6 курс / Медицинская реабилитация, ЛФК, Спортивная медицина / Геронтология_in_polemico_Мушкабаров_Н_Н_
.pdf
160
просто в том, что в конце жизни популяции умирать в ней уже почти некому!
д) К зависимости M(t) мы ещё вернёмся (ведь именно она фигурирует в формуле Гомперца-Мейкема!), а пока обратимся к последней характеристике, представленной на рис. 1.10.
6. Зависимость 1/M(t), или каж-Жс (t).
а) Речь идёт о величине, обратной силе смертности, которая была
-использована Гомперцем в уравнении (1.42,а) для обоснования формулы (1.41), точнее, первого её члена (1.42,б),
-и идентифицирована нами как кажущаяся жизнеспособность.
б) Ясно, что коль скоро M по мере старения популяции круто возрастает, то 1/M должна так же круто снижаться. Это, в основном, мы и наблюдаем в 6-м столбце табл. 1.8 и на рис.1.10,г.
в) Однако примечательно, что на уровне 1/M наиболее наглядно видны особенности ранних возрастов, которые
-совершенно нивелированы на уровне силы смертности M,
-слабо заметны на уровне численности популяции n
-и более-менее выражены на уровне скорости убыли популяции v.
г) I. И вглядимся в конкретные значения 1/M: где-то с 5 до 40-45 лет они (эти значения) намного превышают пределы человеческой жизни, составляя по несколько сотен лет.
II. Это никоим образом не свидетельствует об истинных возможностях человеческого организма, как бы ни хотелось обрадовать мир потрясающей новостью.
Настоящие возможности определяются значениями ЖП (жизненного потенциала, вряд ли превышающего 120-150 лет) и не бóльшими значениями Жс (истинной жизнеспособности).
III. Те же неправдоподобно большие времена, которые рассчитываются как 1/M,
– обещанная иллюстрация кажущейся жизнеспособности, которая может так разительно отличаться от истинной.
1.6.3.4.От зависимости lnM (t) – к формуле Гомперца и далее
1.Линейная зависимость lnM от t.
а) Итак, мы увидели, как меняются в стареющей популяции четыре её характеристики. Наиболее монотонной оказалась третья из них – сила смертности, M. Очевидно, поэтому именно для неё-то и была подобрана главная формула геронтологии – формула Гомперца-Мейкема.
|
|
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
90 |
100 |
t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
годы |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
1 |
3 |
|
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
17 |
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln M
Рис.1.11. Зависимость lnM от возраста
б) Действительно, если от M перейти к её логарифму (5-й столбец табл.1.8 и рис. 1.11), то после 25-30 лет получаем почти идеальную прямую линию; коэффициент корреляции lnM с возрастом чуть ли не запредельный: 0,991 (с 25 лет) – 0,994 (после
30лет).
2.Переход к формуле Гомперца.
а) На этом основании можно сразу записать:
ln M ≈ α·t + C, где C = ln Mo , (1.43)
откуда и следует ф-ла Гомперца:
M ≈ Mо× e α·t. |
(1.44) |
161
б) Что касается поправки Мейкема (дополнительной константы В), то она из (1.43) никак не выводится. Да, по существу, и не должна выводиться, поскольку не связана с возрастом популяции, а представляет собой т.н. фоновую составляющую смертности, заданную особенностями тех условий, в которых живёт популяция.
3. Да,.. но, однако...
а) Таким образом, выражение Гомперца, вроде бы, очень неплохо описывает возрастную динамику силы смертности.
б) Но обращу внимание на то, что высокая корреляция с возрастом отмечена не столько для самой силы смертности, сколько для её логарифма.
в) Это важно потому, что логарифмы чисел отличаются между собой в гораздо меньшей степени, чем сами числа. Простой пример: числа 10000 и 100000 различаются в 10 раз, а их десятичные логарифмы (соответственно, 4 и 5) – только в 1,25 раза.
Поэтому на графике в координатах lnM, t экспериментальные точки могут находиться близко друг с другом, а на графике в системе M, t – далеко «разлететься».
Образно говоря, логарифмический масштаб приближает мышь вплотную к кошке, а кошку – к тигру.
г) Так что вышеприведённое экспериментальное (имеется в виду наш численный эксперимент), а также эмпирическое (на основании статистических таблиц) обоснование формулы Гомперца ещё нельзя считать исчерпывающим и снимающим все сомнения.
