6 курс / Медицинская реабилитация, ЛФК, Спортивная медицина / Геронтология_in_polemico_Мушкабаров_Н_Н_

150

что жизнеспособность любого организма, независимо от возраста, пола и тягот предшествующей жизни, определяется только временем, требующимся для первой встречи с данным фактором.

в) Причём, подобная ситуация может складываться не только в экстравагантной модели «летающих булыжников». Для полноты картины приведу ещё три модели.

3. Модель «алчных хищников».

а) Заменим булыжники на алчных хищников, в лесу с которыми обитает популяция их потенциальных жертв.

б) Соответственно, должны выполняться условия, аналогичные тем, что действовали в первой модели:

-все жертвы одинаковы по своим функциональным и иным возможностям (в данном случае потому, что не успевают состариться), а все хищники – по своим;

-и те, и другие равномерно распределены по лесу;

-встречи жертв с хищниками – совершенно случайны,

-заканчивается же подобная встреча всякий раз чувством глубокого удовлетворения у хищника.

III. Тогда математическое описание обеих моделей будет одним и тем же (1.33,б; 1.34), – равно как и интерпретация этого описания.

4. Модель «вялой эпидемии».

а) В свою очередь, алчных крупногабаритных хищников можно заменить на невидимых (из-за малости размеров), но тоже достаточно алчных “хищников”. Имеются в виду микроорганизмы (вирусы, бактерии и т.д.), способные вызвать в некоей популяции эпидемию – однако не стремительно всё опустошающую, а в некотором отношении достаточно вялую.

б) Пусть для определённости

-это бактериальная инфекция,

-заражение происходит при употреблении воды (содержание возбудителя в которой – одинаково во всём регионе и постоянно во времени),

-но болезнь развивается лишь при наличии в эпителии кишки случайных повре-

ждений (которые с равной вероятностью, не зависящей от возраста, могут появиться у каждого члена популяции),

-начавшаяся болезнь в 100% случаев приводит к сепсису и скорому летальному

исходу.

в) В итоге, и здесь следует ожидать той же зависимости n(t), что и выше.

5. Модель “мутантов в геопатогенной зоне”.

а) В предыдущих моделях все особи, в конечном счёте, погибают от внешних факторов («булыжников», хищников, микробов). А могли бы привести к сходной зависимости n(t) какие-либо внутренние факторы?

б) Попробуем это представить. Очевидно, это должна быть популяция, члены которой

-содержат в себе энергию своего разрушения

-и в любой момент могут погибнуть (независимо от своего возраста) – по причине случайно возникающей в них макрокатастрофы.

Внешние факторы могут играть лишь роль случайных, энергетически ничтожных воздействий, запускающих механизм саморазрушения.

в) В качестве гипотетического примера предлагаем следующую коллизию:

-популяцию неких животных составляют мутанты, у которых ещё с первых дней жизни истончены стенки сосудов в стволе головного мозга;

-в области обитания этих животных есть геопатогенная зона, занимающая, до-

152

томатически включающейся команде “УМЕРЕТЬ!” в) Классическим примером служит многократно упоминавшаяся (см., например,

пп. 1.4.3.7–1.4.3.8 и др.) массовая гибель тихоокеанских горбуш сразу после нереста, когда катастрофически быстро начинает происходить дегенерация внутренних органов.

г) В подобных случаях зависимость числа особей в популяции от их возраста описывается т.н. “прямоугольным” графиком (рис. 1.8): последний имеет

-длинное «плато», которое сменяется

-быстрым снижением численности популяции почти до нуля.

2. Что было до момента tж ?

а) Заметим: вышесказанное не означает, что до возраста tж особи совершенно не стареют, т.е. в их организмах не появляются те или иные возрастные изменения, соответствующие определению старения (п. 1.3.5).

б) Особенность лишь в том, что это постепенное старение у всех членов популяции не заходит так далеко, чтобы вызывать гибель сколько-нибудь заметного их числа. Поэтому до критического возраста численность популяции практически постоянна.

в) Таким образом, оба крайних варианта зависимости n(t), хотя и не выявляют «обычного» постепенного старения, но в то же время никоим образом его не исключают. И там, и там подобное старение (если оно происходит) остаётся в густой тени глобальных катастроф, ведущих к гибели особей –

-в течение всего существования популяции (в варианте А) или

-в течение относительно короткого периода после момента tж (в варианте Т).

3. Математическое описание.

Математика Т-варианта очень проста. Она сводится к формульной записи следующих (в основном, уже известных нам) тезисов.

