краткий курс лекций по электростатике
.pdf∞∫ f (x)δ(x)dx = f (0); |
∞∫ f (x)δ(x0 − x)dx = f (x0 ) |
−∞ |
−∞ |
Аналогично одномерной, определяется и трехмерная δ - функция:
→ |
|
→ |
|
|
→ |
|
|
0, r→ |
≠ 0 ; |
∫ |
δ(r )dv = 0; |
δ(r ) = |
|||||
|
|
|
= 0 |
|
|
|
∞, r |
|
|
Свойства δ - функции в трехмерном случае:
→ → |
→ → |
→ |
∫ f (r )δ(r )dv = f (0) |
∫ f (r )δ(r |
0 −r )dv |
→
= f (r 0 )
12. Опыт Милликена.
Частица в вязкой среде |
Даем напряжение |
Освещаем светом |
G + FA + FC0 = 0; G = FA + FC0 ; mg = m0 g + kυ0 ; (m −m0 )q = kυ0 .
FЭ + FA = FC +G;
q E + m0 g = kυ + mg; q E = (m −m0 )q + kυ; q E = k (υ +υ0 ).
q1 E = k (υ1 −υ0 ); q2 E = k (υ2 −υ0 );
q1 |
|
= |
υ1 |
−υ0 . |
|
q2 |
|||||
|
|
υ2 |
−υ0 |
13
Лекция 2
Закон Кулона
1. Историческая справка
Закон Кулона был открыт в 1771 году Кавендишем. Сам Кулон открыл этот закон в 1785.
2. Формулировка
Закон Кулона: Сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов в вакууме прямо пропорциональна произведению зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Эта сила притяжения для разноименных зарядов и отталкивания – для одноименных зарядов.
в векторной форме |
в скалярной форме: |
||||||||||||
F12 = k |
q1q2 |
|
r12 |
|
|
|
q q |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
F = k |
|
|
1 |
2 |
|
|
|||
r |
2 |
r |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
12 |
|
|
|
|||||||
|
12 |
|
12 |
|
|
|
|
r12 |
|
|
|
3. Проверка методом Кулона с помощью крутильных весов
1
F ~ r 2 ; F ~ q1q2 .
4. Экспериментальная проверка Кавендиша по методу Пристли
F ~ |
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
r2+α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
dF = |
|
|
F |
− F |
|
|
= |
k |
qσdS1 |
|
− k |
|
qσdS2 |
|
= |
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r 2+α |
|
|
|
|
|
r2+α |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
k |
|
qσ |
|
|
|
|
dS1 |
|
− |
|
dS2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
rα |
|
|
|
|
r2 |
rα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
dΩ = dS cosα |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
dF = k |
|
qσ |
|
dΩ |
1 |
|
− |
1 |
|
. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
rα |
rα |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
14
Если α = 0, |
то dF = 0; Если α ≠ 0, |
то dF ≠ 0. |
K :α < 0,02; |
M :α < 0,00005; 1971 |
год:α <10−16. |
5. Проверка на больших и малых расстояниях
Данная проверка осуществляется косвенными методами. Известно, что если частица – переносчик взаимодействия, имеем нулевую массу покоя, то сила взаимодействия обратно пропорциональна квадрату расстояния; если масса покоя не нуль, то сила ~ потенциалу Юкавы
F ~ |
dϕ |
; |
ϕ ~ |
1 |
exp(− |
r |
), |
dr |
r |
|
|||||
|
|
|
|
r |
|||
|
|
|
|
|
0 |
|
т.е. задача сводится к определению массы покоя частиц – переносчиков. Для электромагнитного поля – это фотон. Его масса покоя не более 10-48 кг.
Опыты Резерфорда по рассеиванию α – частиц показали, что закон Кулона выполняется на атомных расстояниях. На ядерных расстояниях закон Кулона не работает.