4. От формулы Гомперца – к зависимостям n(t) и v(t).
а) Однако оставим пока сомнения при себе и найдём в явном виде те зависимости n(t) и v(t), которые следуют из уравнения Гомперца.
б) Как ни странно, в наиболее известных книгах, затрагивающих данное уравнение, такие зависимости, если и приводятся, остаются где-то на периферии внимания. Странно потому, что предсказание численности популяции в определённый период её жизни – одна из наиболее естественных задач геронтологической статистики (п.1.6.1.1).
Но, в принципе, произвести соответствующие преобразования не так уж сложно, хотя формулы получаются довольно громоздкими.
в) I. Надо приравнять определение силы смертности и формулу Гомперца:
1 |
dn |
|
|
M = – – · ––– = Mo· e α t |
|
||
n |
dt |
|
|
II. Для разделения переменных переносим dt |
в правую часть уравнения и инте- |
||
грируем, не забыв затем определить константу интегрирования. Результат таков: |
|
||
|
– Mα o (e |
α t |
|
|
–1) |
(1.46) |
|
n = n o· e |
|
|
|
III. А что касается функции v(t), то её можно найти путём непосредственного дифференцирования только что полученного выражения. Но проще – исходить из
определения силы смертности: |
|
α t |
|
|
|
|
|
|
α t – Mαo (e –1) |
(1.47) |
|
M = v/n, откуда v = n· M , v = – n o· Mo· e |
|
|
|
г) Аналогично выводятся соответствующие формулы из уравнения Гомперца- |
|||
Мейкема (1.41), только они ещё сложнее: |
|
|
|
α t |
|
|
|
– Mα o (e –1) – B· t |
|
||
n = n o· e |
|
, |
(1.48, а-б) |
|
|
α t |
|
α t – Mo (e |
|
||
–1) – B· t |
|
||
v = n o·(В + Mo· e ) e |
α |
|
|
|
|
|
|
162
5. Параметры уравнений.
а) Чтобы воспользоваться полученными выражениями, надо знать фигурирующие в них два (в усечённом варианте) или целых три (в полном варианте) параметра. Но и их можно вычислить, исходя из данных таблицы дожития.
Немного позже мы это сделаем для нашей модельной популяции.
б) А пока возьмём из книги Л.А. и Н.С. Гавриловых (ссылка 18, с.77) готовые значения коэффициентов для условных популяций мужчин двух стран – Японии и Финляндии:
|
|
|
|
|
|
|
|
α ∙ 103 |
|
|
|
|
Японцы |
|
|
103,7 |
|||
|
|
|
Финны |
|
|
87,1 |
|||
Численность |
|
|
|
|
|
– японцы (м) |
|||
1200популяции, n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– модельная |
||
1000 |
|
|
|
|
|
|
|
популяция |
|
800 |
|
|
|
|
|
|
– финны (м) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
600 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
400 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
201 |
302 |
403 |
504 |
605 |
706 |
807 |
908 |
1009 |
t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
годы |
Рис. 1.12. Графики зависимости n(t) |
|||||||||
|
|
для трёх популяций |
|
|
|||||
Mо ∙ 106 |
B ∙ 103 |
31,1 |
2,03 |
137,1 |
4,33 |
Замечу, что здесь уже таблицы дожития составлялись не умозрительным способом, как в нашем эксперименте, а по всем правилам искусства – т.е. на основе статистических таблиц смертности для указанных стран, – так, как это было описано в п.1.6.1.4.
в) Используя формулу (1.48,а), построим по этим данным графики изменения с возрастом численности условных популяций японцев и финнов. Для сравнения воспроизведём аналогичную кривую и своей модельной популяции.
Во всех случаях отсчёт ведётся от 20-летнего возраста членов популяции.
Итог – на рис. 1.12.
6. Вид кривых.
а) Все три кривые имеют сходную форму, причём график модельной популяции почти на всём протяжении лежит между двумя другими. Т.е. наша модель – вполне адекватна.
б) Можно заметить также, что для японских мужчин кривая заметно ближе к платообразной, что означает их меньшую смертность (по сравнению с финнами) на протяжении первых 60-70 лет жизни.
в) Но если присмотреться, то более всего впечатляют не графики, а значения использованных для их построения параметров.