а) Сила смертности M в популяции равна нулю всё время, кроме небольшого интервала t, когда она отлична от нуля. Причём ввиду относительной малости t, значение M в течение этого интервала можно считать постоянным:

б) Число особей в популяции n:

- до момента времени tж это число постоянно и равно исходному (nо),

-в течение же интервала t все особи популяции погибают,

-так что после этого интервала популяция исчезает:

ка этого выражения, а также (1.37,б) в (1.29,а-б), даёт следующее значение силы смертности в период t :

б) Здесь tс р – среднее время существования особей популяции в период её ги-

153

бели. Примерно так же после крушения парохода можно оценить среднее время жизни (от момента крушения) тонущих людей.

Таким образом, в Т-варианте для силы смертности остаётся справедливым соотношение вида (1.26,б), но теперь с силой смертности связано среднее время

-не всей жизни особей (от момента рождения),

-а лишь жизни после включения программы экстренного старения и гибели.

в) Это вполне естественно: до включения этой программы, с «точки зрения» смертности, ничего не происходило.

г) Тем не менее, как мы уже говорили, это ещё не означает, что при такой кинетике ничего не происходило и «с точки зрения» старения.

1.6.3. ДИНАМИКА ВЫМИРАНИЯ ПОПУЛЯЦИИ: К-ВАРИАНТ. БЛЕСК И НИЩЕТА УРАВНЕНИЯ ГОМПЕРЦА-МЕЙКЕМА

1.6.3.1. Как меняется сила смертности и как это интерпретировать

1. Ключевые черты.

Между двумя крайностями всегда есть что-то промежуточное. Этот трюизм в отношении динамики вымирания популяции отражается К-вариантом.

а) В последнем сила смертности M на протяжении практически всей жизни по-

пуляции монотонно возрастает, т.е.,

-в отличие от А-варианта, не постоянна

-и, в отличие от Т-варианта, не сохраняет длительное время нулевое значение. б) Такое поведение M считается веским свидетельством постепенного старе-

ния членов популяции, причём старения с заметным стохастическим компонентом:

-само по себе возрастание M – проявление старения,

-а продолжительный характер этого роста (т.е. то, что особи умирают в самом разном возрасте) говорит о том, что старение происходит с неодинаковой скоростью и, значит, имеет стохастическую природу.

2. Возможны ли сомнения?

а) I. Действительно ли в данном случае всё так однозначно? Могла ли бы популяция нестареющих особей тоже иметь возрастающую силу смертности?

II. В общем, при известных обстоятельствах, могла бы – если вероятность смерти особей в популяции со временем бы повышалась. Тому могут быть две причины.

б) Одна причина – постепенное абсолютное (т.е. не зависящее от наличия и числа оставшихся особей в популяции) ухудшение внешних условий: например, загрязнение среды каким-то токсином, изменение температуры, снижение содержания кислорода или (и) питательных ресурсов.

в) I. Вторая возможная причина – постепенное относительное ухудшение внешних условий. Это бывает тогда, когда сопротивляемость популяции неблагоприятным факторам пропорциональна её численности и с убыванием последней тоже убывает.

II. Так, допустим, четыре нестареющих и потенциально бессмертных мушкетёра сдерживают атаку некоей армии.

Рано или поздно неумолимый случай, созданный давлением вражеской армии, выкашивает из строя одного из мушкетёров. Продолжительность возможного сопротивления остальных трёх уменьшается.

И совсем короткой она становится, когда остаётся лишь один из них. Это значит, что с каждой потерей сила смертности в «популяции» мушкетёров, несмотря на отсутствие у них старения, возрастает.

155

понентой, причём, возрастающей.

в) Наконец, добавим, что сделано много попыток улучшить, подправить формулу Гомперца-Мейкема или описать сходную зависимость с помощью иных функций – степенных и показательных. В работе (18) приведено около двадцати подобных выражений. Но фаворитом пока по-прежнему остаётся «Гомперц-Мейкем».

5. Как объяснить....? Версия Гомперца.

а) И всё-таки почему – экспоненциальный вариант, и почему – формула Гом- перца-Мейкема? Существует какое-нибудь рациональное объяснение?

б) Вообще говоря, попытку дать такое объяснение сделал ещё сам Гомперц.

Так, он рассматривал величину, обратную силе смертности M, т.е. 1/M, как некую сопротивляемость смерти. И постулировал, что скорость уменьшения сопротивляемости в стареющей популяции пропорциональна самой сопротивляемости:

г) Тогда, решая это уравнение относительно переменной 1/M и возвращаясь потом к M, легко придти к первому (и основному) члену формулы Гомперца-Мейкема:

1.6.3.2. Кажущаяся жизнеспособность и теоретические разногласия с Гомперцем

Что ж, в таком случае надо получше разобраться в том, что такое 1/M.

1. 1/M как временнáя характеристика.

а) Мы уже выяснили в п. 1.6.1.2, что, если в популяции с увеличением её возраста сила смертности не меняется, то 1/M – это среднее время жизни особей (ср-ПЖо) в популяции.

