краткий курс лекций по электростатике
.pdf
8. Закон Ома в интегральной форме.
Наряду с удельной электропроводностью, вводят понятие удельного сопротивления.
|
|
|
|
|
ρ = |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
σ |
||||
ρ j = E; |
ρ jdSn = EndS; |
|||||||||
ρI = ES; |
I |
ρdl |
= Edl; |
|||||||
S |
||||||||||
|
ρdl |
|
|
|
ρdl |
|
||||
I |
= (E, dl ); |
I ∫ |
= ∫(E, dl ). |
|||||||
S |
S |
|||||||||
Сила тока I вдоль проводника не изменяется.
Интеграл в левой части назовем сопротивлением проводника между точками 1
и 2.
2 ρdl
R12 = ∫1 S
U12 = ∫2 (E, dl )
1
– напряжение между точками электрической цепи.
I = 1 U12 – закон Ома в интегральной форме.
R12
9. Сопротивление и проводимость
Сопротивление зависит от геометрии и от вещества, из которого сделан проводник.
Для цилиндрического проводника одинакового поперечного сечения оно вычисляется особенно просто.
R12 = ρSl ; R = ρSd ;
C = εε0 dS ;
RC = εε0 ρ = const.
Измерив сопротивление, можно вычислить ёмкость и наоборот. Данное устройство иногда называется конденсатором с утечкой.
53
ρ = R Sl ; [ρ]=1Ом м
По физическому смыслу, удельное сопротивление – это сопротивление куба вещества с ребром 1 м, если подводящие провода подключены к центрам противоположных граней.
σ = |
1 |
; |
[σ]= |
1 |
; |
|
ρ |
Ом м |
|||||
|
|
|
|
[σ ]= Сименсм =1Смм .
Приведем таблицу удельных сопротивлений
|
|
Медь |
1,72·10-8 Ом·м |
Серебро |
1,6·10-8 Ом·м |
Алюминий |
2,6·10-8 Ом·м |
Свинец |
2,0·10-6 Ом·м |
Графит |
3·10-5 Ом·м |
Германий |
0,6 Ом·м |
Стекло |
10+9 Ом·м |
10. Зависимость сопротивления от температуры
Зависимость сопротивления достаточно сложная, поэтому будем говорить о зависимости удельного сопротивления от температуры.
Для характеристики этой зависимости вводят понятие температурного коэффициента.
α = |
1 d ρ |
[α]= |
1 |
||
ρ |
|
dT |
K |
||
d ρ =αρdT.
Внебольшом диапазоне температур можно считать, что α=const.
ρ− ρ0 =αρ0∆T;
ρ= ρ0 (1+α (T −T0 ))
где ρ0 – удельное сопротивление при температуре Т0.
Если считать геометрию проводника неизменной, то
R = R0 (1+α∆T ).
54
Приведем таблицу температурных коэффициентов
Медь |
0,0043 |
Серебро |
0,0040 |
Графит |
(-0,005) |
Стекло |
(-0,1) |
Температурный коэффициент сопротивления (ТКС) может быть положительным или отрицательным.
Кроме того, может наблюдаться явление сверхпроводимости, т.е. падение до нуля сопротивления при сверхнизких температурах. Явление объясняется с квантовых позиций.
11. Закон Джоуля – Ленца
При протекании по проводнику электрического тока, совершается работа.
A = qU = IU∆t
Здесь q – прошедший заряд.
Если нет сторонних потерь энергии, то эта работа полностью переходит в тепло:
Q = A = IU ∆t (количество теплоты) Q – тепло Джоуля – Ленца.
В общем виде это выражение выглядит следующим образом:
Q = ∫IU ∆t = ∫I 2 Rdt = ∫UR2 dt
Это закон Джоуля – Ленца в интегральной форме.
Рассмотрим тепло, выделяющееся в бесконечно малом объеме проводника за бесконечно малое время dt.