6. |
Коэффициент пропорциональности |
|||
|
Зависит от системы единиц. |
|
|
|
СИ : k = c2 |
≈ 9,0 109 Н м2 ; k = |
1 |
; ε0 ≈ 8,85 10−12 Ф м. |
|
|
107 |
Кл2 |
4πε |
0 |
ε0 – электрическая постоянная |
|
|
||
7. |
Закон Кулона в средах. |
|
|
FF0 = const = ε ≥1
диэлектрическая проницаемость среды
F12 = k qε1rq32 r12 12
– закон Кулона в среде.
8. Принцип суперпозиции
вакуум |
1 |
|
воздух |
1,000594 |
|
керосин |
2 |
|
титанат |
1200 |
|
бария |
||
|
Существенным содержанием закона Кулона является положение об аддитивности взаимодействия зарядов. Для подтверждения этого необходимо рассмотреть более двух зарядов. Эксперименты показывают, что если некий заряд взаимодействует с двумя другими, то сила, действующая на него, равна сумме сил, действующих со стороны каждого заряда в отдельности. В этом и заключается принцип суперпозиции или принцип действия двух сил.
F= ∑Fi
i=1N
Данное положение не доказывается и принимается за постулат и выполняется в очень широких пределах. Оно не выполняется на ядерных расстояниях, в очень сильных полях.
15
Лекция 3
Напряженность электрического поля
1. Понятие напряженности
Рассмотрим систему точечных зарядов, которые создают поле, и в это поле поместим пробный заряд.
F = ∑Fi |
0 = |
∑k qi q03 ri0 ; |
||||||||||
|
N |
|
|
|
N |
|
|
|||||
|
i=1 |
|
|
|
i=1 |
|
ri0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
F = k∑ qi |
3 ri0 = E. |
|||||||||||
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q0 |
i=1 |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
i0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражение справа зависит только от исходного положения зарядов и от положения исследуемой точки, следовательно, это характеристика поля, создаваемого электрическим зарядом.
Эту характеристику назвали напряженностью E .
Определение: Напряженностью электростатического поля называется физическая величина, равная отношению силы, действующей со стороны поля на пробный заряд к величине этого заряда.
E = Fq
К данному определению надо подходить с некоторой осторожностью, т.к. любой заряд вносит искажения в существующее поле, а устремление пробного заряда к нулю невозможно, т.к. существует минимальный электрический заряд. С формальной точки зрения лучше исходить из следующего определения.
Определение: Напряженностью электростатического поля системы точечных зарядов называется функция зарядов – источников поля, определенная следующим образом.
E = k∑N qi ri
i=1 ri3
Первое определение в этом случае используется для указания силы, действующей на заряд.
16
2. Единица напряженности
E =1 КлН =1 Вм.
Определение: 1 В/м – единица СИ напряженности электрического поля, равная напряженности такого однородного поля, в котором между двумя точками, находящимися на расстоянии 1 м вдоль линии поля существует разность потенциалов 1 В.
3. Принцип суперпозиции
Для напряженности также как и для силы выполняется принцип суперпозиции, т.е. напряженность поля, созданная системой зарядов, равна сумме напряженностей создаваемых каждым зарядом в отдельности.
E= ∑Ei .
i=1
4.Напряженность поля заряженного телаN
Если поле создано не точечными зарядами, а телом, то поступают также как и в механике. Мысленно разбивают тело на большое число элементов, заменяют каждый элемент материальной точкой и, устремляя размер элемента к нулю, переходят от суммирования к интегрированию.
