20. Плотность вероятности непрерывной случайной величины, ее определение, свойства и график.

Опр.Плотность вер-ти н.с.в.Х наз-ся производная её фун-и распределения.

1.плотность не отрицательна

φ(x)≥0

2. Фун-я распред.н.с.в.Х выражается через плотность вре-ти по фор-ле

F(X)=∫^x_-∞φ(t)dt

3. ∫^+∞_-∞φ(t)dt=1

4. вер-ть попадания в заданный интервал

P(x1≤X≤x2)=∫^x2_x2φ(t)dt

25. Понятие двумерной (n-мерной) случайной величины. Примеры. Таблица ее распределения. Одномерные распределения ее составляющих. Условные распределения и их нахождение по таблице распределения

Опр. Вектор Z=(x,y) компоненты Х и У которые яв-ся случ-ми величинами назыв-ся случайным вектором, или двумерной случайной величиной. Например: X-рост чел-ка; У-вес чел-ка  это двумерные непрерывные величины.

Для дискретных с.в.рассматривают табл.распределения:

x\Y	Y1	…	yn
X1	P11		P1m
:
xn	Pn1		pnm

pij=P(x=xi,y=yj)

Одномерное распр.компон.:

pi=P(X=xi)=

p’j=P(Y=yj)= =

Из одномерного распред.Х и Y двумерное распределение нельзя!Для исследования зависимости X, Y применяют условные распределения.

Опр. Пусть Х приняло значение xi. Услов.распред.Y.При усл.что Х прин.знаение xi, наз-ся условным вер-стей:

Аналогично P_y=yj(X=x_i)=P_ij/P_j

По услов.распред опр.м.о.:

Т.о.услов.м.о. каждому значению одной компоненты ставит в соответствие услов. м.о. другой компоненты,т.е. задаёт числовую функцию на множестве значений 1ой компоненты. Эта фун-я, наз-ся фун-й регрессии.

26. Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин.

Для кол-енного описания связи между двум.с.в.,вводят ковариацию и коэф.корреляции.

Опр. Ковариация Kxy с.в.X и Y;наз-ся м.о.произведения отклонения этих с.в.от своих м.о.

Т.ф-ля д/выч.ковариации

Ковариация XY равна м.о.их произведения минус произ.их м.о.

Kxy=M(XY)- M(X)M(Y)

Док. Пусть M((X)=a M(Y)=b тогда

Следствие.сли X Y назависимы, то их ковариация равна нулю

К недостаткам ковариации относят то,что это размерная величина и поэтому харак-ет не только степень связи между компонентами, но и разброс значений компонентов. Поэтому вводят коэф.кор.

Опр.Коэф.кор.двух.с.в.(X,Y) наз-ся отношение их ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих с.в.

Св-ва:1. [-1,1] -1≤ρxy≤1

2. Если X Y независ. То ρxy=0

3. Если , то между вел.X Y сущ.функциональная зависимость

При ρ=1

При ρ=1

Для того что бы найти коэф.кор.по табл.распр.двум.с.в.надо:

1.

2. найти одномер.распр.X Y

3. по одномер распр найти: M(X),M(Y),D(X),D(Y)

4.Найти коэф.кор.по ф-ле:

Заменяя в последнем выражении входящие величины на их выборочные оценки, получаем формулу для вычисления выборочного коэфф-нта корреляции r:

-выбо-

рочная ковариация, т.к. ,;;

, «+»,если ; «-» если

.Если r>0,то связь между переменной называется прямой.Если r<0- связь называется обратной. Связь между переменными признается тесной, если |r|0,7; умеренной если 0,4|r|0,7; слабой если |r|<0,4. Основное св-во коэфф-та корреляции: |r|1.; Предельное значение коэфф-та корреляции: 1) |r|=1,т.и т.т.к. byx*bxy=1 => прямые регрессии совпадают. 2) r=0 т.и т.т.к. µ=0  byx=0 и bxy=0 => прямые регрессии перпендикулярны.; Если r=0 то говорят, что между переменными х и у отсутствует линейная корреляционная зависимость.