7. Назад – к параметрам!
а) Нетрудно видеть: для популяций японцев и финнов значения - параметра Mо различаются более, чем в 4 раза,
-параметра В – в 2 с лишним раза,
-параметра α – всего на 13-14%.
б) Конечно, разница в кривых есть, и мы её уже отметили. Но интересно, в каком именно аспекте японские мужчины превосходят финских аж в 4 раза, а в каком (превосходят или уступают) в 2 раза?
И какое, по сравнению с этим, значение имеет различие на 13% по третьему параметру?
в) Поэтому давайте уточним смысл и способ оценки параметров уравнений Гом-
163
перца и Гомперца-Мейкема. Именно здесь – ключ к окончательному решению вопроса
окачестве этих формул.
1.6.3.5.Коэффициенты формулы Гомперца и корреляция Стрелера-Милдвана
Вначале предположим, что в популяции фоновая составляющая смертности отсутствует, т.е. В = 0 и речь идёт о формуле Гомперца (без Мейкема) лишь с двумя коэффициентами – Mо и α.
1. Определение коффициентов по графику зависимости lnM от t.
а) В зависимости lnM от t (1.43)
ln M ≈ α·t + ln Mo ,
вытекающей из уравнения Гомперца,
-α – это угловой коэффициент, т.е. тангенс угла наклона аппроксимирующей прямой к оси абсцисс,
-а ln Mo соответствует месту пересечения этой прямой с логарифмической осью. Следовательно, эти параметры, в принципе, можно определить с помощью гра-
фика вида того, что представлен на рис.1.11.
б) Проблема только в том, чтобы угадать, как именно должна идти аппроксимирующая кривая. Конечно, есть метод наименьших квадратов, он давно автоматизирован; в частности, для нашей модели он дал значения:
α ≈ 0,07 |
= 70 ∙10–3 1/год, |
(1.49,а) |
lnMо ≈ –8,0, откуда Mо ≈ е–8 |
≈ 3,35·10–4 = 335∙10–6 1/год. |
(1.49,б) |
в) Не вполне корректно сравнивать эти коэффициенты с одноимёнными коэффициентами более полной формулы Гомперца-Мейкема, но всё же для общей ориентации сделаем это.
I. Тогда заметим, что наша оценка α имеет тот же порядок, что и приведённые выше (п.1.6.3.4) значения α для условных популяций японских и финских мужчин (103,4∙10–3 и 87,1∙10–3 1/год), но всё-таки заметно ниже сразу их обоих.
II. В то же время оценка Mо оказалась выше соответствующих оценок тех же двух популяций (31,1∙10–6 и 137,1∙10–6 1/год), причём, выше значительно: более, чем в
10 и в 2,5 раза.
2. Корреляция Стрелера-Милдвана.
а) На первый взгляд, наши результаты – несколько неадекватные: всё же – такие отличия, да ещё неоднозначные.
На самом же деле эти результаты – невольное (с моей стороны) подтверждение т.н. корреляции Стрелера-Милдвана, описанной в 1960 г. в качестве фундаментальной закономерности геронтологии.
б) Суть её в том, что значения Mо и α, полученные для населения разных стран,
коррелируют друг с другом: чем больше α, тем меньше Mо; и наоборот. Причём, из-
менения Mо гораздо более выражены, так что зависимость близка к логарифмической:
ln Mо ≈ – T·α + ln MT , или Mо ≈ MT× e– α·T. |
(1.50,а-б) |
Здесь Т и MТ – константы, одинаковые для населения всех стран. Получается, что в формуле Гомперца остаётся только один независимый коэффициент (α), по которому могут различаться разные популяции людей.
164
в) Подстановка (1.50,б) в данную формулу приводит к такому выражению:
ln (M∙ 103)
ln (MT ×103)
0 |
25 |
50 |
T 75 t, года |
Рис. 1.13. Следствие корреляции Стрелера-Милдвана
M ≈ MT× e α·(t – T) . |
(1.51) |
Из него следует весьма любопытный
вывод:
-каким бы ни было начальное значение силы смертности (1.50,б),
-через время Т в любой человеческой популяции сила смертности достигнет одно и
того же уровня – MT (рис. 1.13).
