Временные характеристики работ

Шифр работы	Продолжи- тельность работы	Срок начала работы		Срок окончания работы		Резерв времени работы
		ранний	поздний	ранний	поздний	полный	свободный
(0,1) (0,2) (1,3) (1,4) (2,4) (2,5) (3,4) (3,6) (4,5) (4,6) (5,6) (5,7) (6,7)	3 1 2 4 3 2 1 1 1 3 1 5 2	0 0 3 3 1 1 5 5 7 7 8 8 10	0 3 4 3 4 6 6 10 7 8 10 8 11	3 1 5 7 4 3 6 6 8 10 9 13 12	3 4 6 7 7 8 7 11 8 11 11 13 13	0 3 1 0 3 5 1 5 0 1 2 0 1	0 0 0 0 3 5 1 4 0 0 1 0 1

На основе табл.5 строится линейная карта сети (рис.7).

Для каждой работы, откладываемой по оси ординат, изображены три отрезка, которые соответствуют времени до раннего начала работы, ее продолжительности и полному резерву времени.

Карта сети может быть построена в среде MicrosoftExcel. С этой целью в столбцы А, В, С иDзаносится содержимое первой, третьей, второй и седьмой колонок табл.5 соответственно. Затем выделяется блок данных столбцов В, С,Dи производится обращение к мастеру диаграмм. Выбирается линейчатая диаграмма с накоплением. В пункте меню «Ряд» в графе «Подписи оси Х:» заносится диапазон ячеек с данными столбца А. Затем указываются заголовки осей координат и заполняется легенда, как показано на рис.7.

Рис.7. Линейная карта сети

5.4. Задача о выпуске продукции при неопределенном спросе

В результате производства и реализации единицы продукции А1, А2, А3завод получает чистый доход, зависящий от спроса на продукцию, который может принимать одно из состояний В1, В2, В3, В4(заранее неизвестно, какое именно). Возможные значения дохода представлены платежной матрицей. В каких пропорциях следует выпускать продукцию А1, А2, А3, чтобы гарантировать максимальный чистый доход при любом состоянии спроса. Для этого необходимо:

• Представить задачу о выпуске продукции как матричную игру предприятия с «природой», считая спрос на продукцию полностью неопределенным,

• Произвести упрощение платежной матрицы, используя принцип доминирования,

• Найти оптимальные стратегии игроков и цену игры,

• Определить оптимальные пропорции в выпускаемой продукции с целью получения максимальной выгоды предприятию,

• Определить наиболее выгодный для завода вид продукции, используя критерии Лапласа, Вальда и Сэвиджа.

Начальные сведения по теории матричных игр приведены в [10; 11].

Пример. Найти оптимальное поведение предприятия по выпуску продукции на основе данных, содержащихся в табл.5.

Таблица 5

Платежная матрица

Продукция	Доход в зависимости от спроса на продукцию, у.е.
	В1, В2, В3, В4
А1 А2 А3	6 4 8 4 7 7 9 4 8 5 7 6

Решение. Будем рассматривать поставленную задачу как матричную игру двух лиц: с одной стороны, завод (игрок А), который может выпускать продукцию А1, А2, А3(три чистых стратегии), с другой стороны – «природа» (игрок В), имеющая четыре возможных состояния спроса на продукцию В1, В2, В3, В4(четыре чистых стратегии).

Пусть P* = (р*1, р*2, р*3) – оптимальная стратегия игрока А, аQ* = (q*1,q*2,q*3,q*4) – оптимальная стратегия игрока В. Согласно принципу доминирования стратегию А1следует исключить из рассмотрения, так как в платежной матрице все элементы первой строки не превосходят соответствующих элементов второй строки. Это значит, что р*1= 0. В результате получим матрицу.

	В1, В2, В3, В4
А2 А3	7 7 9 4 8 5 7 6

Элементы 1-го и 3-го столбцов доминируют над элементами 2-го столбца, поэтому их также можно исключить из дальнейшего рассмотрения и положить q*1=q*3= 0. Это объясняется тем, что ищется гарантированный доход, который может образоваться при самом неблагоприятном для завода состоянии спроса. В результате получим платежную матрицу размерности 2х2.

	В2, В4
А2 А3	7 4 5 6

Дальнейшее упрощение платежной матрицы уже невозможно. Оптимальная стратегия игрока А определяется следующим образом: от элементов 1-го столбца вычитаются соответствующие элементы 2-го столбца, и получившиеся разности берутся по абсолютной величине. Получим столбец . Вероятности стратегий обратно пропорциональны элементам этого столбца, то есть.

Оптимальная стратегия игрока В определяется следующим образом: от элементов 1-й строки вычитаются соответствующие элементы 2-й строки, и получившейся разности берутся по абсолютной величине. Получим строку (2 2). Вероятности стратегий обратно пропорциональны элементам этой строки, то есть

.

Определяем цену игры по любой из четырех формул:

.

Таким образом, получили оптимальные стратегии игроков:

.

Следовательно, продукция А1не должна выпускаться, продукции А2должно выпускаться ¼ ∙ 100% = 25%, а продукции А3должно выпускаться ¾ ∙ 100% = 75% от общего объема. Тогда от выпуска единицы продукции заводу гарантирован максимальный средний доход ν = 5 ½ у.е. Наиболее неблагоприятным для завода является спрос В2и В4. Для любого другого состояния спроса средний доход завода будет больше, чем ν.

Рассмотрим критерии Лапласа, Вальда и Сэвиджа. Чтобы приметить критерий Лапласа, предположим, что любое состояние спроса является равновероятным, то есть q1=q2 =q3 =q4= ¼. Тогда в случае применения стратегии А1доход равен, в случае применения стратегии А2доход равен, а в случае стратегии А3доход равен. Таким образов, оптимальной по Лапласу является стратегия А2, приносящая максимальный средних доход,Значит, предполагая спрос равномерным, следует выпускать только продукцию А2.

Критерий Вальда является критерием крайнего пессимизма, так как игрок А исходит из предположения, что спрос на продукцию действует против него наихудшим образов. Поэтому, применяя стратегию А1, можно рассчитывать только на получение дохода, равного наименьшему из чисел 1-й строки платежной матрицы

а1 =min(6,4,8,4) = 4, в случае применения стратегии А2можно рассчитывать на получение дохода а2=min(7,7,9,4) = 4, а в случае применения стратегии А3можно рассчитывать на получение дохода а3 =min(8,5,7,6) = 5. Следовательно, оптимальной по Вальду является стратегия А3, приносящая максимальный средний доход, равныйЭто означает выпуск продукции А3.

Рассмотрим критерии Сэвиджа. Для этого построим матрицу рисков (табл.6) в соответствии с формулами

Таблица 6