δQ = I 2 Rdt = ( jdS )2 ρdSdl dt = ρ jdSdldt.
dtdVδQ = ρ j2 =σ E2 = jE = ( jE)
– закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме.
55
Лекция 12
Электрические цепи.
1. Сторонние силы. Понятие об ЭДС.
j = ρ1 E.
Ранее не уточнялась природа поля, создающего напряженность E .
Это поле должно двигать заряды. Это может быть электростатическое поле. Однако оно не может обеспечить существование постоянного тока, т.к. его работа по замкнутому контуру равна нулю. Постоянный ток выделяет тепло, следовательно, его работа не равна нулю. Значит, должны быть поля другой природы, например, механической, как генератор Ван-дер-Граафа, химической в элементах питания, давление электронного газа (термопара) и т.д.
Все силы, кроме кулоновских, называются сторонними, поэтому:
j = ρ1 (Eкул. + Eстор. ).
По аналогии с выводом закона Ома в интегральной форме, получим:
U12 = IR12 = ∫2 |
Eкул.dl + ∫2 |
Eстор.dl . |
1 |
1 |
|
|
ϕ1 −ϕ2 |
ε12 |
ЭДС (электродвижущей силой) называется отношение работы сторонних сил по перемещению пробного заряда из точки (1) к точке (2) к величине этого заряда:
ϕ −ϕ |
|
= |
Aкул. |
разностьпотенциалов |
||||
2 |
|
12 |
; |
|||||
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
q |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
ε12 = |
|
A12стор. |
|
; |
|
ЭДС |
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
Aвсех.
U12 = 12q . напряжение
ЭДС – величина алгебраическая. Она положительна, если сторонние силы обеспечивают движение заряда от точки с меньшим потенциалом к точке с большим, т.е. от "-" к "+".
2. Закон Ома для участка цепи с источником (для неоднородного участка цепи)
IRобщ. =ϕ1 −ϕ2 +ε12
При записи данного закона необходимо соблюдение правила знаков. Если ток направлен от первой точки ко второй, то знак силы тока - положительный.
56
Если при движении от первой точки ко второй источник проходится от "-" к "+", то ЭДС – положительная и наоборот.
3. Закон Ома для замкнутой цепи.
I = |
ε |
. |
I = |
ε |
|
Rобщ. |
r + R |
||||
|
|
|
4. Характеристики источника ЭДС и терминология.
Определение ЭДС |
Определение внутреннего |
|
сопротивления |
RV (сопротивление вольтметра) – RA – (сопротивление амперметра) - большое. мало.
I ≈ |
ε |
; U |
|
= IR = ε. |
|
I |
|
= ε |
r = |
|
ε |
. |
|||
|
V |
|
A |
|
|
||||||||||
|
RV |
V |
|
|
|
|
r |
|
Iкз(короткое замыкание) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
I = |
|
ε |
|
U = IR = ε |
R |
(на внешнем участке). |
|
||||
|
|
|
|
|
R + r |
R + r |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Источник напряжения |
|
|
|
Источник тока |
|
||||||||
|
|
|
|
r R; |
|
|
|
|
|
r R; |
|
|
|||
|
|
|
|
U ≈ ε |
− const |
|
|
|
|
|
ε |
−const |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I ≈ r |
|
|
57
5. Пример ЭДС
a =ω2r; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ε = ∫Eсторdl = ∫ |
|
F |
dl = ∫ |
|
ma |
|
dl = |
|
m |
∫ω2r |
dr |
= |
mω |
2 R2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
e |
|
|
e |
|
|
|
e |
|
dl |
2 |
e |
|
|
|
6.Соединения проводников.
|
Последовательное |
Параллельное |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Схема |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
Ток |
I – одинакова |
|
I = ∑Ii |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||
Напряжение |
U = ∑Ui |
U – одинаковое |
||||||||
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
n |
|
1 |
n |
1 |
|
||
Сопротивление |
|
R = ∑Ri |
= ∑ |
|
||||||
|
R |
Ri |
||||||||
|
|
|
i=1 |
|
i=1 |
|||||
Проводимость |
|
1 |
= ∑ |
1 |
|
λ = ∑λe |
||||
|
λ |
λ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа.
