5.5. Задача о конкурирующих супермаркетах
Три супермаркета конкурируют между собой с целью привлечения возможно большего количества покупателей. На 1 января известно распределение покупателей по супермаркетам в процентах. Фирма по изучению рынка подметила за прошлый год некоторые закономерности в средних ежемесячных переходах покупателей из одного супермаркета в другой. Эти переходы приведены в задании в виде процента сохранения своих покупателей и получения покупателей из других супермаркетов. Требуется сделать прогноз о возможном количестве покупателей в каждом супермаркете, предполагая общее число покупателей постоянным. Для этого необходимо:
Построить граф и составить матрицу переходов для средних ежемесячных изменений количества покупателей,
Определить, какой процент покупателей будет иметь каждый супермаркет на 1 февраля,
Определить, какой процент покупателей будет иметь каждый супермаркет на 1 марта. Использовать для этого два способа расчета,
Найти процент покупателей для каждого супермаркета в установившемся режиме, составить для этого матричное уравнение и решить полученную систему линейных уравнений.
Представить в табличном виде распределение покупателей по супермаркетам в динамике.
Пример. Решить задачу о супермаркетах для следующих данных. На 1 января магазин А посещало 35%, магазин В – 40%, а магазин С – 25% всех покупателей. За предыдущий год в среднем за месяц:
Магазин А сохранил 80% своих покупателей и получи 10% покупателей магазина В и 2% покупателей магазина С;
Магазин В сохранил 70% своих покупателей и получил 14% покупателей магазина А и 8% покупателей магазина С
Магазин С сохранил 90% своих покупателей и получил 6% покупателей магазина А и 20% покупателей магазина В.
Решение. Будем рассматривать процесс переходов покупателей из магазина в магазин как цепь Маркова (рис.10).
Рис.10. Граф переходов покупателей – Марковская цепь
Матрица переходных вероятностей имеет вид
По условию вектор начальных вероятностей
равен
.
Поэтому прогноз распределения покупателей
на 1 февраля:
Прогноз распределения покупателей на 1 марта:
Этот прогноз можно получить также по
формуле
,
где
и, следовательно,
Для оценки состояния рынка в установившемся режиме необходимо решить систему уравнений π = π ∙ Р. В матричном виде эта система уравнений имеет вид
,
Откуда
Последняя система является неопределенной, причем 3-е уравнение является следствием 1-го и 2-го уравнений. Получим решение этой системы с учетом условия
π1+ π2+ π3= 1, используяMicrosoftExcel7.0. В ячейки А2:С3 запишем коэффициенты первых двух уравнений системы, а в ячейки А4:С4 введем 1 (коэффициенты дополнительного условия). В ячейки Е2:Е4 занесем соответствующие свободные члены, как показано в табл.9.
Таблица 9
Предположим, что решение системы будет содержаться в ячейках А7:С7. В ячейки D2:D4 запишем формулы
D2 = СУММПРОИЗВ(А2:С2; А7:С7),
D3 = СУММПРОИЗВ(А3:С3; А7:С7),
D4 = СУММПРОИЗВ(А4:С4; А7:С7).
Обратившись к процедуре «Поиск решения» пункта меню «Сервис», следует заполнить надлежащие поля, как показано на рис.11.