|
|
N |
dq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dq |
|
||||||
E (r )= k∑ |
|
i |
|
ri = k |
∫ |
|
|
|
3 |
ri ; |
|||||||||||
r |
3 |
|
|
r |
|||||||||||||||||
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
V ' |
|
i |
|
|
|||
|
E (r )= k ∫ |
|
dq |
(r − r ') |
|
||||||||||||||||
|
|
r − r ' |
|
3 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
ρ = |
dq |
; E(r ) = k ∫ |
|
ρ(r ')dV |
' |
(r − r '). |
|||||||||||||||
dV |
|
|
|
r − r ' |
|
3 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
V ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17
5. Напряженность точечного заряда
F = k |
|
qq0 |
r; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
r3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
E = |
F |
|
= k |
|
q |
r. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
q |
|
|
r3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
E = k |
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
(r − a); |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
r − a |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
E(r ) = k ∫ |
qδ(r '− a)dV ' |
(r − r ') = k |
|
q |
|
|
(r − a); |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r − r ' |
|
3 |
|
r − a |
|
3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
V ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
E(r ) = k |
|
|
q |
r; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
E(r ) = k |
|
| q | |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расходимость в нуле не должна настораживать, т.к. точечный заряд – это идеализация, а для любого реального распределения заряда, как будет показано ниже, бесконечностей нет.
6. Понятие о поле
При данном определении напряженности поля возникает вопрос: поле – это объективная реальность или это математическое построение?
Находясь в рамках электростатики, на данный вопрос ответить нельзя, т.к. не существует поля без заряда.
Ответ на поставленный вопрос будет дан в рамках электродинамики, когда будет показано, что поле может существовать и без заряда. Пока ограничимся утверждением, что понятие поля имеет физический смысл, и если мы знаем напряженность поля в каждой точке, то, вычислив силу, будем знать, что будет происходить с заряженным телом, помещенным в это поле.
18
7. Графическое представление поля
Для изображения поля используют 2 способа:
1.С каждой точки пространства можно связать вектор напряженности.
2.Показать линии напряженности или силовые линии, т.е. линии касательные к которым в каждой точке совпадают с векторами напряженности.
Эти линии гладкие, без изломов, непрерывные. Они начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных. Чем они гуще, тем выше напряженность.
Пример: поля одинаковых по модулю разноименных и одноименных зарядов
Линии напряженности могут быть экспериментально показаны.
7. Пример: Поле полусферы
E = ∑Ei ; |
dS = R sinθdϕRdθ; |
|||||||||||||
Ex |
= ∑Eix = ∑Ei cosθi ; |
Ek = |
|
|
k |
∫R2 sinθdϕdθ cosθ; |
||||||||
|
2 |
|||||||||||||
Ex |
= k∑ |
qi |
cosθi ; |
|
|
|
R |
S ' |
||||||
|
|
|
|
q |
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
R |
σ = |
|
|
|
|
|
; |
|||
Ex |
= |
k |
∫dq cosθ; |
2πR2 |
||||||||||
E = kσπ; |
||||||||||||||
R2 |
||||||||||||||
dq =σdS; |
E = k |
|
q |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2R2 |
19
Лекция 4
Теорема Гаусса
Ранее была установлена связь между характеристикой электрического поля
– напряженностью и его источниками, т.е. зарядами в виде определения напряженности. Существует еще одна связь между ними, которая может оказать существенную помощь при решении симметричных задач – теорема Гаусса. Заметим, что она входит в качестве постулата в систему уравнений Максвелла.
1.Общие замечания о векторном поле
Вфизике достаточно часто приходится изучать векторные поля (поле скорости жидкости, электромагнитное поле), теория которых достаточно хорошо разработана в математике.
Поле называют векторным, если каждой точке пространства поставлено в соответствии три числа, т.е. вектор.
Векторные поля существенно сложнее скалярных. Вектор поля можно показать с помощью силовых линий. Могут существовать точки, в которых эти линии начинаются и заканчиваются, такие точки называются источниками и стоками. Для электрического поля – это положительный и отрицательный заряд. Где линии гуще – поле сильнее.
Интегральной характеристикой векторного поля является поток вектора поля через какую-то либо поверхность. Дифференциальной или локальной характеристикой векторного поля является дивергенция. Вся терминология пришла из гидродинамики.
2.Понятие потока
Пусть имеется какое-либо векторное поле (E ) и некоторая поверхность (S).
На этой поверхности мы выберем маленькую площадку dS, покажем нормаль к этой точке (n) .
