краткий курс лекций по электростатике

7. Поле двух разноименно заряженных плоскостей

8. Поле шара

Er = k RQ3 r, r < R. Er = k rQ2 , r > R.

Очевидно, что поле шара вне шара, поле сферы вне сферы и поле точечного заряда совпадают.

23

Данное утверждение и составляет суть теоремы о циркуляции. В математике подобный интеграл называют циркуляцией.

Закон: Циркуляция напряженности электростатического поля по произвольному замкнутому контуру равна нулю.

4. Понятие о циркуляции

Пусть в некоторой области пространства существует векторное поле A . Определение: Циркуляцией вектора A по

произвольному замкнутому контуру L называется следующий криволинейный интеграл:

Γ = ∫ ( A,τ )dl

L

Здесь τ - единичный вектор, касательный к контуру в данной точке, направленный в сторону положительного обхода контура.

Существует соглашение, что положительное направление обхода контура (направление τ ) выбирается таким, чтобы область, охваченная контуром, оставалась при обходе слева.

Напомним, вкратце, как можно “сконструировать” криволинейный интеграл. Для этого нужно выбрать точку на контуре, показать в ней вектор A , в этой же точке показать единичный вектор касательной, вычислить скалярное произведение (A,τ ) , разбить контур на малые элементы, длину элемента обозначить ∆l , вычислить произведение (A,τ )∆l ; проделать это для всех

элементов контура; произвести суммирование результатов, устремляя элемент длины контура ∆l к нулю - перейти от суммирования к интегрированию.

Так же, как и поток, циркуляция является ещё одной характеристикой свойств векторного поля. А именно, циркуляция характеризует степень завихренности векторного поля.

Пример: если в качестве «измерителя» циркуляции поля скоростей жидкости можно взять турбинку, то если она вращается, циркуляция не равна нулю.

25

Циркуляция – это интегральная характеристика поля.

5. Понятие ротора

Поле по своей структуре может быть достаточно неоднородным. Циркуляция же не дает детальной характеристики поля. Следовательно, начнем стягивать контур интегрирования к какой-либо точке М (уменьшать турбину). Циркуляция при этом будет стремиться к нулю, но и площадь, охваченная контуром, также будет стремиться к нулю. А их отношение дает конечное число.

Турбину можно ориентировать в пространстве тремя независимыми способами. Следовательно, таким способом можно получить 3 независимых числа, а три числа – это вектор, следовательно, образуется векторная характеристика поля, которая и называется ротором.

∫(A,τ )dl

(n, rot A) = lim L

∆S →0 ∆S

L→M

Ротор – это локальная или дифференциальная характеристика.

6.Формула Стокса

Вматематике доказывается теорема Стокса, связывающая циркуляцию вектора с интегралом по поверхности, охваченной контуром интегрирования.

∫ (A,τ )dl = ∫(rot A,n)dS

LS

7.Выражение для ротора в декартовой системе координат (x, y, z).

8. Циркуляция и ротор в электростатике

Используя формулу Стокса можно показать, что ротор напряженности электрического равен нулю.

rot E = 0

- это теорема о циркуляции в дифференциальной форме.

Заметим, что данная теорема справедлива только для электростатического поля. Если поле не статическое, то теорема не справедлива. В принципе измерить циркуляцию или ротор можно с помощью «электророторметра».

9. Потенциальная энергия

Из механики известно, что если работа силы не зависит от формы траектории, то сила называется консервативной, а если работа поля по замкнутой траектории равна нулю, то поле называется потенциальным. Следовательно, кулоновская сила – это сила консервативная, а электростатическое поле – поле потенциальное.

В связи с этим можно ввести понятие потенциальной энергии.

A12 =Wp1 −Wp2

10. Разность потенциалов

Поделим работу на заряд.

Aq12 = Wqp1 −Wqp2 = ∫(E, dl ).