г) Биологический смысл возраста Т не-
ясен, но получается, что вместе с MT этот показатель мог бы служить видовой характеристикой старения. По некоторым оценкам, для
людей Т составляет 68,5 лет.
Такая вот фундаментальная закономерность.
3. Осмысление корреляции.
Теперь вдумаемся в то, чтó представляют собой «партнёры» по корреляции, а также в то, чтó означает сама эта корреляция.
а) В частности, относительно Mо заметим, что на самом деле это не есть реальное значение силы смертности в момент рождения сверстников, составляющих популяцию.
Нет, фигурирующее в формуле Гомперца значение Mо – тот условный уровень M, который бы был изначально, если бы зависимость lnM от t сразу оказалась такой, какой она становится к 15-20 годам, приобретая квазилинейность.
В действительности же начальное значение силы смертности обычно выше (см.
рис. 1.11).
б) Самый загадочный показатель в данной «компании» – это α. Формально он определяет два основных момента – и прямо противоположным образом.
I. Во-первых, в соответствии с корреляцией Стрелера-Милдвана, от α зависит условный начальный уровень силы смертности; причём, согласно (1.50,б), чем больше
α, тем ниже этот уровень |
(в чём и состоит суть отрицательной корреляции); |
II. Во-вторых, затем |
α характеризует скорость вымирания популяции – и чем |
больше α, тем выше эта скорость. в) В итоге,
-при низких значениях α вымирание отличается более высоким «стартом» (т.е. высокой условной начальной силой смертности) и более медленным прогрессированием,
-а при больших значениях α – «старт» силы смертности низкий, скорость же её роста высокая.
4. Период полувымирания популяции.
а) Итак, согласно Стрелеру-Милдвану,
-экспоненциальные графики M(t) всех популяций людей должны пересекаться
вточке (Т, MT),
-а линейные графики зависимости lnM от t – в точке (T, lnMT).
При этом Т – видовая характеристика. |
|
б) |
популяции – пери- |
од её полувымирания (полуисчезновения), T½ . |
|
165
Если исходить из уравнения Гомперца, то для нахождения T½ в правой части формулы (1.44) следует положить n = no/2. Отсюда можно найти:
T½ |
1 |
α |
T½ |
1 |
α |
α·T |
ln2 + 1) |
(1.52, |
= –– · ln ( –– ln2 + 1) , а с учётом (1.50,б), |
= –– · ln ( –– e |
|
||||||
|
α |
Mo |
|
α |
MТ |
|
|
а-б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) I. В отсутствие корреляции Стрелера-Милдвана |
с увеличением α период T½ |
||||||
укорачивался бы. Действительно, в ф-ле (1.52,а) влияние α в знаменателе дроби, укорачивающее период полуисчезновения, сильней, чем противоположное по направлению влияние того же α в числителе, но под логарифмом.
II. При наличии же указанной корреляции преобладает противоположное влияние α: согласно (1.52,б), с увеличением последнего период T½ тоже возрастает.
г) В итоге, более благополучными популяциями, т.е. популяциями с бóльшим значением T½ , а значит и с большей средней продолжительностью жизни населе-
ния, являются те, чей параметр α – достаточно высок.
Напомню: это те популяции, которые «берут низкий старт» (в отношении силы смертности), хотя потом и начинают «навёрстывать упущенное» путём более быстрого роста смертности.
1.6.3.6.Критика концепции Стрелера-Милдвана
1.Гнездилище червей сомнения.
а) Фундаментальная закономерность – это, конечно, серьёзно. Но сколько таких фундаментальных закономерностей оказывалось со временем вовсе не фундаментальными и даже, увы, не закономерностями!
И вот именно в этом направлении движется моя мысль в отношении корреляции Стрелера-Милдвана.
б) Правда, меня значительно – десятилетия на три – опередили супруги Гавриловы. Они заклеймили несчастных авторов фундаментальной закономерности и её саму по сверхполной программе.–
I. Прямые линии, аппроксимирующие зависимость lnM от t на множестве экспериментальных точек, т.е. линии, от положения которых прямо зависит значение искомых коэффициентов (α и Mо), – эти линии проводились «на глазок» и могли быть проведены как угодно.
II. Да и вообще, вместо M (силы смертности), фигурирующей в формуле Гом- перца-Мейкема, на самом деле исследовалась вероятность смерти.