б) Если сила смертности не постоянна, то в произвольный момент времени t под 1/M, очевидно, следует понимать среднее время оставшейся жизни оставшихся

к данному моменту особей при условии, что до полного вымирания популяции будет сохраняться данное значение M. (То же – в ссылке 19, с. 125.)

в) При этом надо понимать, что очень часто вначале (когда члены популяции ещё молоды) сила смертности мала, отчего почти буквально кажется, что жизнь бесконечна. Во всяком случае, значения 1/M в этот период могут быть нереально большими. Чуть позже мы в этом убедимся на конкретном примере.

2. 1/M как характеристика жизнеспособности.

а) I. В то же время трактовка 1/M почти совпадает с введённым выше (в п. 1.5.1.4) определением жизнеспособности организма (понимаемой как продолжительность оставшейся жизни при постоянстве существующих на данный момент внешних и внутренних условий).

II. Поэтому 1/M можно рассматривать как среднюю жизнеспособность оставшихся особей популяции, но жизнеспособность кажущуюся (обозначим её как каж-

Жс).

б) I. Для определения же истинной средней жизнеспособности (ср-Жс) в какойлибо момент времени надо не исходить из силы смертности, а усреднить действительную жизнеспособность отдельных особей. (Другое дело, что оценить последнюю не так просто.)

II. И поскольку для каждой особи значение Жс – не больше, чем оставшийся жизненный потенциал (ЖП), ясно, что и значение ср-Жс, в отличие от каж-Жс, не

156

может выходить за рамки максимальной видовой продолжительности жизни.

в) Итак, ещё раз сформулируем, в чём кажущийся характер жизнеспособности, оцениваемой по величине 1/M. В том, что

-если мы даже и будем поддерживать постоянными все те условия, при которых молодые особи обещают, судя по силе смертности M в их популяции, прожить ещё, скажем, 1/M = каж-Жс = 400 лет,

-то на самом деле они проживут, в среднем, не более ср-Жс = 85 лет, каковой и являлась их истинная жизнеспособность в молодости.

3. Отражает ли каж-Жс сопротивляемость смерти?

а) Конечно, формально жизнеспособность – не что иное, как сопротивляемость смерти. И на этом – формальном – уровне наша трактовка величины 1/M самым трогательным образом совпадает с трактовкой Гомперца.

б) Но, как выясняется, 1/M,

-во-первых, имеет природу времени и,

-во-вторых, часто обещает нереально большую жизнеспособность, т.е. продолжительность возможной жизни в ныне существующих условиях.

в) Не знаю, учитывал ли Гомперц в своих рассуждениях первое из данных обстоятельств. Но критично не это. Гораздо значимей второе – несовпадение 1/M и истинной жизнеспособности, т.е. реальной сопротивляемости смерти.

Это свидетельствует о некоторой (или не «некоторой», а даже существенной)

некорректности исходного предположения Гомперца.

4. Изменение 1/M (каж-Жс).

a) Далее. Вполне очевидно, что в стареющих популяциях жизнеспособность особей, т.е. средняя продолжительность их оставшейся жизни, со временем уменьша-

ется.

б) Правда, отметим ещё раз, снижение ср-Жс может быть обусловлено и другими, нежели старение, причинами – абсолютным или относительным ухудшением внешних условий.

в) Но почему при старении скорость уменьшения ср-Жс (даже если это действительно ср-Жс, а не каж-Жс) должна быть пропорциональна текущему значению этой величины?

I. Такая зависимость имеется в реакциях первого порядка и сходных с ним процессах (таких, как радиоактивный распад; см. п. 1.6.2.1) – там, где вероятность исчезнуть одинакова для всех идентичных элементов системы, и поэтому чем больше таких элементов, тем больше и актов их «исчезновения».

II. Применить эту логику к жизнеспособности мне трудно. Жизнеспособность определяется состоянием различных систем организма; на уровне клеток это система репарации, антиоксидантная система и т.п., а также защищаемые ими структуры (хромосомы, органеллы и пр.). И почему чем лучше состояние (не количество!) этих объек-

тов, тем интенсивней оно ухудшается?!

Я полагаю, данный посыл неубедителен.

5. Что же думать о формуле Гомперца?

а.) Таким образом, Гомперц, с моей точки зрения, был неправ (или некорректен)

-и в трактовке величины (1/M), взятой за основу при выводе своей формулы,

-и в обосновании самого способа вывода.

б) Но трактовки и обоснования – второстепенны, когда речь идёт об эмпирической, по большому счёту, формуле. По существу, подобрана простая функция, и содержащая её (вместе с поправкой Мейкема) формула, как я уже говорил, до сих пор остаётся наиболее используемой в статистике популяций.