Определение: Потоком (Φ) вектора E
через произвольную поверхность площади S называется поверхностный интеграл следующего вида:
Φ = ∫S (E, n)dS ,
или используется ещё обозначение
20
Φ = ∫EdS ,где dS = n dS – произведение нормали на площадь.
S
Если поверхность замкнута, то поток через замкнутую поверхность обозначается, как
Φ = ∫EdS ,
S
где ∫v – интеграл по замкнутой поверхности.
Поток – это объёмная или интегральная характеристика векторного поля.
Возьмем точку M в пространстве. Окружим ее замкнутой поверхностью S и вычислим поток через замкнутую поверхность. Затем поверхность будем стягивать к точке. Понятно, что поток начинает
уменьшаться, однако отношение потока к объему, охваченному этой поверхностью, будет конечной величиной – это отношение и называется дивергенцией.
Определение: Дивергенцией векторного поля в точке пространства называется следующий интеграл.
div EG = lim |
∫vS (EG,dSG) |
, |
div – дивергенция. |
|
∆V |
||||
S →M |
|
|
||
∆V →0 |
|
|
|
Очевидно, если div>0, то в точке пространства находится источник поля; если div<0, то в точке сток поля; если div=0, то нет ни источника, ни стока.
Чем больше div, тем мощнее источник.
дивергенция – это скалярная характеристика, поставленная в соответствие векторному полю.
3.Дивергенция в различных системах координат.
a)Декартова (x, y, z).
div E = ∂∂Exx + ∂∂Eyy + ∂∂Ezz .
b) Цилиндрическая (ρ; ϕ; z), ρ – расстояние.
div E = |
1 ∂(ρEρ ) |
+ |
1 ∂Eϕ |
+ |
∂E |
z . |
||||
ρ |
|
∂ρ |
ρ |
|
∂ϕ |
|
||||
|
|
|
|
|
∂z |
c) Сферическая (r, ϕ, θ).
div E = |
1 |
∂(r2 E |
) |
+ |
1 |
∂(sinθE |
) |
+ |
1 |
|
∂Eϕ |
. |
|
r |
|
|
θ |
|
|
|
|
||||
r2 |
|
r sinθ |
∂θ |
|
r sinθ |
|
∂ϕ |
|||||
|
дr |
|
|
|
|
|
|
21
4. Теорема Остроградского – Гаусса
Данная теорема связывает поверхностный и объемный интеграл.
∫S (E, n)dS = ∫V div E dV.
5. Теорема Гаусса в физике
E = k |
Q3 r; Φ = ∫(E, n)dS = ∫k |
Q3 (r, n)dS = kQ ∫ |
r |
dS = kQ ∫ dS2 = kQ4∫π dΩ = 4πkQ. |
|
3 |
|||||
|
r |
r |
r |
S r |
0 |
Φ= ∫(E, n)dS = 4πkQ = Q
ε0
Это теорема Гаусса в интегральной форме.
Оказывается, что данное выражение справедливо для любого распределения зарядов.
Закон: Поток напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность определяется зарядом внутри этой поверхности.
∫div E dV = |
1 |
∫ρdV. |
||
ε |
|
|||
V |
0 V |
|||
|
Отсюда следует теорема Гаусса в дифференциальной форме:
div E = ε1 ρ .
0
6. Поле бесконечной плоскости
Будем считать, что заряд существует и на одной поверхности.
Φ = ∫(E, n)dS = ∫ EdS = E ∫dS = E2S = |
1 |
2σS; |
E = |
σ . |
|
||||
|
ε0 |
|
ε0 |
Очевидно, что поле не зависит от расстояния, т.е. однородно. Если выберем 0 на плоскости и обозначим ось x, то
Ex |
= sign (x) |
σ |
1, |
x > 0; |
ε0 |
sign(x) = |
x < 0. |
||
|
|
1, |
На самой плоскости нормальная составляющая напряженности испытывает разрыв и терпит скачок.
22