III. А самое тяжкое, по мнению оппонентов, в содеянном Стрелером и Милдваном заключается в том, что они исследовали вовсе не формулу Гомперца-Мейкема, а всего лишь формулу Гомперца. И, следовательно, самым недостойным образом проигнорировали фоновую составляющую смертности В.
2. От корреляции – к корреляции, или компенсационному эффекту.
а) Даже не отойдя от праведного возмущения, супруги Гавриловы сразу же сформулировали истинную фундаментальную закономерность: компенсационный эффект смертности. Суть этого эффекта точно такая же, как и корреляции СтрелераМилдвана:
-отрицательная линейная корреляция между ln Mо и α,
-пересечение линейных графиков зависимости силы смертности от t для разных популяций одного вида в единой точке.
б) Только теперь при его (эффекта) открытии всё сделано строго канонически:
-вероятность смерти была заменена на силу (интенсивность) смертности,
166
-расчёт коэффициентов lnMо и α производился с учётом наличия в формуле Гомперца-Мейкема фоновой составляющей В,
-из силы смертности вычиталась её фоновая составляющая, и для построения графика зависимости от t использовалась только остающаяся возрастзависимая компонента (ln(M-B)),
-аппроксимация проводилась методом наименьших квадратов.
в) Как найти все три коэффициента формулы Гомперца-Мейкема и вместе с тем разделить компоненты смертности, я расскажу немного позже – когда мы перейдём к анализу этой формулы. Тогда же мы ещё раз вернёмся к «компенсационному эффекту»
– к его проявлению в конкретных значениях Mо и α.
г) А сейчас лишь освещу общий итог. Итог же состоял в том, что пересечение графиков возрастной компоненты смертности всевозможных популяций людей происходит в ином возрасте – не в 68,5 (как по Стрелеру-Милдвану), а в 95 лет.
Последний возраст предложено считать видовой продолжительностью жизни человека.
д) Термин «компенсационный эффект», по существу, представляет собой трактовку той самой корреляции:
-низкая начальная сила смертности в какой-либо популяции непременно компенсируется более высокой скоростью последующего роста этой силы;
-и наоборот.
е) В связи с вышеизложенным, хотел бы также заметить: вскарабкавшись на
плечи предшественников, легко ругать их за более низкий уровень обзора!
3. И опять – гнездилище сомнений.
Что касается моего собственного мнения, то оно ещё формируется (ведь эксперимент с модельной популяцией далеко не закончен!), но мои сомнения – гораздо радикальнее, чем у супругов Гавриловых.
а) Во-первых, странно, что коэффициенты, вводившиеся Гомперцем как независимые, вдруг через сто лет оказались в теснейшей зависимости.
б) Во-вторых, неясен смысл коэффициента α, который, согласно (1.52,б), отвечает за «качели»:
-низкая начальная смертность – быстрый рост смертности;
-высокая начальная смертность – медленный рост смертности.
Причём, отвечает так тонко, что более низкая начальная смертность уже гарантирует бóльшую среднюю продолжительность жизни в популяции – по сравнению с любой другой популяцией, где начальная смертность выше.
в) В-третьих, неясен сам биологический смысл корреляции: почему высокая начальная (причём, условная!) смертность должна непременно компенсироваться более низкой скоростью её роста? – Закон постоянства некоей начальной энергии? Нечто сходное с соотношением потенциальной и кинетической энергии?
Это было бы, конечно, очень интересно – если бы было.
4. Ужасное предположение.
а) За всеми моими сомнениями стоит одно ужасное предположение: о том, что вся эта корреляция – сплошной артефакт. В этом отношении я полностью солидарен с первым пунктом «обвинения», предъявленных супругами Гавриловыми авторам корреляции Стрелера-Милдвана..
Т.е. речь идёт о механизме возникновения «корреляции».
б) Механизм может быть связан просто со способом определения значений коэффициентов по экспериментальным данным. Напомню:
-α – тангенс угла наклона аппроксимирующей прямой к оси абсцисс.
-а ln Mo – ордината точки пересечения этой прямой с логарифмической осью.
167
в) Так что всё зависит от тончайших нюансов проведения прямой (это не показано, но можно представить по рис. 1.11):
-небольшой поворот прямой по часовой стрелке – и α слегка уменьшается, lnMo слегка увеличивается, а Mo увеличивается уже в несколько раз (если не на порядок) сильней;
-при повороте прямой против часовой стрелки – противоположные, но столь же
сочетанные изменения определяемых значений α и Mо. г) Чем это не корреляция?