Правая часть зависит только от самого поля. Следовательно, и левая часть также является характеристикой поля. Её называют разностью потенциалов.

Определение: Разностью потенциалов между двумя точками электростатического поля называется отношение работы, совершенной полем по перемещению пробного заряда между этими точками к величине этого заряда.

Следующее выражение – интегральная связь между разностью потенциалов и напряженностью.

27

ϕ1 −ϕ2 = ∫(E, dl )

Не следует путать разность и изменение.

Замечание: Потенциальная энергия (потенциал) определяется с точностью до постоянной, и физический смысл имеет не она сама, а её изменение или разность.

Замечание: Потенциал и напряженность – это две равноправные характеристики поля. Напряженность – это силовая характеристика, а потенциал – энергетическая.

Замечание: Если рассматриваемая среда не вакуум, то напряженность и потенциал в ε раз меньше, где ε – диэлектрическая проницаемость среды.

11. Единица разности потенциалов

Определение: 1 Вольт – единица СИ разности потенциалов, равная разности потенциалов между двумя точками электрического поля при перемещении между которыми пробного заряда 1 Кулон совершается работа 1 Джоуль.

ϕ1 −ϕ2 = Aq12 ;

[∆ϕ]= 11джоулькулон =1 ДжКл =1 вольт =1В.

12. Потенциал точечного заряда.

ϕ2 r2 →∞ = 0;

ϕ = k qr .

28

Лекция 6 Потенциал электрического поля (продолжение).

13. Потенциал системы точечных зарядов

Потенциал, как и напряженность, подчиняется принципу суперпозиции.

14. Потенциал заряженного тела.

15. Измерение разности потенциалов.

Производится при помощи электрометров и пламенных зондов.

16. Понятие скалярного поля.

Если в пространстве каждой точке поставлено в соответствие некоторое число, то говорят, что определено скалярное поле u(x, y, z).

Если соединить точки с одинаковым значением функции, то получим поверхность u(x,y,z)=const, которая называется поверхностью уровня. Таким образом, скалярное поле характеризуется поверхностями уровня, в отличие от векторного поля, которое характеризуется силовыми линиями. Векторное поле существенно сложнее скалярного, т.к. имеет такие особенности, как источники, стоки и завихренности. Поверхности уровня не касаются и не пересекаются.

Векторное поле характеризуется двумя дифференциальными операторами, а скалярное поле одним - градиентом.

Для скалярного поля нас может интересовать, в каком направлении оно изменяется и как быстро это происходит, т.е. вектор. Этот вектор и называется градиентом.

Определение: Градиентом скалярной функции называется вектор,

направленный в сторону максимального возрастания функции, а модуль его равен производной функции в данном направлении.

29

grad U = ∂∂Ul dl .

Очевидно, что градиент и поверхность уровня перпендикулярны друг другу.

17. Градиент скалярного поля в различных системах координат.

18. Связь напряженности и потенциала.

ϕ1 −ϕ2 = ∫Edl ; −dϕ = Edl ; dϕ = (grad ϕ, dl ).

E = −grad ϕ

Таким образом, напряженность показывает направление наибольшего убывания потенциала. Это дифференциальная связь между напряженностью и потенциалом. Она справедлива только в электростатике.

19. Эквипотенциальные поверхности

Если речь идет об электрическом поле, то поверхности одинакового уровня (одинакового потенциала) называют эквипотенциальными поверхностями. Они перпендикулярны (ортогональны) линиям напряженности. Следовательно, зная одно, можно изобразить и другое.

Пример: точечный заряд, пара разноименных, пара одноименных.

Для проводников в электростатике эквипотенциальная поверхность вырождается в эквипотенциальный объём.

30

20. Примеры

E = −grad ϕ

Пример 1: Потенциал плоскости

Пример 2: Потенциал двух бесконечных разноименно заряженных плоскостей.

Пример 3: Потенциал сферы.

ϕ = const (внутри).

31

32