Если в цепи нельзя выделить последовательного или параллельного соединения, то для решения задач используют так называемые правила Кирхгофа.
Они не являются какими-либо новыми законами, а являются следствием закона Ома. Помимо правил Кирхгофа, существуют и другие методы, например, метод контурных токов.
Определение: Узлом электрической цепи называется точка, в которой соединяется более двух проводников.
Первое правило Кирхгофа: Сумма токов в узле равна нулю.
∑Ii = 0
58
Второе правило Кирхгофа: Сумма напряжений в замкнутой цепи равна сумме ЭДС.
n |
N |
∑Ii Ri = ∑εi |
|
i=1 |
i=1 |
8.Алгоритм решения задач по правилам Кирхгофа.
1.Определить число участков цепи и на каждом участке показать произвольное направление тока.
2.Определить число узлов в цепи N и для (N-1) узла записать первое правило Кирхгофа, считая, что входящие токи – положительны, а выходящие – отрицательны.
3.Определить число замкнутых контуров в цепи M и для (M-1) контура записать второе правило Кирхгофа. Предварительно выбрать для каждого контура направление обхода. Если ток совпадает с направлением обхода, то напряжение положительно и наоборот. Если источник проходится от "- " к "+", то ЭДС положительна и наоборот.
4.Выписать получившуюся систему уравнений. Число неизвестных величин должно совпадать с числом уравнений. Если это не так, то см. пункт 1.
5.Решить полученную систему.
6.Если получившаяся сила тока положительна, то, значит, направление тока было угадано верно. Если отрицательна, то на самом деле по участку цепи ток идет в другую сторону.
59
Лекция 13
Ток в металлах
Ранее отмечалось, что протекание тока в металлах обусловлено наличием свободных электронов. Существуют экспериментальные доказательства данного утверждения.
1. Опыт Рикке (1911)
Немецкий ученый Рикке поставил следующий эксперимент. Через три последовательно соединенных металлических цилиндра (медь, алюминий, медь) в течение года протекал электрический ток.
За год прошел электрический заряд Q = 3,5 МКл.
I ≈ 0,1A.
Не было зарегистрировано изменение массы этих проводников с точностью до 0,03 мг.
∆m < 0,03мг.
Это говорит о том, что ток обусловлен движением частиц, одинаковых для всех металлов.
2. Опыты Папалекси и Мандельштама (1912 – 1913)
Русские ученые предложили следующую идею: есть проводник, который движется с некоторой скоростью, а потом резко тормозится.
С помощью данного эксперимента можно было установить знак частиц, отвечающих за ток в металлах. Их эксперименты показали, что это отрицательные частицы. Опыт
можно было бы выполнить и с количественным результатом, но помешала первая мировая война.
3. Опыты Толмена – Стюарта (1915 – 1916).
Опыт был поставлен в лаборатории калифорнийского университета США с численным результатом.
60
Fин = −ma; |
qE = −ma; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
E = − m dυ |
; |
|
|
|
|
|
mL 0 |
mL |
|
|||
|
|
q dt |
|
|
Q |
= ∫Idt = − |
|
υ∫dυ = − |
|
υ0 ; |
||
|
|
m dυ |
m dυ |
qR |
qR |
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||
ε = ∫Edl = − q dt ∫dl = − q dt L; |
|
|
|
|
||||||||
q |
= |
Lυ0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||
I = |
ε |
= − mL dυ ; |
|
m |
RQ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
qR dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
С помощью данных экспериментов было подтверждено, что ток обусловлен движением отрицательных частиц и был измерен удельный заряд.
