4. Правила выполнения и оформление контрольных работ

Изучение теоретической части курса «Математика в экономике» сопровождается выполнением контрольной работы. Исходные данные на работу выдаются преподавателем индивидуально каждому студенту. Данные можно получить также по номеру зачетной книжки через Internet. При выполнении контрольной работы студент должен соблюдать следующие требования.

Контрольная работа должна быть выполнена только в соответствии со своим вариантом, в отдельной тетради, чернилами. Графики и рисунки изображаются карандашом.

На обложке тетради помещаются наименование дисциплины, фамилия и инициалы студента, факультет, курс, группа, код специальности, номер зачетной книжки, вариант.

Решение задач следует располагать в порядке возрастания их номеров. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие, заменяя общие данные конкретными из соответствующего номера. Построение математических моделей и решение задач следует излагать подробно, объясняя все действия.

Пункты заданий, связанные с использованием компьютера, выполняются на кафедре математических методов и моделирования в экономике и управлении во время лабораторного практикума.

5. Задачи для контрольных заданий

5.1. Теория вероятностей

Задание по теории вероятностей предусматривает выполнение четырех задач. Методы решения этих задач рассмотрены в [1; 15].

Задача 1. Покупатель может приобрести акции трех компаний. Надежность первой компании в течение года оценивается экспертами на уровне а%, второй – на уровнеb%, а третий – на третий на уровне с%. Чему равна вероятность того, что: а) все компании в течение года не станут банкротами; б) наступит хотя бы одно банкротство?

Пример. Решить задачу для следующих данных: а=90,b=80,c=70.

Решение. Обозначим события:

А – Первая компания в течение года не станет банкротом,

В – вторая компания в течение года не станет банкротом,

С – третья компания в течение года не станет банкротом.

По условию задачи вероятности этих событий равны:

Р(А)=0.9, Р(В)=0.8, Р(С)=0.7.

а) Событие D, состоящее в том, что все три компании в течение года не станут банкротами, произойдет в том случае, если произойдет и событие А, и событие В, и событие С. Это значит, что событиеDравно произведению событий А, В и С:

D = A ∙ B ∙ C

Так как события А, В и С являются независимыми, то по теореме умножения вероятностей вероятность произведения событий равна произведению вероятностей, то есть

Р(D) = P(A) ∙ P(B) ∙ P(C).

Подставляя числовые значения, получим

P(D) = 0.9∙0.8∙0.7 = 0.504.

б) Пусть Е – событие, состоящее в том, что наступит хотя бы одно банкротство. Противоположное событие состоит в том, что все компании не станут банкротами, то есть Ē – D.

Поскольку сумма вероятностей противоположный событий равна 1, то

P(E) = 1-P(Ē) = 1 –P(D) = 0.504 = 0.496.

Вероятность того, что наступит хотя бы одно банкротство, равна 0.496.

Задача 2. Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт, равна р1. Вероятность того, что товар будет пользоваться спросом при наличии на рынке конкурирующего товара, равна р2. Вероятность того, что конкурирующая фирма выпустит аналогичный товар на рынок, равнаq. Чему равна вероятность того, что товар будет иметь успех?

Пример. Решить задачу для следующих данных: р1 = 0.67, р2 = 0.42,q= 0.35.

Решение. Обозначим события:

А – событие, состоящее в том, что товар будет иметь успех;

Н1 – событие, состоящее в том, что конкурент не выпустит в продажу аналогичный товар;

Н2 – событие, состоящее в том, что конкурент выпустит в продажу аналогичный товар.

По условию задачи нам известны условные вероятности:

Р(А/ Н1) = 0.67, Р(А/ Н2) = 0.42.

Известна также вероятность события Н2 : Р(Н2) = 0.35. События Н1

и Н2 являются несовместными и образуют полную группу (являются гипотезами), поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице: Р(Н1) + Р(Н2) = 1. Отсюда следует, что

Р(Н1) = 1 - Р(Н2) = 1- 0.35 = 0.65.

Для определения вероятности события А применим формулу полной вероятности:

Р(А) = Р(Н1)Р(А/Н1) + Р(Н2)Р(А/Н2)

Подставляя числовые значения, получим

Р(А) = 0.65 ∙ 0.67 + 0.35 ∙ 0.42 = 0.5825.

Вероятность того, что товар будет иметь успех, равна 0.5825.

Задача 3. В ходе аудиторской проверки строительной компании аудитор случайным образом отбираетnсчетов. Изве6стно, что а% счетов содержат ошибки. Требуе6тся:

• Составить таблицу распределения вероятностей числа правильных счетов;

• Найти числовые характеристики этого распределения;

• Записать функцию распределения вероятностей и построить ее график;

• Определить вероятность того, что хотя бы один счет будет с ошибкой.

Пример. Решить задачу для следующих данных:n= 4,a= 27.

Решение. Число правильных счетов есть случайная величина Х, которая может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4. Вероятности этих значений определим по формуле Бернулли:, гдеq= 0.27 – вероятность неправильного счета,

p= 1 –q= 1 – 0.27 = 0.73 – вероятность правильного счета. Получим:

Сделаем проверку. Сумма вероятностей должна быть равна 1. Действительно,

0,0053 + 0,0575 + 0,2331 + 0,4201 + 0,2840 = 1.

Распределение вероятностей случайной величины Х содержится в табл.1.

Таблица 1