величина постоянная, что подтверждается в физических экспериментах с очень большой точностью. В свое время это даже служило одним из аргументов против молекулярного строения вещества. Так называемые "флуктуации" давления газа удалось наблюдать только тогда, когда научились изолировать сравнительно небольшие количества молекул.
Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к неслучайному результату. Эти условия указываются в теоремах, носящих название предельных. По смыслу их можно разбить на две группы, одна из которых называется законом больших чисел, а другая – центральной предельной теоремой.
Под законом больших чисел не следует понимать какой-то один общий закон, связанный с большими числами. Закон больших чисел – это обобщенное название нескольких теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным величинам. Другими словами, закон больших чисел – это общий принцип, в силу которого совместное действие случайных факторов приводит при весьма общих условиях к результату, почти не зависящему от случая.
Теоремы закона больших чисел касаются вопросов приближения некоторых случайных величин к определенным предельным значениям, независимо от их закона распределения. Другая группа теорем, относящихся к центральной предельной теореме, устанавливают связь между законом распределения суммы случайных величин и нормальным распределением. Различные формы центральной предельной теоремы отличаются между собой условиями, накладываемые на сумму составляющих случайных величин.