157

в) Так что об адекватности или неадекватности формулы Гомперца-Мейкема судить пока рано. И поэтому, не спеша с выводами, попробуем разобраться в двух проблемах:

-в том, какой вид может иметь зависимость от возраста популяции её количественных характеристик (численности n, скорости убыли v, силы смертности M, кажущейся жизнеспособности 1/M),

-и в том, насколько адекватно описывается эта зависимость формулой Гомпер- ца-Мейкема и вытекающими из неё выражениями.

1.6.3.3. Возрастная динамика основных характеристик популяции

Мы уже прибегали к методу численного эксперимента; используем его ещё раз. В данном случае, не обращаясь к таблицам смертности (см. п. 1.6.1.4), составим самостоятельно таблицу дожития для некоей модельной популяции людей (см. табл. 1.8).

Табл. 1.8. Модельная популяция людей: таблица дожития

1. Зависимость n(t): единственный заданный параметр.

а) Собственно, задал я лишь один параметр – n, численность популяции (изначально содержащей 1000 человек-ровесников), – указав его значения через 5-летние интервалы – от 0 до 100 лет.

б) При этом я руководствовался тем, что известно каждому:

- в молодые годы умирают, но не так часто, как в младенческом и зрелом воз-

расте;

-затем с каждым годом начинает умирать всё большее количество людей;

-когда численность популяции сверстников становится достаточно малой, естественно, абсолютное число смертей в год убывает;

158

- всё кончается (имеется в виду смерть последнего члена популяции) чаще всего на подходе к 100 годам.

в) Так получился второй столбец таблицы. Можно найти, что средняя продолжительность жизни (ср-ПЖо) людей в этой виртуальной популяции – 62 года. (Способ подобных расчётов приведён в п. 1.6.1.5.)

Это, конечно, маловато для развитых стран; но для нас – в самый раз. Особенно, если допустить, что речь идёт об исключительно мужской популяции. У нас мужчины обычно долго не живут.

2. Зависимость n(t): графическое представление.

а) А на рис. 1.10,а представлен график зависимости n(t), построенный по тем же предложенным значениям n.

I. Его форма почти идеально совпадает с литературными представлениями о таких графиках. Она существенно отличается и от убывающей экспоненты А-варианта (рис. 1.8), и от почти прямоугольного графика Т-варианта (рис.1.8), действительно являя собой нечто промежуточное между ними.

II. Конечно, промежуточной между А- и Т-графиками может быть и просто прямая, идущая под отрицательным углом от оси n к оси t. Но такой динамики обычно не бывает. Так что не всё промежуточное здесь подходит.

III. Но то, что у нас получилось на рис.1.10,а, как уже сказано, считается почти

типичным графиком для популяции стареющих особей.

б) Возможно, в каких-то реальных популяциях более выражен (чем на рисунке) начальный участок повышенной младенческой и детской смертности: в этот период численность популяции снижается быстрей, чем впоследствии.

3. Слово о плодородности.

а) Все остальные приведённые в табл.1.8 численные значения, составляющие ещё четыре столбца, рассчитаны исключительно из информации, заданной в первых двух столбцах. И дальше будет произведено ещё немало расчётов, основанных на той же – казалось бы, скудной и невыразительной – информации.

б) В этом отношении биология продолжительности жизни, как назвали эту об-

ласть геронтологии супруги Гавриловы (п. 6.1.1.1 и ссылка 18), удивительно плодородна.

в) I. Действительно, они делали самые глубокие выводы о природе старения, анализируя лишь статистические таблицы смертности, добытые в архивах и в литературе.

II. А мы сейчас и вовсе, не обращаясь к каким-либо реальным таблицам, используем некую свою и на её основе собираемся проверить (или хотя бы проиллюстрировать) обоснованность формулы Гомперца-Мейкема! – Формулы, базирующейся на громадном статистическом материале!

г) В общем, ещё раз констатирую: очень плодородная область...

4. Зависимость v(t).а) Итак, зная зависимость n(t), можно оценить её производ-

ную – скорость убыли популяции как функцию времени, n΄(t) ≡ v(t).

б) Замечу: при расчёте производных главная проблема – в конечности измеряемых интервалов аргумента и его функции, тогда как производные относятся к бесконечно малым интервалам (хотя, конечно, всё относительно).

в) I. Так, за 5 лет скорость убыли популяции может заметно изменяться – например, распределяясь по годам следующим образом: 5 , 10 , 15, 20 и 50 человек в год.

II. За 5 лет получается – 100 человек, и средняя скорость убыли в течение 5- летия – 20 чел/год. А это скрывает драматическое возрастание числа смертей в популяции в этот период, когда за один 5-й год умерло столько же людей, сколько за 4