5. Копай глубже, бери шире!
Но если коэффициенты формулы Гомперца ненадёжны, то перечёркивается не только корреляция Стрелера-Милдвана, но и сама формула Гомперца! Действительно, зачем нужна формула с «плавающими» коэффициентами?!
Что ж, будем исследовать вопрос дальше.
1.6.3.7.О стабильности параметров ур-я Гомперца
втечение жизни популяции
1.Ещё одно смутное подозрение.
а) Как само собой разумеющееся, считается, что коэффициенты Mо и α формулы Гомперца, хотя и различны для разных популяций, для каждой из них в отдельности являются постоянными характеристиками.
б) Поскольку же я клоню к тому, что в получаемых оценках Mо и α – много случайного, а корреляция между ними – чисто техническая, то хорошо бы выяснить – действительно ли они постоянны в течение жизни популяции?
Для этого оценим значения Mо и α на разных отрезках существования нашей модельной популяции.
2. Способ расчёта.
а) Принцип – прост: следует записать уравнение Гомперца в логарифмической форме для каждого из двух возрастов, ограничивающих выбранный временной интервал. Это даёт систему двух уравнений относительно двух неизвестных (Mо и α):
lnM1 – lnMo = α·t1 |
lnM2 |
– lnM1 |
Mo = ½ (M2 |
+ M1 ) е |
– α·ti |
|
|||||
|
|
||||
, |
откуда α = ––––––––– , |
(1.53,а-в) |
|||
lnM2 – lnMo = α·t2 |
t2 |
– t1 |
|
|
|
в) Таким образом были рассчитаны значения α на разных интервалах жизни и значения Mо в средние моменты каждого интервала. Результаты сведены в таблицу 1.9.
Табл. 1.9. Вариабельность коэффициентов формулы Гомперца в пределах жизни одной популяции
Возрастной |
20 – 30 |
30 – 40 |
40 – 50 |
50 – 60 |
60 – 70 |
70 – 80 |
80 – 90 |
90 – 100 |
интервал |
лет |
лет |
лет |
лет |
лет |
лет |
лет |
лет |
α · 103, |
|
|
|
|
|
|
|
|
1/год |
71 |
114 |
71 |
62 |
56 |
53 |
67 |
99 |
Возраст |
25 |
35 |
45 |
55 |
65 |
75 |
85 |
95 |
популяции |
лет |
лет |
лет |
лет |
лет |
лет |
лет |
лет |
Mо · 106, |
|
|
|
|
|
|
|
|
1/год |
272 |
82 |
415 |
652 |
917 |
1098 |
373 |
29 |
3. И что же мы видим?
а) Таблица показывает, что, действительно, назвать константами коэффициен-
168
ты α и Mо уравнения Гомперца для нашей модельной популяции нельзя даже с большой натяжкой.
I. На протяжении «жизни» этой популяции (точнее, с 20 до 100 лет) средние за десятилетие значения α варьируют в диапазоне, границы которого (53·10–3 и 114·10–3 1/год) различаются по величине в 2 раза
II. А колебания Mо ещё гораздо сильнее! Даже если откинуть крайние, совершенно «неприличные», значения (29·10–6 и 1098·10–6 1/год), следующие крайние значения (82·10–6 и 917·10–6 1/год) отличаются друг от друга более, чем в 10 раз.
Такими константы, конечно, не бывают.
б) Причём, вновь проявляется взаимозависимость коэффициентов: большим значениям α соответствуют низкие значения Mо, низким значениям α – высокие Mо.
Коэффициент корреляции между lnMо и α – почти –0,91.
4. И что это значит?
а) Можно спросить: а откуда же сейчас это взялось? Ведь мы прямых, вроде бы, не проводили, так что не могли исказить их наклон.
б) Да, буквально не проводили, но всякий раз, записывая систему уравнений вида (1.53,а), ставили её решение (α и Mо) в зависимость от мельчайших отклонений силы смертности от значений, предписываемых формулой Гомперца.
в) I. То, что отклонения – мельчайшие, следует из того, что и на уровне численности n, и на уровне lnM наша модельная популяция ничем заметным не отличалась от прочих.