В 1897 году Дж. Дж. Томсон открыл электрон, для которого удельный заряд равен:
|
q |
|
|
|
1,60 10−19 |
11 Кл |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
= |
9,1 10−31 |
≈1,7 10 |
кг . |
|
m |
||||||
Оказалось, что ток в металлах обусловлен движением электронов.
4. Электроны в металле
Электрон в атоме находится в потенциальной
яме.
Когда атомы объединяются в кристаллическую решетку, их потенциальные ямы перекрываются. Энергии электрона может хватить, чтобы преодолеть потенциальный барьер. Электрон начинает принадлежать не одному атому, а всему кристаллу. Говорят, что электроны обобществляются или коллективизируются и в металлах существует
электронный газ.
Электроны абсолютно свободны в металле, т.к. очень малой разности потенциалов хватает для возникновения тока. Электронный газ выполняет связывающую роль для кристаллов.
Несложно оценить концентрацию электронов в металле.
ρ = m0n; |
|
|
|||
n = |
ρ |
= (для Cu) = |
9 103 |
≈ 0,08 1030 ≈ 8 1028 м−3. |
|
m |
64 1,7 10−27 |
||||
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
Такой же порядок концентрации дают и другие, в том числе экспериментальные, методы, например, эффект Холла (см. далее).
61
5. Классическая электронная теория Друде – Лоренца
Считаем, что электронный газ является идеальным и подчиняется статистике Максвелла-Больцмана.
|
mυ |
2 |
|
3 |
kT; υкв = |
3kT |
|
3 1,38 10−23 3 102 |
|
5 |
м с |
(тепловая скорость) |
||||||||||||||||||||
|
|
кв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
=1, 2 10 |
|
||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
m |
|
9,1 10−31 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Дрейфовую скорость упорядоченного движения можно оценить |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
107 |
|
|
|
1 |
|
|
−2 |
|
−4 |
м |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
υ |
= |
|
= |
|
|
|
|
= |
10 |
≈ 7 10 |
; |
υ <<υ |
кв. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
e |
|
8 |
1028 1,6 |
10−19 |
14 |
|
|
|
с |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Это скорость каждого отдельного электрона. За возникновение тока отвечает скорость передачи возбуждения по цепи, т.е. скорость света.
Считаем, что электроны между собой не взаимодействуют, а взаимодействие с узлом кристаллической решетки сводится к столкновениям и передачи им энергии электрона. Пусть время между столкновениями τ, тогда скорость равна
υmax = a τ; |
|
υmax = |
|
|
e |
|
τ |
E; |
υ |
= |
|
υmax |
= |
|
|
e |
|
τ |
E; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
m |
|
|
2m |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
a = |
F |
= |
|
|
l |
|
E |
; |
j = |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
e2nτ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n υ |
; |
|
j = |
E. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
m |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
σ
То есть, получаем закон Ома в дифференциальной форме.
W = |
mυmax2 |
= |
me2τ2 |
|
E2 ; |
ω =W n = |
e2τ2n |
E2 |
; |
|||||||
|
|
|
||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
m2 2 |
|
|
|
1 |
|
2m |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ω |
= e2nτ |
E2 = |
|
δQ |
; |
|
δQ |
= e2nτ E2 . |
|
|||||||
τ |
|
dVdt |
|
dVdt |
|
|||||||||||
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
||||||
σ
Получим закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме.
σ = e2nτ = 1 2m ρ
Теория Друде – Лоренца позволяет обосновать законы Ома и Джоуля – Ленца.
6. О нарушениях закона Ома
Закон Ома справедлив, пока электростатическая энергия много меньше тепловой.
|
|
|
|
q∆ϕ = qEl << |
3 kT; |
|
|
E = |
3kT . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2ql |
Для газов: |
Eкр. |
= |
3 1,38 10−23 102 3 |
≈ 4 10 |
6 |
В |
. |
|
||||
2 |
1, 6 10 |
−19 |
10 |
−8 |
|
м |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
62