II. А то, что эти мельчайшие отклонения приводят к масштабным колебаниям рассчитываемых значений α и Mо , показывает табл.1.9.
5. Обобщение.
а) И это может относиться к любой условной или реальной популяции! Они вовсе не идеальны – эти популяции, у каждой – свои недостатки.
Иполучается, что коэффициенты формулы Гомперца для популяции в целом,
аа также для последовательных стадий её существования – практически случайные и
к тому же крайне непостоянные показатели.
б) Постоянна только отрицательная корреляция между определяемыми значениями этих коэффициентов. Но она является артефактом: обусловлена лишь положением последних в формуле Гомперца.
в) Похоже, эта формула слишком «узка», слишком «тесна» для того, чтобы эффективно описывать вымирание популяций и, в частности, силу смертности.
«Засовывая» данную характеристику в эту простейшую формулу, мы тем самым заставляем силу смертности с течением времени «поджиматься» то с одной, то с другой стороны, меняя из-за этого свои параметры.
6. Объективности ради...
Объективности ради надо сказать следующее.
а) Во-первых, приводимые в литературе коэффициенты α и Mо обычно определяются на основании очень большого статистического материала, где отклонения и «шероховатости», в принципе, должны потерять своё значение.
б) Во-вторых, супруги Гавриловы, так неласково обошедшиеся с тандемом Стрелер-Милдван, многократно подчёркивают, что главное – это учесть фоновую составляющую силы смертности. Без этого все корреляции – ложные.
Что ж, поверим и в первое, и во второе. И с новым (но последним!) приступом надежды и энтузиазма обратимся к полной формуле Гомперца-Мейкема.
Может быть, константа В поставит всё на свои места?
169
1.6.3.8.Коэффициенты формулы Гомперца-Мейкема
1.Принцип расчёта.
а) Что ж, будем исходить из полной формулы (1.41):
M = Mо× e α·t + В
Отсюда уже не следует линейная связь между lnM и t: под логарифмом правой части равенства оказывается и константа В. Поэтому прежние способы оценки коэффициентов Mо и α теперь теряют свою «легитимность».
б) Но можно изменить последовательность операций: в случае «чистого Гомперца» мы вначале логарифмировали уравнение, а затем находили разность уравнений, записанных для двух моментов времени.
Сейчас же надо поступить иначе: вначале найти разность, а затем – прологарифмировать (см. ссылку 18).
2. Расчёт α и Mо. |
|
|
|
|
|
|
а) I. В соответствии с этим, запишем приращение |
M за промежуток времени t |
|||||
(т.е. сравниваются моменты времени t и t+ t ), это освобождает от В: |
|
|||||
M = Mо× e α·(t + |
t) |
– Mо× e α·t |
= |
Mо× e α·t (e α· t – 1) . |
(1.54,a-б) |
|
II. Затем можно логарифмировать: |
|
|
|
|
||
ln ( M) |
= α·t + ln Mо |
+ |
ln (e α· |
t – 1) |
(1.55,а) |
|
y |
= |
α·t + |
|
b |
|
(1.55,б) |
б) I. Получилась линейная зависимость, только теперь линейно от времени зависит не lnM, а ln (ΔM). Именно в этих координатах ( t, ln (ΔM) ) следует строить график,
итогда
-тангенс угла его наклона к оси абсцисс вновь будет равняться коэффициенту α,
-а аппроксимирующая прямая пересекает ось ординат в точке b , где b – свободный член уравнения (1.54,б).
в) Зная α и b, нетрудно, с учётом структуры b (1.54,а-б), рассчитать Mо:
Mо = eb / (e α· t – 1) |
(1.56) |
3. Расчёт В.
Теперь можно вернуться к уравнению Гомперца-Мейкема (1.41), так замечательно украшенному константой В (фоновой смертностью).
а) Необходимо для разных моментов времени жизни популяции
-рассчитать слагаемое Гомперца (Mо·eα·ti )
-и вычесть его из экспериментального (полного) значения силы смертности
(Mi). |
|
б) Результаты не должны ощутимо зависеть от выбора значений |
t, и осталось |
их усреднить: |
|
В = 1/n Σ (Mi – Mо× e α·ti ) . |
(1.57) |
В итоге, определён способ оценки всех трёх параметров уравнения ГомперцаМейкема.